MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psercnlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psercnlem1 24399
Description: Lemma for psercn 24400. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pserf.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
pserf.f 𝐹 = (𝑦𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑦)‘𝑗))
pserf.a (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
pserf.r 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
psercn.s 𝑆 = (abs “ (0[,)𝑅))
psercn.m 𝑀 = if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑎) + 1))
Assertion
Ref Expression
psercnlem1 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (abs‘𝑎) < 𝑀𝑀 < 𝑅))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑎,𝑛,𝑟,𝑥,𝑦,𝐴   𝑗,𝑀,𝑦   𝑗,𝐺,𝑟,𝑦   𝑆,𝑎,𝑗,𝑦   𝐹,𝑎   𝜑,𝑎,𝑗,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑗,𝑛,𝑟,𝑎)   𝑆(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑗,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛,𝑎)   𝑀(𝑥,𝑛,𝑟,𝑎)

Proof of Theorem psercnlem1
StepHypRef Expression
1 psercn.m . . . 4 𝑀 = if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑎) + 1))
2 psercn.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (abs “ (0[,)𝑅))
3 cnvimass 5644 . . . . . . . . . . . 12 (abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ dom abs
4 absf 14297 . . . . . . . . . . . . 13 abs:ℂ⟶ℝ
54fdmi 6214 . . . . . . . . . . . 12 dom abs = ℂ
63, 5sseqtri 3779 . . . . . . . . . . 11 (abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ ℂ
72, 6eqsstri 3777 . . . . . . . . . 10 𝑆 ⊆ ℂ
87a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
98sselda 3745 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑎 ∈ ℂ)
109abscld 14395 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ)
11 readdcl 10232 . . . . . . 7 (((abs‘𝑎) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑎) + 𝑅) ∈ ℝ)
1210, 11sylan 489 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑎) + 𝑅) ∈ ℝ)
1312rehalfcld 11492 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2) ∈ ℝ)
14 peano2re 10422 . . . . . . 7 ((abs‘𝑎) ∈ ℝ → ((abs‘𝑎) + 1) ∈ ℝ)
1510, 14syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝑆) → ((abs‘𝑎) + 1) ∈ ℝ)
1615adantr 472 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ ¬ 𝑅 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑎) + 1) ∈ ℝ)
1713, 16ifclda 4265 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑆) → if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑎) + 1)) ∈ ℝ)
181, 17syl5eqel 2844 . . 3 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
19 0re 10253 . . . . 5 0 ∈ ℝ
2019a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑆) → 0 ∈ ℝ)
219absge0d 14403 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑆) → 0 ≤ (abs‘𝑎))
22 breq2 4809 . . . . . 6 ((((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2) = if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑎) + 1)) → ((abs‘𝑎) < (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2) ↔ (abs‘𝑎) < if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑎) + 1))))
23 breq2 4809 . . . . . 6 (((abs‘𝑎) + 1) = if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑎) + 1)) → ((abs‘𝑎) < ((abs‘𝑎) + 1) ↔ (abs‘𝑎) < if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑎) + 1))))
24 simpr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑎𝑆)
2524, 2syl6eleq 2850 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑎 ∈ (abs “ (0[,)𝑅)))
26 ffn 6207 . . . . . . . . . . . . 13 (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
27 elpreima 6502 . . . . . . . . . . . . 13 (abs Fn ℂ → (𝑎 ∈ (abs “ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑎 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑎) ∈ (0[,)𝑅))))
284, 26, 27mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ (abs “ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑎 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑎) ∈ (0[,)𝑅)))
2925, 28sylib 208 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑎 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑎) ∈ (0[,)𝑅)))
3029simprd 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs‘𝑎) ∈ (0[,)𝑅))
31 iccssxr 12470 . . . . . . . . . . . 12 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
32 pserf.g . . . . . . . . . . . . . 14 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
33 pserf.a . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
34 pserf.r . . . . . . . . . . . . . 14 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
3532, 33, 34radcnvcl 24391 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅 ∈ (0[,]+∞))
3635adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑅 ∈ (0[,]+∞))
3731, 36sseldi 3743 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑅 ∈ ℝ*)
38 elico2 12451 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((abs‘𝑎) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘𝑎) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑎) ∧ (abs‘𝑎) < 𝑅)))
3919, 37, 38sylancr 698 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝑆) → ((abs‘𝑎) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘𝑎) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑎) ∧ (abs‘𝑎) < 𝑅)))
4030, 39mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝑆) → ((abs‘𝑎) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑎) ∧ (abs‘𝑎) < 𝑅))
