MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prod1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prod1 14655
Description: Any product of one over a valid set is one. (Contributed by Scott Fenton, 7-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
prod1 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∨ 𝐴 ∈ Fin) → ∏𝑘𝐴 1 = 1)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑀

Proof of Theorem prod1
Dummy variables 𝑓 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2620 . . . 4 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
2 simpr 477 . . . 4 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
3 ax-1ne0 9990 . . . . 5 1 ≠ 0
43a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 1 ≠ 0)
51prodfclim1 14606 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( · , ((ℤ𝑀) × {1})) ⇝ 1)
65adantl 482 . . . 4 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → seq𝑀( · , ((ℤ𝑀) × {1})) ⇝ 1)
7 simpl 473 . . . 4 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
8 1ex 10020 . . . . . . 7 1 ∈ V
98fvconst2 6454 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (((ℤ𝑀) × {1})‘𝑘) = 1)
10 ifid 4116 . . . . . 6 if(𝑘𝐴, 1, 1) = 1
119, 10syl6eqr 2672 . . . . 5 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (((ℤ𝑀) × {1})‘𝑘) = if(𝑘𝐴, 1, 1))
1211adantl 482 . . . 4 (((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (((ℤ𝑀) × {1})‘𝑘) = if(𝑘𝐴, 1, 1))
13 1cnd 10041 . . . 4 (((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑘𝐴) → 1 ∈ ℂ)
141, 2, 4, 6, 7, 12, 13zprodn0 14650 . . 3 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ∏𝑘𝐴 1 = 1)
15 uzf 11675 . . . . . . . . 9 :ℤ⟶𝒫 ℤ
1615fdmi 6039 . . . . . . . 8 dom ℤ = ℤ
1716eleq2i 2691 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ dom ℤ𝑀 ∈ ℤ)
18 ndmfv 6205 . . . . . . 7 𝑀 ∈ dom ℤ → (ℤ𝑀) = ∅)
1917, 18sylnbir 321 . . . . . 6 𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑀) = ∅)
2019sseq2d 3625 . . . . 5 𝑀 ∈ ℤ → (𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ↔ 𝐴 ⊆ ∅))
2120biimpac 503 . . . 4 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 ⊆ ∅)
22 ss0 3965 . . . 4 (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)
23 prodeq1 14620 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → ∏𝑘𝐴 1 = ∏𝑘 ∈ ∅ 1)
24 prod0 14654 . . . . 5 𝑘 ∈ ∅ 1 = 1
2523, 24syl6eq 2670 . . . 4 (𝐴 = ∅ → ∏𝑘𝐴 1 = 1)
2621, 22, 253syl 18 . . 3 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → ∏𝑘𝐴 1 = 1)
2714, 26pm2.61dan 831 . 2 (𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) → ∏𝑘𝐴 1 = 1)
28 fz1f1o 14422 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)))
29 eqidd 2621 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑓𝑗) → 1 = 1)
30 simpl 473 . . . . . . . . 9 (((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → (#‘𝐴) ∈ ℕ)
31 simpr 477 . . . . . . . . 9 (((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)
32 1cnd 10041 . . . . . . . . 9 ((((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑘𝐴) → 1 ∈ ℂ)
33 elfznn 12355 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (1...(#‘𝐴)) → 𝑗 ∈ ℕ)
348fvconst2 6454 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ ℕ → ((ℕ × {1})‘𝑗) = 1)
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (1...(#‘𝐴)) → ((ℕ × {1})‘𝑗) = 1)
3635adantl 482 . . . . . . . . 9 ((((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑗 ∈ (1...(#‘𝐴))) → ((ℕ × {1})‘𝑗) = 1)
3729, 30, 31, 32, 36fprod 14652 . . . . . . . 8 (((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → ∏𝑘𝐴 1 = (seq1( · , (ℕ × {1}))‘(#‘𝐴)))
38 nnuz 11708 . . . . . . . . . 10 ℕ = (ℤ‘1)
3938prodf1 14604 . . . . . . . . 9 ((#‘𝐴) ∈ ℕ → (seq1( · , (ℕ × {1}))‘(#‘𝐴)) = 1)
4039adantr 481 . . . . . . . 8 (((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → (seq1( · , (ℕ × {1}))‘(#‘𝐴)) = 1)
4137, 40eqtrd 2654 . . . . . . 7 (((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → ∏𝑘𝐴 1 = 1)
4241ex 450 . . . . . 6 ((#‘𝐴) ∈ ℕ → (𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → ∏𝑘𝐴 1 = 1))
4342exlimdv 1859 . . . . 5 ((#‘𝐴) ∈ ℕ → (∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → ∏𝑘𝐴 1 = 1))
4443imp 445 . . . 4 (((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → ∏𝑘𝐴 1 = 1)
4525, 44jaoi 394 . . 3 ((𝐴 = ∅ ∨ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → ∏𝑘𝐴 1 = 1)
4628, 45syl 17 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ∏𝑘𝐴 1 = 1)
4727, 46jaoi 394 1 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∨ 𝐴 ∈ Fin) → ∏𝑘𝐴 1 = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 383  wa 384   = wceq 1481  wex 1702  wcel 1988  wne 2791  wss 3567  c0 3907  ifcif 4077  𝒫 cpw 4149  {csn 4168   class class class wbr 4644   × cxp 5102  dom cdm 5104  1-1-ontowf1o 5875  cfv 5876  (class class class)co 6635  Fincfn 7940  0cc0 9921  1c1 9922   · cmul 9926  cn 11005  cz 11362  cuz 11672  ...cfz 12311  seqcseq 12784  #chash 13100  cli 14196  cprod 14616
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-sup 8333  df-oi 8400  df-card 8750  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-rp 11818  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-seq 12785  df-exp 12844  df-hash 13101  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-clim 14200  df-prod 14617
This theorem is referenced by:  fprodex01  29545  etransclem35  40249
  Copyright terms: Public domain W3C validator