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Theorem prodss 14671
Description: Change the index set to a subset in an upper integer product. (Contributed by Scott Fenton, 11-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
prodss.1 (𝜑𝐴𝐵)
prodss.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
prodss.3 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑀)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐵, 𝐶, 1))) ⇝ 𝑦))
prodss.4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 1)
prodss.5 (𝜑𝐵 ⊆ (ℤ𝑀))
Assertion
Ref Expression
prodss (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐶 = ∏𝑘𝐵 𝐶)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑛,𝑦   𝐵,𝑘,𝑛,𝑦   𝐶,𝑛,𝑦   𝑘,𝑛,𝜑,𝑦   𝑛,𝑀,𝑦   𝜑,𝑛,𝑦   𝑘,𝑀
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem prodss
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . . . 5 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
2 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
3 prodss.3 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑀)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐵, 𝐶, 1))) ⇝ 𝑦))
43adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑀)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐵, 𝐶, 1))) ⇝ 𝑦))
5 prodss.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
6 prodss.5 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ⊆ (ℤ𝑀))
75, 6sstrd 3611 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
87adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
9 simpr 477 . . . . . . 7 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑀))
10 iftrue 4090 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚𝐵 → if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
1110adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚𝐵) → if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
12 prodss.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
1312ex 450 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐶 ∈ ℂ))
1413adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝐵) → (𝑘𝐴𝐶 ∈ ℂ))
15 eldif 3582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (𝐵𝐴) ↔ (𝑘𝐵 ∧ ¬ 𝑘𝐴))
16 prodss.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 1)
17 ax-1cn 9991 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℂ
1816, 17syl6eqel 2708 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 ∈ ℂ)
1915, 18sylan2br 493 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐵 ∧ ¬ 𝑘𝐴)) → 𝐶 ∈ ℂ)
2019expr 643 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝐵) → (¬ 𝑘𝐴𝐶 ∈ ℂ))
2114, 20pm2.61d 170 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
2221ralrimiva 2965 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑘𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
23 nfcsb1v 3547 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘𝑚 / 𝑘𝐶
2423nfel1 2778 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ
25 csbeq1a 3540 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑚𝐶 = 𝑚 / 𝑘𝐶)
2625eleq1d 2685 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑚 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ 𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ))
2724, 26rspc 3301 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚𝐵 → (∀𝑘𝐵 𝐶 ∈ ℂ → 𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ))
2822, 27mpan9 486 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚𝐵) → 𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)
2911, 28eqeltrd 2700 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚𝐵) → if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1) ∈ ℂ)
30 iffalse 4093 . . . . . . . . . . . 12 𝑚𝐵 → if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1) = 1)
3130, 17syl6eqel 2708 . . . . . . . . . . 11 𝑚𝐵 → if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1) ∈ ℂ)
3231adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑚𝐵) → if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1) ∈ ℂ)
3329, 32pm2.61dan 832 . . . . . . . . 9 (𝜑 → if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1) ∈ ℂ)
3433adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1) ∈ ℂ)
3534adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1) ∈ ℂ)
36 nfcv 2763 . . . . . . . 8 𝑘𝑚
37 nfv 1842 . . . . . . . . 9 𝑘 𝑚𝐵
38 nfcv 2763 . . . . . . . . 9 𝑘1
3937, 23, 38nfif 4113 . . . . . . . 8 𝑘if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1)
40 eleq1 2688 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑚 → (𝑘𝐵𝑚𝐵))
4140, 25ifbieq1d 4107 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘𝐵, 𝐶, 1) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1))
42 eqid 2621 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐵, 𝐶, 1)) = (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐵, 𝐶, 1))
4336, 39, 41, 42fvmptf 6299 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ∧ if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1) ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐵, 𝐶, 1))‘𝑚) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1))
449, 35, 43syl2anc 693 . . . . . 6 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐵, 𝐶, 1))‘𝑚) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1))
45 iftrue 4090 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚𝐴 → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚))
4645adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚𝐴) → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚))
47 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚𝐴)
485adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴𝐵)
4948sselda 3601 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚𝐵)
5028adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚𝐵) → 𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)
5149, 50syldan 487 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)
52 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘𝐴𝐶) = (𝑘𝐴𝐶)
5352fvmpts 6283 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚𝐴𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
5447, 51, 53syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚𝐴) → ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
5546, 54eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚𝐴) → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
5655ex 450 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → (𝑚𝐴 → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = 𝑚 / 𝑘𝐶))
5756adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚𝐵) → (𝑚𝐴 → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = 𝑚 / 𝑘𝐶))
58 iffalse 4093 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑚𝐴 → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = 1)
5958adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚𝐵 ∧ ¬ 𝑚𝐴) → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = 1)
6059adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐵 ∧ ¬ 𝑚𝐴)) → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = 1)
61 eldif 3582 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ (𝐵𝐴) ↔ (𝑚𝐵 ∧ ¬ 𝑚𝐴))
6216ralrimiva 2965 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝐵𝐴)𝐶 = 1)
6362adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → ∀𝑘 ∈ (𝐵𝐴)𝐶 = 1)
6423nfeq1 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘𝑚 / 𝑘𝐶 = 1
6525eqeq1d 2623 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑚 → (𝐶 = 1 ↔ 𝑚 / 𝑘𝐶 = 1))
6664, 65rspc 3301 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ (𝐵𝐴) → (∀𝑘 ∈ (𝐵𝐴)𝐶 = 1 → 𝑚 / 𝑘𝐶 = 1))
