Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  proot1mul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem proot1mul 38303
Description: Any primitive 𝑁-th root of unity is a multiple of any other. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
idomsubgmo.g 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
proot1mul.o 𝑂 = (od‘𝐺)
proot1mul.k 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
Assertion
Ref Expression
proot1mul (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → 𝑋 ∈ (𝐾‘{𝑌}))

Proof of Theorem proot1mul
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 750 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → 𝑅 ∈ IDomn)
2 isidom 19519 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
32simprbi 484 . . . . . 6 (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Domn)
4 domnring 19511 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
5 eqid 2771 . . . . . . 7 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
6 idomsubgmo.g . . . . . . 7 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
75, 6unitgrp 18875 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Grp)
81, 3, 4, 74syl 19 . . . . 5 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → 𝐺 ∈ Grp)
9 eqid 2771 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
109subgacs 17837 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
11 acsmre 16520 . . . . 5 ((SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
128, 10, 113syl 18 . . . 4 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
13 proot1mul.k . . . 4 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
14 simprl 754 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))
15 proot1mul.o . . . . . . . . 9 𝑂 = (od‘𝐺)
169, 15odf 18163 . . . . . . . 8 𝑂:(Base‘𝐺)⟶ℕ0
17 ffn 6185 . . . . . . . 8 (𝑂:(Base‘𝐺)⟶ℕ0𝑂 Fn (Base‘𝐺))
18 fniniseg 6481 . . . . . . . 8 (𝑂 Fn (Base‘𝐺) → (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂𝑋) = 𝑁)))
1916, 17, 18mp2b 10 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂𝑋) = 𝑁))
2014, 19sylib 208 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂𝑋) = 𝑁))
2120simpld 482 . . . . 5 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
2221snssd 4475 . . . 4 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → {𝑋} ⊆ (Base‘𝐺))
2312, 13, 22mrcssidd 16493 . . 3 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → {𝑋} ⊆ (𝐾‘{𝑋}))
24 snssg 4450 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) → (𝑋 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ {𝑋} ⊆ (𝐾‘{𝑋})))
2514, 24syl 17 . . 3 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → (𝑋 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ {𝑋} ⊆ (𝐾‘{𝑋})))
2623, 25mpbird 247 . 2 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → 𝑋 ∈ (𝐾‘{𝑋}))
276idomsubgmo 38302 . . . 4 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ∃*𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘𝑥) = 𝑁)
2827adantr 466 . . 3 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → ∃*𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘𝑥) = 𝑁)
2913mrccl 16479 . . . 4 (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ {𝑋} ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
3012, 22, 29syl2anc 573 . . 3 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
3120simprd 483 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → (𝑂𝑋) = 𝑁)
32 simplr 752 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → 𝑁 ∈ ℕ)
3331, 32eqeltrd 2850 . . . . 5 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → (𝑂𝑋) ∈ ℕ)
349, 15, 13odhash2 18197 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂𝑋) ∈ ℕ) → (♯‘(𝐾‘{𝑋})) = (𝑂𝑋))
358, 21, 33, 34syl3anc 1476 . . . 4 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → (♯‘(𝐾‘{𝑋})) = (𝑂𝑋))
3635, 31eqtrd 2805 . . 3 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → (♯‘(𝐾‘{𝑋})) = 𝑁)
37 simprr 756 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))
38 fniniseg 6481 . . . . . . . 8 (𝑂 Fn (Base‘𝐺) → (𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ↔ (𝑌 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂𝑌) = 𝑁)))
