Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prprrab Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prprrab 13293
 Description: The set of proper pairs of elements of a given set expressed in two ways. (Contributed by AV, 24-Nov-2020.)
Assertion
Ref Expression
prprrab {𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 2}

Proof of Theorem prprrab
StepHypRef Expression
1 2ne0 11151 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
21neii 2825 . . . . . . . 8 ¬ 2 = 0
3 eqeq1 2655 . . . . . . . 8 ((#‘𝑥) = 2 → ((#‘𝑥) = 0 ↔ 2 = 0))
42, 3mtbiri 316 . . . . . . 7 ((#‘𝑥) = 2 → ¬ (#‘𝑥) = 0)
5 vex 3234 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
6 hasheq0 13192 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ V → ((#‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = ∅))
76bicomd 213 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ V → (𝑥 = ∅ ↔ (#‘𝑥) = 0))
87necon3abid 2859 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ V → (𝑥 ≠ ∅ ↔ ¬ (#‘𝑥) = 0))
95, 8ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑥 ≠ ∅ ↔ ¬ (#‘𝑥) = 0)
104, 9sylibr 224 . . . . . 6 ((#‘𝑥) = 2 → 𝑥 ≠ ∅)
1110biantrud 527 . . . . 5 ((#‘𝑥) = 2 → (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ≠ ∅)))
12 eldifsn 4350 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ≠ ∅))
1311, 12syl6bbr 278 . . . 4 ((#‘𝑥) = 2 → (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})))
1413pm5.32ri 671 . . 3 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (#‘𝑥) = 2) ↔ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ (#‘𝑥) = 2))
1514abbii 2768 . 2 {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (#‘𝑥) = 2)} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ (#‘𝑥) = 2)}
16 df-rab 2950 . 2 {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (#‘𝑥) = 2)}
17 df-rab 2950 . 2 {𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ (#‘𝑥) = 2)}
1815, 16, 173eqtr4ri 2684 1 {𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 2}
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  {cab 2637   ≠ wne 2823  {crab 2945  Vcvv 3231   ∖ cdif 3604  ∅c0 3948  𝒫 cpw 4191  {csn 4210  ‘cfv 5926  0cc0 9974  2c2 11108  #chash 13157 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-hash 13158 This theorem is referenced by:  isumgrs  26036  isusgrs  26096  usgrumgruspgr  26120  subumgredg2  26222  konigsbergssiedgw  27228
 Copyright terms: Public domain W3C validator