MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prodmolem2a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prodmolem2a 14708
Description: Lemma for prodmo 14710. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
prodmo.1 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
prodmo.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
prodmo.3 𝐺 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑓𝑗) / 𝑘𝐵)
prodmolem2.4 𝐻 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐾𝑗) / 𝑘𝐵)
prodmolem2.5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
prodmolem2.6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
prodmolem2.7 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
prodmolem2.8 (𝜑𝑓:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴)
prodmolem2.9 (𝜑𝐾 Isom < , < ((1...(#‘𝐴)), 𝐴))
Assertion
Ref Expression
prodmolem2a (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ (seq1( · , 𝐺)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝐴,𝑗   𝐵,𝑗   𝑓,𝑗,𝑘   𝑗,𝐺   𝑗,𝑘,𝜑   𝑗,𝐾,𝑘   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑁,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑓)   𝐵(𝑓,𝑘)   𝐹(𝑓,𝑗)   𝐺(𝑓,𝑘)   𝐻(𝑓,𝑗,𝑘)   𝐾(𝑓)   𝑀(𝑓)   𝑁(𝑓)

Proof of Theorem prodmolem2a
Dummy variables 𝑛 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodmo.1 . . 3 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
2 prodmo.2 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
3 prodmolem2.7 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
4 prodmolem2.9 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 Isom < , < ((1...(#‘𝐴)), 𝐴))
5 prodmolem2.8 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑓:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴)
6 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑁) ∈ V
76f1oen 8018 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴 → (1...𝑁) ≈ 𝐴)
85, 7syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1...𝑁) ≈ 𝐴)
9 fzfid 12812 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
108ensymd 8048 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ≈ (1...𝑁))
11 enfii 8218 . . . . . . . . . . . . 13 (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ Fin)
129, 10, 11syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
13 hashen 13175 . . . . . . . . . . . 12 (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((#‘(1...𝑁)) = (#‘𝐴) ↔ (1...𝑁) ≈ 𝐴))
149, 12, 13syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((#‘(1...𝑁)) = (#‘𝐴) ↔ (1...𝑁) ≈ 𝐴))
158, 14mpbird 247 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (#‘(1...𝑁)) = (#‘𝐴))
16 prodmolem2.5 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
1716nnnn0d 11389 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
18 hashfz1 13174 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → (#‘(1...𝑁)) = 𝑁)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (#‘(1...𝑁)) = 𝑁)
2015, 19eqtr3d 2687 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (#‘𝐴) = 𝑁)
2120oveq2d 6706 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1...(#‘𝐴)) = (1...𝑁))
22 isoeq4 6610 . . . . . . . 8 ((1...(#‘𝐴)) = (1...𝑁) → (𝐾 Isom < , < ((1...(#‘𝐴)), 𝐴) ↔ 𝐾 Isom < , < ((1...𝑁), 𝐴)))
2321, 22syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾 Isom < , < ((1...(#‘𝐴)), 𝐴) ↔ 𝐾 Isom < , < ((1...𝑁), 𝐴)))
244, 23mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑𝐾 Isom < , < ((1...𝑁), 𝐴))
25 isof1o 6613 . . . . . 6 (𝐾 Isom < , < ((1...𝑁), 𝐴) → 𝐾:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴)
26 f1of 6175 . . . . . 6 (𝐾:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴𝐾:(1...𝑁)⟶𝐴)
2724, 25, 263syl 18 . . . . 5 (𝜑𝐾:(1...𝑁)⟶𝐴)
28 nnuz 11761 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
2916, 28syl6eleq 2740 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘1))
30 eluzfz2 12387 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → 𝑁 ∈ (1...𝑁))
3129, 30syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (1...𝑁))
3227, 31ffvelrnd 6400 . . . 4 (𝜑 → (𝐾𝑁) ∈ 𝐴)
333, 32sseldd 3637 . . 3 (𝜑 → (𝐾𝑁) ∈ (ℤ𝑀))
343sselda 3636 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
3524, 25syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴)
