Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  proththdlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem proththdlem 42058
 Description: Lemma for proththd 42059. (Contributed by AV, 4-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
proththd.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
proththd.k (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
proththd.p (𝜑𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1))
Assertion
Ref Expression
proththdlem (𝜑 → (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃 ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ))

Proof of Theorem proththdlem
StepHypRef Expression
1 proththd.p . 2 (𝜑𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1))
2 proththd.k . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
3 2nn 11387 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ
43a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
5 proththd.n . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
65nnnn0d 11553 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
74, 6nnexpcld 13237 . . . . . 6 (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
82, 7nnmulcld 11270 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 · (2↑𝑁)) ∈ ℕ)
98peano2nnd 11239 . . . 4 (𝜑 → ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) ∈ ℕ)
10 1m1e0 11291 . . . . . 6 (1 − 1) = 0
118nngt0d 11266 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < (𝐾 · (2↑𝑁)))
1210, 11syl5eqbr 4821 . . . . 5 (𝜑 → (1 − 1) < (𝐾 · (2↑𝑁)))
13 1red 10257 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
148nnred 11237 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 · (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
1513, 13, 14ltsubaddd 10825 . . . . 5 (𝜑 → ((1 − 1) < (𝐾 · (2↑𝑁)) ↔ 1 < ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1)))
1612, 15mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → 1 < ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1))
178nncnd 11238 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾 · (2↑𝑁)) ∈ ℂ)
18 pncan1 10656 . . . . . . 7 ((𝐾 · (2↑𝑁)) ∈ ℂ → (((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) − 1) = (𝐾 · (2↑𝑁)))
1917, 18syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) − 1) = (𝐾 · (2↑𝑁)))
2019oveq1d 6808 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) − 1) / 2) = ((𝐾 · (2↑𝑁)) / 2))
21 2z 11611 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℤ
2221a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
232nnzd 11683 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
247nnzd 11683 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
2522, 23, 243jca 1122 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℤ))
26 iddvdsexp 15214 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 2 ∥ (2↑𝑁))
2722, 5, 26syl2anc 573 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∥ (2↑𝑁))
28 dvdsmultr2 15230 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℤ) → (2 ∥ (2↑𝑁) → 2 ∥ (𝐾 · (2↑𝑁))))
2925, 27, 28sylc 65 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ∥ (𝐾 · (2↑𝑁)))
30 nndivdvds 15198 . . . . . . 7 (((𝐾 · (2↑𝑁)) ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (2 ∥ (𝐾 · (2↑𝑁)) ↔ ((𝐾 · (2↑𝑁)) / 2) ∈ ℕ))
318, 4, 30syl2anc 573 . . . . . 6 (𝜑 → (2 ∥ (𝐾 · (2↑𝑁)) ↔ ((𝐾 · (2↑𝑁)) / 2) ∈ ℕ))
3229, 31mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐾 · (2↑𝑁)) / 2) ∈ ℕ)
3320, 32eqeltrd 2850 . . . 4 (𝜑 → ((((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) − 1) / 2) ∈ ℕ)
349, 16, 333jca 1122 . . 3 (𝜑 → (((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) ∈ ℕ ∧ 1 < ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) ∧ ((((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) − 1) / 2) ∈ ℕ))
35 eleq1 2838 . . . 4 (𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) → (𝑃 ∈ ℕ ↔ ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) ∈ ℕ))
36 breq2 4790 . . . 4 (𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) → (1 < 𝑃 ↔ 1 < ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1)))
37 oveq1 6800 . . . . . 6 (𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) → (𝑃 − 1) = (((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) − 1))
3837oveq1d 6808 . . . . 5 (𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) → ((𝑃 − 1) / 2) = ((((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) − 1) / 2))
3938eleq1d 2835 . . . 4 (𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) → (((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ↔ ((((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) − 1) / 2) ∈ ℕ))
4035, 36, 393anbi123d 1547 . . 3 (𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃 ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ) ↔ (((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) ∈ ℕ ∧ 1 < ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) ∧ ((((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) − 1) / 2) ∈ ℕ)))
4134, 40syl5ibrcom 237 . 2 (𝜑 → (𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃 ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)))
421, 41mpd 15 1 (𝜑 → (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃 ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   class class class wbr 4786  (class class class)co 6793  ℂcc 10136  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   · cmul 10143   < clt 10276   − cmin 10468   / cdiv 10886  ℕcn 11222  2c2 11272  ℤcz 11579  ↑cexp 13067   ∥ cdvds 15189 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-seq 13009  df-exp 13068  df-dvds 15190 This theorem is referenced by:  proththd  42059
 Copyright terms: Public domain W3C validator