MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psercnlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psercnlem2 24397
Description: Lemma for psercn 24399. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pserf.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
pserf.f 𝐹 = (𝑦𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑦)‘𝑗))
pserf.a (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
pserf.r 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
psercn.s 𝑆 = (abs “ (0[,)𝑅))
psercnlem2.i ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (abs‘𝑎) < 𝑀𝑀 < 𝑅))
Assertion
Ref Expression
psercnlem2 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑎 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀) ∧ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀) ⊆ (abs “ (0[,]𝑀)) ∧ (abs “ (0[,]𝑀)) ⊆ 𝑆))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑎,𝑛,𝑟,𝑥,𝑦,𝐴   𝑗,𝑀,𝑦   𝑗,𝐺,𝑟,𝑦   𝑆,𝑎,𝑗,𝑦   𝐹,𝑎   𝜑,𝑎,𝑗,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑗,𝑛,𝑟,𝑎)   𝑆(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑗,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛,𝑎)   𝑀(𝑥,𝑛,𝑟,𝑎)

Proof of Theorem psercnlem2
Dummy variables 𝑤 𝑧 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psercn.s . . . . . . 7 𝑆 = (abs “ (0[,)𝑅))
2 cnvimass 5643 . . . . . . . 8 (abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ dom abs
3 absf 14296 . . . . . . . . 9 abs:ℂ⟶ℝ
43fdmi 6213 . . . . . . . 8 dom abs = ℂ
52, 4sseqtri 3778 . . . . . . 7 (abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ ℂ
61, 5eqsstri 3776 . . . . . 6 𝑆 ⊆ ℂ
76a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
87sselda 3744 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑎 ∈ ℂ)
98abscld 14394 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ)
108absge0d 14402 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → 0 ≤ (abs‘𝑎))
11 psercnlem2.i . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (abs‘𝑎) < 𝑀𝑀 < 𝑅))
1211simp2d 1138 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs‘𝑎) < 𝑀)
13 0re 10252 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
1411simp1d 1137 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ+)
1514rpxrd 12086 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ*)
16 elico2 12450 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) → ((abs‘𝑎) ∈ (0[,)𝑀) ↔ ((abs‘𝑎) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑎) ∧ (abs‘𝑎) < 𝑀)))
1713, 15, 16sylancr 698 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → ((abs‘𝑎) ∈ (0[,)𝑀) ↔ ((abs‘𝑎) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑎) ∧ (abs‘𝑎) < 𝑀)))
189, 10, 12, 17mpbir3and 1428 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs‘𝑎) ∈ (0[,)𝑀))
19 ffn 6206 . . . . 5 (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
20 elpreima 6501 . . . . 5 (abs Fn ℂ → (𝑎 ∈ (abs “ (0[,)𝑀)) ↔ (𝑎 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑎) ∈ (0[,)𝑀))))
213, 19, 20mp2b 10 . . . 4 (𝑎 ∈ (abs “ (0[,)𝑀)) ↔ (𝑎 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑎) ∈ (0[,)𝑀)))
228, 18, 21sylanbrc 701 . . 3 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑎 ∈ (abs “ (0[,)𝑀)))
23 eqid 2760 . . . . 5 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
2423cnbl0 22798 . . . 4 (𝑀 ∈ ℝ* → (abs “ (0[,)𝑀)) = (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀))
2515, 24syl 17 . . 3 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs “ (0[,)𝑀)) = (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀))
2622, 25eleqtrd 2841 . 2 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑎 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀))
27 icossicc 12473 . . . 4 (0[,)𝑀) ⊆ (0[,]𝑀)
28 imass2 5659 . . . 4 ((0[,)𝑀) ⊆ (0[,]𝑀) → (abs “ (0[,)𝑀)) ⊆ (abs “ (0[,]𝑀)))
2927, 28mp1i 13 . . 3 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs “ (0[,)𝑀)) ⊆ (abs “ (0[,]𝑀)))
3025, 29eqsstr3d 3781 . 2 ((𝜑𝑎𝑆) → (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀) ⊆ (abs “ (0[,]𝑀)))
31 iccssxr 12469 . . . . . 6 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
32 pserf.g . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
33 pserf.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
34 pserf.r . . . . . . . 8 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
3532, 33, 34radcnvcl 24390 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ (0[,]+∞))
3635adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑅 ∈ (0[,]+∞))
3731, 36sseldi 3742 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑅 ∈ ℝ*)
3811simp3d 1139 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑀 < 𝑅)
39 df-ico 12394 . . . . . 6 [,) = (𝑢 ∈ ℝ*, 𝑣 ∈ ℝ* ↦ {𝑤 ∈ ℝ* ∣ (𝑢𝑤𝑤 < 𝑣)})
40 df-icc 12395 . . . . . 6 [,] = (𝑢 ∈ ℝ*, 𝑣 ∈ ℝ* ↦ {𝑤 ∈ ℝ* ∣ (𝑢𝑤𝑤𝑣)})
41 xrlelttr 12200 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℝ*𝑀 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝑧𝑀𝑀 < 𝑅) → 𝑧 < 𝑅))
4239, 40, 41ixxss2 12407 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ*𝑀 < 𝑅) → (0[,]𝑀) ⊆ (0[,)𝑅))
4337, 38, 42syl2anc 696 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑆) → (0[,]𝑀) ⊆ (0[,)𝑅))
44 imass2 5659 . . . 4 ((0[,]𝑀) ⊆ (0[,)𝑅) → (abs “ (0[,]𝑀)) ⊆ (abs “ (0[,)𝑅)))
4543, 44syl 17 . . 3 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs “ (0[,]𝑀)) ⊆ (abs “ (0[,)𝑅)))
4645, 1syl6sseqr 3793 . 2 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs “ (0[,]𝑀)) ⊆ 𝑆)
4726, 30, 463jca 1123 1 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑎 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀) ∧ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀) ⊆ (abs “ (0[,]𝑀)) ∧ (abs “ (0[,]𝑀)) ⊆ 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  {crab 3054  wss 3715   class class class wbr 4804  cmpt 4881  ccnv 5265  dom cdm 5266  cima 5269  ccom 5270   Fn wfn 6044  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  supcsup 8513  cc 10146  cr 10147  0cc0 10148   + caddc 10151   · cmul 10153  +∞cpnf 10283  *cxr 10285   < clt 10286  cle 10287  cmin 10478  0cn0 11504  +crp 12045  [,)cico 12390  [,]cicc 12391  seqcseq 13015  cexp 13074  abscabs 14193  cli 14434  Σcsu 14635  ballcbl 19955
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-sup 8515  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-rp 12046  df-xadd 12160  df-ico 12394  df-icc 12395  df-fz 12540  df-seq 13016  df-exp 13075  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-met 19962  df-bl 19963
This theorem is referenced by:  psercn  24399  pserdvlem2  24401  pserdv  24402
  Copyright terms: Public domain W3C validator