36 f1ocnvfv2 6573 . . . . . . . . 9 ((𝐾:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴𝑗𝐴) → (𝐾‘(𝐾𝑗)) = 𝑗)
3735, 36sylan 487 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝐾‘(𝐾𝑗)) = 𝑗)
38 f1ocnv 6187 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴𝐾:𝐴1-1-onto→(1...𝑁))
39 f1of 6175 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾:𝐴1-1-onto→(1...𝑁) → 𝐾:𝐴⟶(1...𝑁))
4035, 38, 393syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾:𝐴⟶(1...𝑁))
4140ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝐾𝑗) ∈ (1...𝑁))
42 elfzle2 12383 . . . . . . . . . 10 ((𝐾𝑗) ∈ (1...𝑁) → (𝐾𝑗) ≤ 𝑁)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝐾𝑗) ≤ 𝑁)
4424adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐾 Isom < , < ((1...𝑁), 𝐴))
45 fzssuz 12420 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑁) ⊆ (ℤ‘1)
46 uzssz 11745 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℤ‘1) ⊆ ℤ
47 zssre 11422 . . . . . . . . . . . . . 14 ℤ ⊆ ℝ
4846, 47sstri 3645 . . . . . . . . . . . . 13 (ℤ‘1) ⊆ ℝ
4945, 48sstri 3645 . . . . . . . . . . . 12 (1...𝑁) ⊆ ℝ
50 ressxr 10121 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ ℝ*
5149, 50sstri 3645 . . . . . . . . . . 11 (1...𝑁) ⊆ ℝ*
5251a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝐴) → (1...𝑁) ⊆ ℝ*)
53 uzssz 11745 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
5453, 47sstri 3645 . . . . . . . . . . . . 13 (ℤ𝑀) ⊆ ℝ
5554, 50sstri 3645 . . . . . . . . . . . 12 (ℤ𝑀) ⊆ ℝ*
563, 55syl6ss 3648 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
5756adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
5831adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑁 ∈ (1...𝑁))
59 leisorel 13282 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 Isom < , < ((1...𝑁), 𝐴) ∧ ((1...𝑁) ⊆ ℝ*𝐴 ⊆ ℝ*) ∧ ((𝐾𝑗) ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (1...𝑁))) → ((𝐾𝑗) ≤ 𝑁 ↔ (𝐾‘(𝐾𝑗)) ≤ (𝐾𝑁)))
6044, 52, 57, 41, 58, 59syl122anc 1375 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝐴) → ((𝐾𝑗) ≤ 𝑁 ↔ (𝐾‘(𝐾𝑗)) ≤ (𝐾𝑁)))
6143, 60mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝐾‘(𝐾𝑗)) ≤ (𝐾𝑁))
6237, 61eqbrtrrd 4709 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 ≤ (𝐾𝑁))
633, 53syl6ss 3648 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ ℤ)
6463sselda 3636 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 ∈ ℤ)
65 eluzelz 11735 . . . . . . . . . 10 ((𝐾𝑁) ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾𝑁) ∈ ℤ)
6633, 65syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾𝑁) ∈ ℤ)
6766adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝐾𝑁) ∈ ℤ)
68 eluz 11739 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑁) ∈ ℤ) → ((𝐾𝑁) ∈ (ℤ𝑗) ↔ 𝑗 ≤ (𝐾𝑁)))
6964, 67, 68syl2anc 694 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝐴) → ((𝐾𝑁) ∈ (ℤ𝑗) ↔ 𝑗 ≤ (𝐾𝑁)))
7062, 69mpbird 247 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝐾𝑁) ∈ (ℤ𝑗))
71 elfzuzb 12374 . . . . . 6 (𝑗 ∈ (𝑀...(𝐾𝑁)) ↔ (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐾𝑁) ∈ (ℤ𝑗)))
7234, 70, 71sylanbrc 699 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 ∈ (𝑀...(𝐾𝑁)))
7372ex 449 . . . 4 (𝜑 → (𝑗𝐴𝑗 ∈ (𝑀...(𝐾𝑁))))
7473ssrdv 3642 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ (𝑀...(𝐾𝑁)))
751, 2, 33, 74fprodcvg 14704 . 2 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝐾𝑁)))
76 mulid2 10076 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℂ → (1 · 𝑚) = 𝑚)
7776adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℂ) → (1 · 𝑚) = 𝑚)
78 mulid1 10075 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℂ → (𝑚 · 1) = 𝑚)
7978adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℂ) → (𝑚 · 1) = 𝑚)
80 mulcl 10058 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑚 · 𝑥) ∈ ℂ)
8180adantl 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑚 · 𝑥) ∈ ℂ)
82 1cnd 10094 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
8331, 21eleqtrrd 2733 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (1...(#‘𝐴)))
84 iftrue 4125 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = 𝐵)
8584adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = 𝐵)
8685, 2eqeltrd 2730 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
