Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prodfzo03 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prodfzo03 31011
 Description: A product of three factors, indexed starting with zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
prodfzo03.1 (𝑘 = 0 → 𝐷 = 𝐴)
prodfzo03.2 (𝑘 = 1 → 𝐷 = 𝐵)
prodfzo03.3 (𝑘 = 2 → 𝐷 = 𝐶)
prodfzo03.a ((𝜑𝑘 ∈ (0..^3)) → 𝐷 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
prodfzo03 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (0..^3)𝐷 = (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑘)

Proof of Theorem prodfzo03
StepHypRef Expression
1 fzodisjsn 12720 . . . . 5 ((0..^2) ∩ {2}) = ∅
21a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((0..^2) ∩ {2}) = ∅)
3 2p1e3 11363 . . . . . . 7 (2 + 1) = 3
43oveq2i 6825 . . . . . 6 (0..^(2 + 1)) = (0..^3)
5 2eluzge0 11946 . . . . . . 7 2 ∈ (ℤ‘0)
6 fzosplitsn 12790 . . . . . . 7 (2 ∈ (ℤ‘0) → (0..^(2 + 1)) = ((0..^2) ∪ {2}))
75, 6ax-mp 5 . . . . . 6 (0..^(2 + 1)) = ((0..^2) ∪ {2})
84, 7eqtr3i 2784 . . . . 5 (0..^3) = ((0..^2) ∪ {2})
98a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (0..^3) = ((0..^2) ∪ {2}))
10 fzofi 12987 . . . . 5 (0..^3) ∈ Fin
1110a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (0..^3) ∈ Fin)
12 prodfzo03.a . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^3)) → 𝐷 ∈ ℂ)
132, 9, 11, 12fprodsplit 14915 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (0..^3)𝐷 = (∏𝑘 ∈ (0..^2)𝐷 · ∏𝑘 ∈ {2}𝐷))
14 0ne1 11300 . . . . . 6 0 ≠ 1
15 disjsn2 4391 . . . . . 6 (0 ≠ 1 → ({0} ∩ {1}) = ∅)
1614, 15mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → ({0} ∩ {1}) = ∅)
17 fzo0to2pr 12767 . . . . . . 7 (0..^2) = {0, 1}
18 df-pr 4324 . . . . . . 7 {0, 1} = ({0} ∪ {1})
1917, 18eqtri 2782 . . . . . 6 (0..^2) = ({0} ∪ {1})
2019a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (0..^2) = ({0} ∪ {1}))
21 fzofi 12987 . . . . . 6 (0..^2) ∈ Fin
2221a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (0..^2) ∈ Fin)
23 2z 11621 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℤ
24 3z 11622 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℤ
25 2re 11302 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
26 3re 11306 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
27 2lt3 11407 . . . . . . . . . 10 2 < 3
2825, 26, 27ltleii 10372 . . . . . . . . 9 2 ≤ 3
29 eluz2 11905 . . . . . . . . 9 (3 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 3))
3023, 24, 28, 29mpbir3an 1427 . . . . . . . 8 3 ∈ (ℤ‘2)
31 fzoss2 12710 . . . . . . . 8 (3 ∈ (ℤ‘2) → (0..^2) ⊆ (0..^3))
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . 7 (0..^2) ⊆ (0..^3)
3332sseli 3740 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0..^2) → 𝑘 ∈ (0..^3))
3433, 12sylan2 492 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^2)) → 𝐷 ∈ ℂ)
3516, 20, 22, 34fprodsplit 14915 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (0..^2)𝐷 = (∏𝑘 ∈ {0}𝐷 · ∏𝑘 ∈ {1}𝐷))
3635oveq1d 6829 . . 3 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (0..^2)𝐷 · ∏𝑘 ∈ {2}𝐷) = ((∏𝑘 ∈ {0}𝐷 · ∏𝑘 ∈ {1}𝐷) · ∏𝑘 ∈ {2}𝐷))
3713, 36eqtrd 2794 . 2 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (0..^3)𝐷 = ((∏𝑘 ∈ {0}𝐷 · ∏𝑘 ∈ {1}𝐷) · ∏𝑘 ∈ {2}𝐷))
38 snfi 8205 . . . . 5 {0} ∈ Fin
3938a1i 11 . . . 4 (𝜑 → {0} ∈ Fin)
40 velsn 4337 . . . . 5 (𝑘 ∈ {0} ↔ 𝑘 = 0)
41 prodfzo03.1 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → 𝐷 = 𝐴)
