MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prodsnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prodsnf 14914
Description: A product of a singleton is the term. A version of prodsn 14912 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
prodsnf.1 𝑘𝐵
prodsnf.2 (𝑘 = 𝑀𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
prodsnf ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem prodsnf
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2903 . . . 4 𝑚𝐴
2 nfcsb1v 3691 . . . 4 𝑘𝑚 / 𝑘𝐴
3 csbeq1a 3684 . . . 4 (𝑘 = 𝑚𝐴 = 𝑚 / 𝑘𝐴)
41, 2, 3cbvprodi 14867 . . 3 𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = ∏𝑚 ∈ {𝑀}𝑚 / 𝑘𝐴
5 csbeq1 3678 . . . 4 (𝑚 = ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) → 𝑚 / 𝑘𝐴 = ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘𝐴)
6 1nn 11244 . . . . 5 1 ∈ ℕ
76a1i 11 . . . 4 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℕ)
8 1z 11620 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
9 f1osng 6340 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑉) → {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀})
10 fzsn 12597 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
118, 10ax-mp 5 . . . . . . . 8 (1...1) = {1}
12 f1oeq2 6291 . . . . . . . 8 ((1...1) = {1} → ({⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀} ↔ {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀}))
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . 7 ({⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀} ↔ {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀})
149, 13sylibr 224 . . . . . 6 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑉) → {⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀})
158, 14mpan 708 . . . . 5 (𝑀𝑉 → {⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀})
1615adantr 472 . . . 4 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → {⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀})
17 velsn 4338 . . . . . 6 (𝑚 ∈ {𝑀} ↔ 𝑚 = 𝑀)
18 csbeq1 3678 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑀𝑚 / 𝑘𝐴 = 𝑀 / 𝑘𝐴)
19 prodsnf.1 . . . . . . . . . 10 𝑘𝐵
2019a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑀𝑉𝑘𝐵)
21 prodsnf.2 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑀𝐴 = 𝐵)
2220, 21csbiegf 3699 . . . . . . . 8 (𝑀𝑉𝑀 / 𝑘𝐴 = 𝐵)
2322adantr 472 . . . . . . 7 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → 𝑀 / 𝑘𝐴 = 𝐵)
2418, 23sylan9eqr 2817 . . . . . 6 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 = 𝑀) → 𝑚 / 𝑘𝐴 = 𝐵)
2517, 24sylan2b 493 . . . . 5 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝑚 / 𝑘𝐴 = 𝐵)
26 simplr 809 . . . . 5 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝐵 ∈ ℂ)
2725, 26eqeltrd 2840 . . . 4 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝑚 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ)
2811eleq2i 2832 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (1...1) ↔ 𝑛 ∈ {1})
29 velsn 4338 . . . . . 6 (𝑛 ∈ {1} ↔ 𝑛 = 1)
3028, 29bitri 264 . . . . 5 (𝑛 ∈ (1...1) ↔ 𝑛 = 1)
31 fvsng 6613 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑉) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) = 𝑀)
328, 31mpan 708 . . . . . . . . . 10 (𝑀𝑉 → ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) = 𝑀)
3332adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) = 𝑀)
3433csbeq1d 3682 . . . . . . . 8 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) / 𝑘𝐴 = 𝑀 / 𝑘𝐴)
35 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
36 fvsng 6613 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
378, 35, 36sylancr 698 . . . . . . . 8 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
3823, 34, 373eqtr4rd 2806 . . . . . . 7 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘1) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) / 𝑘𝐴)
39 fveq2 6354 . . . . . . . 8 (𝑛 = 1 → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝐵⟩}‘1))
40 fveq2 6354 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 1 → ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘1))
4140csbeq1d 3682 . . . . . . . 8 (𝑛 = 1 → ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘𝐴 = ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) / 𝑘𝐴)
4239, 41eqeq12d 2776 . . . . . . 7 (𝑛 = 1 → (({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘𝐴 ↔ ({⟨1, 𝐵⟩}‘1) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) / 𝑘𝐴))
4338, 42syl5ibrcom 237 . . . . . 6 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → (𝑛 = 1 → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘𝐴))
4443imp 444 . . . . 5 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = 1) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘𝐴)
4530, 44sylan2b 493 . . . 4 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (1...1)) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘𝐴)
465, 7, 16, 27, 45fprod 14891 . . 3 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑚 ∈ {𝑀}𝑚 / 𝑘𝐴 = (seq1( · , {⟨1, 𝐵⟩})‘1))
474, 46syl5eq 2807 . 2 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = (seq1( · , {⟨1, 𝐵⟩})‘1))
488, 37seq1i 13030 . 2 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → (seq1( · , {⟨1, 𝐵⟩})‘1) = 𝐵)
4947, 48eqtrd 2795 1 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2140  wnfc 2890  csb 3675  {csn 4322  cop 4328  1-1-ontowf1o 6049  cfv 6050  (class class class)co 6815  cc 10147  1c1 10150   · cmul 10154  cn 11233  cz 11590  ...cfz 12540  seqcseq 13016  cprod 14855
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-inf2 8714  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-se 5227  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-isom 6059  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-oadd 7735  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-sup 8516  df-oi 8583  df-card 8976  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-rp 12047  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-seq 13017  df-exp 13076  df-hash 13333  df-cj 14059  df-re 14060  df-im 14061  df-sqrt 14195  df-abs 14196  df-clim 14439  df-prod 14856
This theorem is referenced by:  fprodsplitsn  14940
  Copyright terms: Public domain W3C validator