8786ex 449 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ))
88 iffalse 4128 . . . . . . . . 9 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = 1)
89 ax-1cn 10032 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
9088, 89syl6eqel 2738 . . . . . . . 8 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
9187, 90pm2.61d1 171 . . . . . . 7 (𝜑 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
9291adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
9392, 1fmptd 6425 . . . . 5 (𝜑𝐹:ℤ⟶ℂ)
94 elfzelz 12380 . . . . 5 (𝑚 ∈ (𝑀...(𝐾‘(#‘𝐴))) → 𝑚 ∈ ℤ)
95 ffvelrn 6397 . . . . 5 ((𝐹:ℤ⟶ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐹𝑚) ∈ ℂ)
9693, 94, 95syl2an 493 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ (𝑀...(𝐾‘(#‘𝐴)))) → (𝐹𝑚) ∈ ℂ)
97 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑚 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑚))
9897eqeq1d 2653 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑚 → ((𝐹𝑘) = 1 ↔ (𝐹𝑚) = 1))
99 fzssuz 12420 . . . . . . . . . 10 (𝑀...(𝐾‘(#‘𝐴))) ⊆ (ℤ𝑀)
10099, 53sstri 3645 . . . . . . . . 9 (𝑀...(𝐾‘(#‘𝐴))) ⊆ ℤ
101 eldifi 3765 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(#‘𝐴))) ∖ 𝐴) → 𝑘 ∈ (𝑀...(𝐾‘(#‘𝐴))))
102100, 101sseldi 3634 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(#‘𝐴))) ∖ 𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
103 eldifn 3766 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(#‘𝐴))) ∖ 𝐴) → ¬ 𝑘𝐴)
104103, 88syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(#‘𝐴))) ∖ 𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = 1)
105104, 89syl6eqel 2738 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(#‘𝐴))) ∖ 𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
1061fvmpt2 6330 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
107102, 105, 106syl2anc 694 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(#‘𝐴))) ∖ 𝐴) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
108107, 104eqtrd 2685 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(#‘𝐴))) ∖ 𝐴) → (𝐹𝑘) = 1)
10998, 108vtoclga 3303 . . . . 5 (𝑚 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(#‘𝐴))) ∖ 𝐴) → (𝐹𝑚) = 1)
110109adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(#‘𝐴))) ∖ 𝐴)) → (𝐹𝑚) = 1)
111 isof1o 6613 . . . . . . . 8 (𝐾 Isom < , < ((1...(#‘𝐴)), 𝐴) → 𝐾:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)
112 f1of 6175 . . . . . . . 8 (𝐾:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴𝐾:(1...(#‘𝐴))⟶𝐴)
1134, 111, 1123syl 18 . . . . . . 7 (𝜑𝐾:(1...(#‘𝐴))⟶𝐴)
114113ffvelrnda 6399 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(#‘𝐴))) → (𝐾𝑥) ∈ 𝐴)
115114iftrued 4127 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(#‘𝐴))) → if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 1) = (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵)
11663adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(#‘𝐴))) → 𝐴 ⊆ ℤ)
117116, 114sseldd 3637 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(#‘𝐴))) → (𝐾𝑥) ∈ ℤ)
118 nfv 1883 . . . . . . . . 9 𝑘𝜑
119 nfv 1883 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝐾𝑥) ∈ 𝐴
120 nfcsb1v 3582 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝐾𝑥) / 𝑘𝐵
121 nfcv 2793 . . . . . . . . . . 11 𝑘1
122119, 120, 121nfif 4148 . . . . . . . . . 10 𝑘if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 1)
123122nfel1 2808 . . . . . . . . 9 𝑘if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ
124118, 123nfim 1865 . . . . . . . 8 𝑘(𝜑 → if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ)
125 fvex 6239 . . . . . . . 8 (𝐾𝑥) ∈ V
126 eleq1 2718 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝐾𝑥) → (𝑘𝐴 ↔ (𝐾𝑥) ∈ 𝐴))
127 csbeq1a 3575 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝐾𝑥) → 𝐵 = (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵)
128126, 127ifbieq1d 4142 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝐾𝑥) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 1))
129128eleq1d 2715 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝐾𝑥) → (if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ ↔ if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ))