4241adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 0) → 𝐷 = 𝐴)
43 simpr 479 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^3)) ∧ 𝐷 = 𝐴) → 𝐷 = 𝐴)
4412adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^3)) ∧ 𝐷 = 𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)
4543, 44eqeltrrd 2840 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^3)) ∧ 𝐷 = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
46 c0ex 10246 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
4746tpid1 4447 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ {0, 1, 2}
48 fzo0to3tp 12768 . . . . . . . . . . 11 (0..^3) = {0, 1, 2}
4947, 48eleqtrri 2838 . . . . . . . . . 10 0 ∈ (0..^3)
50 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 𝐴 = 𝐴
5141eqeq1d 2762 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 0 → (𝐷 = 𝐴𝐴 = 𝐴))
5251rspcev 3449 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ (0..^3) ∧ 𝐴 = 𝐴) → ∃𝑘 ∈ (0..^3)𝐷 = 𝐴)
5349, 50, 52mp2an 710 . . . . . . . . 9 𝑘 ∈ (0..^3)𝐷 = 𝐴
5453a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ (0..^3)𝐷 = 𝐴)
5545, 54r19.29a 3216 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
5655adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
5742, 56eqeltrd 2839 . . . . 5 ((𝜑𝑘 = 0) → 𝐷 ∈ ℂ)
5840, 57sylan2b 493 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ {0}) → 𝐷 ∈ ℂ)
5939, 58fprodcl 14901 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {0}𝐷 ∈ ℂ)
60 snfi 8205 . . . . 5 {1} ∈ Fin
6160a1i 11 . . . 4 (𝜑 → {1} ∈ Fin)
62 velsn 4337 . . . . 5 (𝑘 ∈ {1} ↔ 𝑘 = 1)
63 prodfzo03.2 . . . . . . 7 (𝑘 = 1 → 𝐷 = 𝐵)
6463adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 1) → 𝐷 = 𝐵)
65 simpr 479 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^3)) ∧ 𝐷 = 𝐵) → 𝐷 = 𝐵)
6612adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^3)) ∧ 𝐷 = 𝐵) → 𝐷 ∈ ℂ)
6765, 66eqeltrrd 2840 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^3)) ∧ 𝐷 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
68 1ex 10247 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ V
6968tpid2 4448 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ {0, 1, 2}
7069, 48eleqtrri 2838 . . . . . . . . . 10 1 ∈ (0..^3)
71 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 𝐵 = 𝐵
7263eqeq1d 2762 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 1 → (𝐷 = 𝐵𝐵 = 𝐵))
7372rspcev 3449 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ (0..^3) ∧ 𝐵 = 𝐵) → ∃𝑘 ∈ (0..^3)𝐷 = 𝐵)
7470, 71, 73mp2an 710 . . . . . . . . 9 𝑘 ∈ (0..^3)𝐷 = 𝐵
7574a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ (0..^3)𝐷 = 𝐵)
7667, 75r19.29a 3216 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
7776adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 1) → 𝐵 ∈ ℂ)
7864, 77eqeltrd 2839 . . . . 5 ((𝜑𝑘 = 1) → 𝐷 ∈ ℂ)
7962, 78sylan2b 493 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ {1}) → 𝐷 ∈ ℂ)
8061, 79fprodcl 14901 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {1}𝐷 ∈ ℂ)
81 snfi 8205 . . . . 5 {2} ∈ Fin
8281a1i 11 . . . 4 (𝜑 → {2} ∈ Fin)
83 velsn 4337 . . . . 5 (𝑘 ∈ {2} ↔ 𝑘 = 2)
84 prodfzo03.3 . . . . . . 7 (𝑘 = 2 → 𝐷 = 𝐶)
8584adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 2) → 𝐷 = 𝐶)
86 simpr 479 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^3)) ∧ 𝐷 = 𝐶) → 𝐷 = 𝐶)
8712adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^3)) ∧ 𝐷 = 𝐶) → 𝐷 ∈ ℂ)