3916, 17, 38mp2b 10 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ↔ (𝑌 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂𝑌) = 𝑁))
4037, 39sylib 208 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → (𝑌 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂𝑌) = 𝑁))
4140simpld 482 . . . . 5 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐺))
4241snssd 4475 . . . 4 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → {𝑌} ⊆ (Base‘𝐺))
4313mrccl 16479 . . . 4 (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ {𝑌} ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝐾‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
4412, 42, 43syl2anc 573 . . 3 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → (𝐾‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
4540simprd 483 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → (𝑂𝑌) = 𝑁)
4645, 32eqeltrd 2850 . . . . 5 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → (𝑂𝑌) ∈ ℕ)
479, 15, 13odhash2 18197 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂𝑌) ∈ ℕ) → (♯‘(𝐾‘{𝑌})) = (𝑂𝑌))
488, 41, 46, 47syl3anc 1476 . . . 4 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → (♯‘(𝐾‘{𝑌})) = (𝑂𝑌))
4948, 45eqtrd 2805 . . 3 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → (♯‘(𝐾‘{𝑌})) = 𝑁)
50 fveq2 6332 . . . . 5 (𝑥 = (𝐾‘{𝑋}) → (♯‘𝑥) = (♯‘(𝐾‘{𝑋})))
5150eqeq1d 2773 . . . 4 (𝑥 = (𝐾‘{𝑋}) → ((♯‘𝑥) = 𝑁 ↔ (♯‘(𝐾‘{𝑋})) = 𝑁))
52 fveq2 6332 . . . . 5 (𝑥 = (𝐾‘{𝑌}) → (♯‘𝑥) = (♯‘(𝐾‘{𝑌})))
5352eqeq1d 2773 . . . 4 (𝑥 = (𝐾‘{𝑌}) → ((♯‘𝑥) = 𝑁 ↔ (♯‘(𝐾‘{𝑌})) = 𝑁))
5451, 53rmoi 3679 . . 3 ((∃*𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘𝑥) = 𝑁 ∧ ((𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘(𝐾‘{𝑋})) = 𝑁) ∧ ((𝐾‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘(𝐾‘{𝑌})) = 𝑁)) → (𝐾‘{𝑋}) = (𝐾‘{𝑌}))
5528, 30, 36, 44, 49, 54syl122anc 1485 . 2 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → (𝐾‘{𝑋}) = (𝐾‘{𝑌}))
5626, 55eleqtrd 2852 1 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → 𝑋 ∈ (𝐾‘{𝑌}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  ∃*wrmo 3064  wss 3723  {csn 4316  ccnv 5248  cima 5252   Fn wfn 6026  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  cn 11222  0cn0 11494  chash 13321  Basecbs 16064  s cress 16065  Moorecmre 16450  mrClscmrc 16451  ACScacs 16453  Grpcgrp 17630  SubGrpcsubg 17796  odcod 18151  mulGrpcmgp 18697  Ringcrg 18755  CRingccrg 18756  Unitcui 18847  Domncdomn 19495  IDomncidom 19496
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217  ax-mulf 10218
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-disj 4755  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-ofr 7045  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-tpos 7504  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-omul 7718  df-er 7896  df-ec 7898  df-qs 7902  df-map 8011  df-pm 8012  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-acn 8968  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-xnn0 11566  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-sum 14625  df-dvds 15190  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-prds 16316  df-pws 16318  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-mulg 17749  df-subg 17799  df-eqg 17801  df-ghm 17866  df-cntz 17957  df-od 18155  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-srg 18714  df-ring 18757  df-cring 18758  df-oppr 18831  df-dvdsr 18849  df-unit 18850  df-invr 18880  df-rnghom 18925  df-subrg 18988  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-lsp 19185  df-nzr 19473  df-rlreg 19498  df-domn 19499  df-idom 19500  df-assa 19527  df-asp 19528  df-ascl 19529  df-psr 19571  df-mvr 19572  df-mpl 19573  df-opsr 19575  df-evls 19721  df-evl 19722  df-psr1 19765  df-vr1 19766  df-ply1 19767  df-coe1 19768  df-evl1 19896  df-cnfld 19962  df-mdeg 24035  df-deg1 24036  df-mon1 24110  df-uc1p 24111  df-q1p 24112  df-r1p 24113
This theorem is referenced by:  proot1hash  38304
  Copyright terms: Public domain W3C validator