130129imbi2d 329 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝐾𝑥) → ((𝜑 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ) ↔ (𝜑 → if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ)))
131124, 125, 130, 91vtoclf 3289 . . . . . . 7 (𝜑 → if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ)
132131adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(#‘𝐴))) → if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ)
133 eleq1 2718 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝐾𝑥) → (𝑛𝐴 ↔ (𝐾𝑥) ∈ 𝐴))
134 csbeq1 3569 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝐾𝑥) → 𝑛 / 𝑘𝐵 = (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵)
135133, 134ifbieq1d 4142 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝐾𝑥) → if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 1) = if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 1))
136 nfcv 2793 . . . . . . . . 9 𝑛if(𝑘𝐴, 𝐵, 1)
137 nfv 1883 . . . . . . . . . 10 𝑘 𝑛𝐴
138 nfcsb1v 3582 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑛 / 𝑘𝐵
139137, 138, 121nfif 4148 . . . . . . . . 9 𝑘if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 1)
140 eleq1 2718 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘𝐴𝑛𝐴))
141 csbeq1a 3575 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑛𝐵 = 𝑛 / 𝑘𝐵)
142140, 141ifbieq1d 4142 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 1))
143136, 139, 142cbvmpt 4782 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 1))
1441, 143eqtri 2673 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 1))
145135, 144fvmptg 6319 . . . . . 6 (((𝐾𝑥) ∈ ℤ ∧ if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ) → (𝐹‘(𝐾𝑥)) = if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 1))
146117, 132, 145syl2anc 694 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(#‘𝐴))) → (𝐹‘(𝐾𝑥)) = if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 1))
147 elfznn 12408 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (1...(#‘𝐴)) → 𝑥 ∈ ℕ)
148147adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(#‘𝐴))) → 𝑥 ∈ ℕ)
149115, 132eqeltrrd 2731 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(#‘𝐴))) → (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
150 fveq2 6229 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑥 → (𝐾𝑗) = (𝐾𝑥))
151150csbeq1d 3573 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑥(𝐾𝑗) / 𝑘𝐵 = (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵)
152 prodmolem2.4 . . . . . . 7 𝐻 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐾𝑗) / 𝑘𝐵)
153151, 152fvmptg 6319 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵 ∈ ℂ) → (𝐻𝑥) = (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵)
154148, 149, 153syl2anc 694 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(#‘𝐴))) → (𝐻𝑥) = (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵)
155115, 146, 1543eqtr4rd 2696 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(#‘𝐴))) → (𝐻𝑥) = (𝐹‘(𝐾𝑥)))
15677, 79, 81, 82, 4, 83, 3, 96, 110, 155seqcoll 13286 . . 3 (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝐾𝑁)) = (seq1( · , 𝐻)‘𝑁))
157 prodmo.3 . . . 4 𝐺 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑓𝑗) / 𝑘𝐵)
15816, 16jca 553 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
1591, 2, 157, 152, 158, 5, 35prodmolem3 14707 . . 3 (𝜑 → (seq1( · , 𝐺)‘𝑁) = (seq1( · , 𝐻)‘𝑁))
160156, 159eqtr4d 2688 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝐾𝑁)) = (seq1( · , 𝐺)‘𝑁))
16175, 160breqtrd 4711 1 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ (seq1( · , 𝐺)‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  csb 3566  cdif 3604  wss 3607  ifcif 4119   class class class wbr 4685  cmpt 4762  ccnv 5142  wf 5922  1-1-ontowf1o 5925  cfv 5926   Isom wiso 5927  (class class class)co 6690  cen 7994  Fincfn 7997  cc 9972  cr 9973  1c1 9975   · cmul 9979  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  cn 11058  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  ...cfz 12364  seqcseq 12841  #chash 13157  cli 14259
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263
This theorem is referenced by:  prodmolem2  14709  zprod  14711
  Copyright terms: Public domain W3C validator