4140simp3d 1139 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs‘𝑎) < 𝑅)
4241adantr 472 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (abs‘𝑎) < 𝑅)
43 avglt1 11483 . . . . . . . 8 (((abs‘𝑎) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑎) < 𝑅 ↔ (abs‘𝑎) < (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2)))
4410, 43sylan 489 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑎) < 𝑅 ↔ (abs‘𝑎) < (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2)))
4542, 44mpbid 222 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (abs‘𝑎) < (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2))
4610ltp1d 11167 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs‘𝑎) < ((abs‘𝑎) + 1))
4746adantr 472 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ ¬ 𝑅 ∈ ℝ) → (abs‘𝑎) < ((abs‘𝑎) + 1))
4822, 23, 45, 47ifbothda 4268 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs‘𝑎) < if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑎) + 1)))
4948, 1syl6breqr 4847 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs‘𝑎) < 𝑀)
5020, 10, 18, 21, 49lelttrd 10408 . . 3 ((𝜑𝑎𝑆) → 0 < 𝑀)
5118, 50elrpd 12083 . 2 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ+)
52 breq1 4808 . . . 4 ((((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2) = if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑎) + 1)) → ((((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2) < 𝑅 ↔ if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑎) + 1)) < 𝑅))
53 breq1 4808 . . . 4 (((abs‘𝑎) + 1) = if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑎) + 1)) → (((abs‘𝑎) + 1) < 𝑅 ↔ if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑎) + 1)) < 𝑅))
54 avglt2 11484 . . . . . 6 (((abs‘𝑎) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑎) < 𝑅 ↔ (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2) < 𝑅))
5510, 54sylan 489 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑎) < 𝑅 ↔ (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2) < 𝑅))
5642, 55mpbid 222 . . . 4 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2) < 𝑅)
5715rexrd 10302 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝑆) → ((abs‘𝑎) + 1) ∈ ℝ*)
58 xrlenlt 10316 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ ((abs‘𝑎) + 1) ∈ ℝ*) → (𝑅 ≤ ((abs‘𝑎) + 1) ↔ ¬ ((abs‘𝑎) + 1) < 𝑅))
5937, 57, 58syl2anc 696 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑅 ≤ ((abs‘𝑎) + 1) ↔ ¬ ((abs‘𝑎) + 1) < 𝑅))
60 0xr 10299 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ*
61 pnfxr 10305 . . . . . . . . . . . . 13 +∞ ∈ ℝ*
62 elicc1 12433 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑅 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅𝑅 ≤ +∞)))
6360, 61, 62mp2an 710 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅𝑅 ≤ +∞))
6435, 63sylib 208 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅𝑅 ≤ +∞))
6564simp2d 1138 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ 𝑅)
6665adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝑆) → 0 ≤ 𝑅)
67 ge0gtmnf 12217 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅) → -∞ < 𝑅)
6837, 66, 67syl2anc 696 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝑆) → -∞ < 𝑅)
69 xrre 12214 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ ℝ* ∧ ((abs‘𝑎) + 1) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < 𝑅𝑅 ≤ ((abs‘𝑎) + 1))) → 𝑅 ∈ ℝ)
7069expr 644 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ ℝ* ∧ ((abs‘𝑎) + 1) ∈ ℝ) ∧ -∞ < 𝑅) → (𝑅 ≤ ((abs‘𝑎) + 1) → 𝑅 ∈ ℝ))
7137, 15, 68, 70syl21anc 1476 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑅 ≤ ((abs‘𝑎) + 1) → 𝑅 ∈ ℝ))
7259, 71sylbird 250 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝑆) → (¬ ((abs‘𝑎) + 1) < 𝑅𝑅 ∈ ℝ))
7372con1d 139 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → (¬ 𝑅 ∈ ℝ → ((abs‘𝑎) + 1) < 𝑅))
7473imp 444 . . . 4 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ ¬ 𝑅 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑎) + 1) < 𝑅)
7552, 53, 56, 74ifbothda 4268 . . 3 ((𝜑𝑎𝑆) → if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑎) + 1)) < 𝑅)
761, 75syl5eqbr 4840 . 2 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑀 < 𝑅)
7751, 49, 763jca 1123 1 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (abs‘𝑎) < 𝑀𝑀 < 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2140  {crab 3055  wss 3716  ifcif 4231   class class class wbr 4805  cmpt 4882  ccnv 5266  dom cdm 5267  cima 5270   Fn wfn 6045  wf 6046  cfv 6050  (class class class)co 6815  supcsup 8514  cc 10147  cr 10148  0cc0 10149  1c1 10150   + caddc 10152   · cmul 10154  +∞cpnf 10284  -∞cmnf 10285  *cxr 10286   < clt 10287  cle 10288   / cdiv 10897  2c2 11283  0cn0 11505  +crp 12046  [,)cico 12391  [,]cicc 12392  seqcseq 13016  cexp 13075  abscabs 14194  cli 14435  Σcsu 14636
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-inf2 8714  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-sup 8516  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-rp 12047  df-ico 12395  df-icc 12396  df-fz 12541  df-seq 13017  df-exp 13076  df-cj 14059  df-re 14060  df-im 14061  df-sqrt 14195  df-abs 14196  df-clim 14439
This theorem is referenced by:  psercn  24400  pserdvlem1  24401  pserdvlem2  24402  pserdv  24403
  Copyright terms: Public domain W3C validator