6763, 66mpan9 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝑚 / 𝑘𝐶 = 1)
6861, 67sylan2br 493 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐵 ∧ ¬ 𝑚𝐴)) → 𝑚 / 𝑘𝐶 = 1)
6960, 68eqtr4d 2658 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐵 ∧ ¬ 𝑚𝐴)) → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
7069expr 643 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚𝐵) → (¬ 𝑚𝐴 → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = 𝑚 / 𝑘𝐶))
7157, 70pm2.61d 170 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚𝐵) → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
7210adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚𝐵) → if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
7371, 72eqtr4d 2658 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚𝐵) → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1))
7448ssneld 3603 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → (¬ 𝑚𝐵 → ¬ 𝑚𝐴))
7574imp 445 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑚𝐵) → ¬ 𝑚𝐴)
7675, 58syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑚𝐵) → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = 1)
7730adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑚𝐵) → if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1) = 1)
7876, 77eqtr4d 2658 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑚𝐵) → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1))
7973, 78pm2.61dan 832 . . . . . . 7 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1))
8079adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1))
8144, 80eqtr4d 2658 . . . . 5 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐵, 𝐶, 1))‘𝑚) = if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1))
8212, 52fmptd 6383 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐶):𝐴⟶ℂ)
8382adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → (𝑘𝐴𝐶):𝐴⟶ℂ)
8483ffvelrnda 6357 . . . . 5 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚𝐴) → ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) ∈ ℂ)
851, 2, 4, 8, 81, 84zprod 14661 . . . 4 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → ∏𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) = ( ⇝ ‘seq𝑀( · , (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐵, 𝐶, 1)))))
866adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀))
8743ancoms 469 . . . . . . 7 ((if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1) ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐵, 𝐶, 1))‘𝑚) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1))
8834, 87sylan 488 . . . . . 6 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐵, 𝐶, 1))‘𝑚) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1))
89 simpr 477 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚𝐵) → 𝑚𝐵)
90 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝐵𝐶) = (𝑘𝐵𝐶)
9190fvmpts 6283 . . . . . . . . . 10 ((𝑚𝐵𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
9289, 50, 91syl2anc 693 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚𝐵) → ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
9392ifeq1d 4102 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚𝐵) → if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1))
9493adantlr 751 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) → if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1))
95 iffalse 4093 . . . . . . . . 9 𝑚𝐵 → if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 1) = 1)
9695, 30eqtr4d 2658 . . . . . . . 8 𝑚𝐵 → if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1))
9796adantl 482 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ¬ 𝑚𝐵) → if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1))
9894, 97pm2.61dan 832 . . . . . 6 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1))
9988, 98eqtr4d 2658 . . . . 5 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐵, 𝐶, 1))‘𝑚) = if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 1))
10021, 90fmptd 6383 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘𝐵𝐶):𝐵⟶ℂ)
101100adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → (𝑘𝐵𝐶):𝐵⟶ℂ)
102101ffvelrnda 6357 . . . . 5 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚𝐵) → ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) ∈ ℂ)
1031, 2, 4, 86, 99, 102zprod 14661 . . . 4 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → ∏𝑚𝐵 ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) = ( ⇝ ‘seq𝑀( · , (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐵, 𝐶, 1)))))
10485, 103eqtr4d 2658 . . 3 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → ∏𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) = ∏𝑚𝐵 ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚))
105 prodfc 14669 . . 3 𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) = ∏𝑘𝐴 𝐶
106 prodfc 14669 . . 3 𝑚𝐵 ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) = ∏𝑘𝐵 𝐶
107104, 105, 1063eqtr3g 2678 . 2 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → ∏𝑘𝐴 𝐶 = ∏𝑘𝐵 𝐶)
1085adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴𝐵)
1096adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀))
110 uzf 11687 . . . . . . . . . . 11 :ℤ⟶𝒫 ℤ
111110fdmi 6050 . . . . . . . . . 10 dom ℤ = ℤ
112111eleq2i 2692 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ dom ℤ𝑀 ∈ ℤ)
113 ndmfv 6216 . . . . . . . . 9 𝑀 ∈ dom ℤ → (ℤ𝑀) = ∅)
114112, 113sylnbir 321 . . . . . . . 8 𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑀) = ∅)
115114adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → (ℤ𝑀) = ∅)
116109, 115sseqtrd 3639 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐵 ⊆ ∅)
117108, 116sstrd 3611 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 ⊆ ∅)
118 ss0 3972 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)
119117, 118syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 = ∅)
120 ss0 3972 . . . . 5 (𝐵 ⊆ ∅ → 𝐵 = ∅)
121116, 120syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐵 = ∅)
122119, 121eqtr4d 2658 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 = 𝐵)
123122prodeq1d 14645 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → ∏𝑘𝐴 𝐶 = ∏𝑘𝐵 𝐶)
124107, 123pm2.61dan 832 1 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐶 = ∏𝑘𝐵 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1482  wex 1703  wcel 1989  wne 2793  wral 2911  wrex 2912  csb 3531  cdif 3569  wss 3572  c0 3913  ifcif 4084  𝒫 cpw 4156   class class class wbr 4651  cmpt 4727  dom cdm 5112  wf 5882  cfv 5886  cc 9931  0cc0 9933  1c1 9934   · cmul 9938  cz 11374  cuz 11684  seqcseq 12796  cli 14209  cprod 14629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-inf2 8535  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-fal 1488  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-se 5072  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-isom 5895  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-oadd 7561  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-oi 8412  df-card 8762  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-div 10682  df-nn 11018  df-2 11076  df-n0 11290  df-z 11375  df-uz 11685  df-rp 11830  df-fz 12324  df-fzo 12462  df-seq 12797  df-exp 12856  df-hash 13113  df-cj 13833  df-re 13834  df-im 13835  df-sqrt 13969  df-abs 13970  df-clim 14213  df-prod 14630
This theorem is referenced by:  fprodss  14672
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