MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prodeq2dv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prodeq2dv 14852
Description: Equality deduction for product. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
prodeq2dv.1 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
Assertion
Ref Expression
prodeq2dv (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 = ∏𝑘𝐴 𝐶)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem prodeq2dv
StepHypRef Expression
1 prodeq2dv.1 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
21ralrimiva 3104 . 2 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 = 𝐶)
32prodeq2d 14851 1 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 = ∏𝑘𝐴 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  cprod 14834
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-seq 12996  df-prod 14835
This theorem is referenced by:  prodeq2sdv  14853  2cprodeq2dv  14854  prodeq12dv  14855  prodeq12rdv  14856  fprodf1o  14875  fprodss  14877  fprodsplit  14895  fprod2dlem  14909  risefallfac  14954  risefacfac  14965  fallfacfwd  14966  fproddvdsd  15261  prmgapprmo  15968  breprexplema  31017  breprexp  31020  breprexpnat  31021  vtsprod  31026  circlemethnat  31028  circlevma  31029  circlemethhgt  31030  hgt750lemg  31041  bcprod  31931  iprodgam  31935  mccllem  40332  fprodcncf  40617  etransclem4  40958  etransclem13  40967  etransclem23  40977  etransclem31  40985  etransclem35  40989  hoicvrrex  41276  hsphoidmvle2  41305  hsphoidmvle  41306  hoidmvlelem2  41316  hoidmvlelem3  41317  hoidmvlelem4  41318  ovnhoilem1  41321  ovnhoilem2  41322  ovnhoi  41323  ovnlecvr2  41330  ovncvr2  41331  hspmbllem1  41346  hspmbl  41349  ovnovollem1  41376  vonioolem1  41400  vonicclem1  41403  vonn0icc  41408  vonn0ioo2  41410  vonsn  41411  vonn0icc2  41412
  Copyright terms: Public domain W3C validator