Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prsprel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prsprel 42062
Description: The elements of a pair from the set of all unordered pairs over a given set 𝑉 are elements of the set 𝑉. (Contributed by AV, 22-Nov-2021.)
Assertion
Ref Expression
prsprel (({𝑋, 𝑌} ∈ (Pairs‘𝑉) ∧ (𝑋𝑈𝑌𝑊)) → (𝑋𝑉𝑌𝑉))

Proof of Theorem prsprel
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sprel 42059 . . 3 ({𝑋, 𝑌} ∈ (Pairs‘𝑉) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 {𝑋, 𝑌} = {𝑎, 𝑏})
2 preq12bg 4417 . . . . . . 7 (((𝑋𝑈𝑌𝑊) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ({𝑋, 𝑌} = {𝑎, 𝑏} ↔ ((𝑋 = 𝑎𝑌 = 𝑏) ∨ (𝑋 = 𝑏𝑌 = 𝑎))))
3 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑋 → (𝑎𝑉𝑋𝑉))
43eqcoms 2659 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 = 𝑎 → (𝑎𝑉𝑋𝑉))
5 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑌 → (𝑏𝑉𝑌𝑉))
65eqcoms 2659 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌 = 𝑏 → (𝑏𝑉𝑌𝑉))
74, 6bi2anan9 935 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 = 𝑎𝑌 = 𝑏) → ((𝑎𝑉𝑏𝑉) ↔ (𝑋𝑉𝑌𝑉)))
87biimpd 219 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 = 𝑎𝑌 = 𝑏) → ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → (𝑋𝑉𝑌𝑉)))
9 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑋 → (𝑏𝑉𝑋𝑉))
109eqcoms 2659 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 = 𝑏 → (𝑏𝑉𝑋𝑉))
11 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = 𝑌 → (𝑎𝑉𝑌𝑉))
1211eqcoms 2659 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌 = 𝑎 → (𝑎𝑉𝑌𝑉))
1310, 12bi2anan9 935 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 = 𝑏𝑌 = 𝑎) → ((𝑏𝑉𝑎𝑉) ↔ (𝑋𝑉𝑌𝑉)))
1413biimpd 219 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 = 𝑏𝑌 = 𝑎) → ((𝑏𝑉𝑎𝑉) → (𝑋𝑉𝑌𝑉)))
1514ancomsd 469 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 = 𝑏𝑌 = 𝑎) → ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → (𝑋𝑉𝑌𝑉)))
168, 15jaoi 393 . . . . . . . . 9 (((𝑋 = 𝑎𝑌 = 𝑏) ∨ (𝑋 = 𝑏𝑌 = 𝑎)) → ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → (𝑋𝑉𝑌𝑉)))
1716com12 32 . . . . . . . 8 ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → (((𝑋 = 𝑎𝑌 = 𝑏) ∨ (𝑋 = 𝑏𝑌 = 𝑎)) → (𝑋𝑉𝑌𝑉)))
1817adantl 481 . . . . . . 7 (((𝑋𝑈𝑌𝑊) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → (((𝑋 = 𝑎𝑌 = 𝑏) ∨ (𝑋 = 𝑏𝑌 = 𝑎)) → (𝑋𝑉𝑌𝑉)))
192, 18sylbid 230 . . . . . 6 (((𝑋𝑈𝑌𝑊) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ({𝑋, 𝑌} = {𝑎, 𝑏} → (𝑋𝑉𝑌𝑉)))
2019expcom 450 . . . . 5 ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → ((𝑋𝑈𝑌𝑊) → ({𝑋, 𝑌} = {𝑎, 𝑏} → (𝑋𝑉𝑌𝑉))))
2120com23 86 . . . 4 ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → ({𝑋, 𝑌} = {𝑎, 𝑏} → ((𝑋𝑈𝑌𝑊) → (𝑋𝑉𝑌𝑉))))
2221rexlimivv 3065 . . 3 (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 {𝑋, 𝑌} = {𝑎, 𝑏} → ((𝑋𝑈𝑌𝑊) → (𝑋𝑉𝑌𝑉)))
231, 22syl 17 . 2 ({𝑋, 𝑌} ∈ (Pairs‘𝑉) → ((𝑋𝑈𝑌𝑊) → (𝑋𝑉𝑌𝑉)))
2423imp 444 1 (({𝑋, 𝑌} ∈ (Pairs‘𝑉) ∧ (𝑋𝑈𝑌𝑊)) → (𝑋𝑉𝑌𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wrex 2942  {cpr 4212  cfv 5926  Pairscspr 42052
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-spr 42053
This theorem is referenced by:  prsssprel  42063  sprsymrelfolem2  42068
  Copyright terms: Public domain W3C validator