8886, 87eqeltrrd 2840 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^3)) ∧ 𝐷 = 𝐶) → 𝐶 ∈ ℂ)
89 2ex 11304 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ V
9089tpid3 4450 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ {0, 1, 2}
9190, 48eleqtrri 2838 . . . . . . . . . 10 2 ∈ (0..^3)
92 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 𝐶 = 𝐶
9384eqeq1d 2762 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 2 → (𝐷 = 𝐶𝐶 = 𝐶))
9493rspcev 3449 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ (0..^3) ∧ 𝐶 = 𝐶) → ∃𝑘 ∈ (0..^3)𝐷 = 𝐶)
9591, 92, 94mp2an 710 . . . . . . . . 9 𝑘 ∈ (0..^3)𝐷 = 𝐶
9695a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ (0..^3)𝐷 = 𝐶)
9788, 96r19.29a 3216 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
9897adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 2) → 𝐶 ∈ ℂ)
9985, 98eqeltrd 2839 . . . . 5 ((𝜑𝑘 = 2) → 𝐷 ∈ ℂ)
10083, 99sylan2b 493 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ {2}) → 𝐷 ∈ ℂ)
10182, 100fprodcl 14901 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {2}𝐷 ∈ ℂ)
10259, 80, 101mulassd 10275 . 2 (𝜑 → ((∏𝑘 ∈ {0}𝐷 · ∏𝑘 ∈ {1}𝐷) · ∏𝑘 ∈ {2}𝐷) = (∏𝑘 ∈ {0}𝐷 · (∏𝑘 ∈ {1}𝐷 · ∏𝑘 ∈ {2}𝐷)))
103 0nn0 11519 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
104103a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
10541prodsn 14911 . . . 4 ((0 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {0}𝐷 = 𝐴)
106104, 55, 105syl2anc 696 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {0}𝐷 = 𝐴)
107 1nn0 11520 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
108107a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
10963prodsn 14911 . . . . 5 ((1 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {1}𝐷 = 𝐵)
110108, 76, 109syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {1}𝐷 = 𝐵)
111 2nn0 11521 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
112111a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
11384prodsn 14911 . . . . 5 ((2 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {2}𝐷 = 𝐶)
114112, 97, 113syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {2}𝐷 = 𝐶)
115110, 114oveq12d 6832 . . 3 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ {1}𝐷 · ∏𝑘 ∈ {2}𝐷) = (𝐵 · 𝐶))
116106, 115oveq12d 6832 . 2 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ {0}𝐷 · (∏𝑘 ∈ {1}𝐷 · ∏𝑘 ∈ {2}𝐷)) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)))
11737, 102, 1163eqtrd 2798 1 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (0..^3)𝐷 = (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∃wrex 3051   ∪ cun 3713   ∩ cin 3714   ⊆ wss 3715  ∅c0 4058  {csn 4321  {cpr 4323  {ctp 4325   class class class wbr 4804  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  Fincfn 8123  ℂcc 10146  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151   · cmul 10153   ≤ cle 10287  2c2 11282  3c3 11283  ℕ0cn0 11504  ℤcz 11589  ℤ≥cuz 11899  ..^cfzo 12679  ∏cprod 14854 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-sup 8515  df-oi 8582  df-card 8975  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-rp 12046  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-seq 13016  df-exp 13075  df-hash 13332  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438  df-prod 14855 This theorem is referenced by:  circlevma  31050  circlemethhgt  31051
 Copyright terms: Public domain W3C validator