Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prod1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prod1 14880
 Description: Any product of one over a valid set is one. (Contributed by Scott Fenton, 7-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
prod1 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∨ 𝐴 ∈ Fin) → ∏𝑘𝐴 1 = 1)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑀

Proof of Theorem prod1
Dummy variables 𝑓 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2770 . . . 4 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
2 simpr 471 . . . 4 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
3 ax-1ne0 10206 . . . . 5 1 ≠ 0
43a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 1 ≠ 0)
51prodfclim1 14831 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( · , ((ℤ𝑀) × {1})) ⇝ 1)
65adantl 467 . . . 4 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → seq𝑀( · , ((ℤ𝑀) × {1})) ⇝ 1)
7 simpl 468 . . . 4 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
8 1ex 10236 . . . . . . 7 1 ∈ V
98fvconst2 6612 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (((ℤ𝑀) × {1})‘𝑘) = 1)
10 ifid 4262 . . . . . 6 if(𝑘𝐴, 1, 1) = 1
119, 10syl6eqr 2822 . . . . 5 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (((ℤ𝑀) × {1})‘𝑘) = if(𝑘𝐴, 1, 1))
1211adantl 467 . . . 4 (((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (((ℤ𝑀) × {1})‘𝑘) = if(𝑘𝐴, 1, 1))
13 1cnd 10257 . . . 4 (((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑘𝐴) → 1 ∈ ℂ)
141, 2, 4, 6, 7, 12, 13zprodn0 14875 . . 3 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ∏𝑘𝐴 1 = 1)
15 uzf 11890 . . . . . . . . 9 :ℤ⟶𝒫 ℤ
1615fdmi 6192 . . . . . . . 8 dom ℤ = ℤ
1716eleq2i 2841 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ dom ℤ𝑀 ∈ ℤ)
18 ndmfv 6359 . . . . . . 7 𝑀 ∈ dom ℤ → (ℤ𝑀) = ∅)
1917, 18sylnbir 320 . . . . . 6 𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑀) = ∅)
2019sseq2d 3780 . . . . 5 𝑀 ∈ ℤ → (𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ↔ 𝐴 ⊆ ∅))
2120biimpac 464 . . . 4 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 ⊆ ∅)
22 ss0 4116 . . . 4 (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)
23 prodeq1 14845 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → ∏𝑘𝐴 1 = ∏𝑘 ∈ ∅ 1)
24 prod0 14879 . . . . 5 𝑘 ∈ ∅ 1 = 1
2523, 24syl6eq 2820 . . . 4 (𝐴 = ∅ → ∏𝑘𝐴 1 = 1)
2621, 22, 253syl 18 . . 3 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → ∏𝑘𝐴 1 = 1)
2714, 26pm2.61dan 796 . 2 (𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) → ∏𝑘𝐴 1 = 1)
28 fz1f1o 14648 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)))
29 eqidd 2771 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑓𝑗) → 1 = 1)
30 simpl 468 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
31 simpr 471 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)
32 1cnd 10257 . . . . . . . . 9 ((((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑘𝐴) → 1 ∈ ℂ)
33 elfznn 12576 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (1...(♯‘𝐴)) → 𝑗 ∈ ℕ)
348fvconst2 6612 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ ℕ → ((ℕ × {1})‘𝑗) = 1)
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (1...(♯‘𝐴)) → ((ℕ × {1})‘𝑗) = 1)
3635adantl 467 . . . . . . . . 9 ((((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑗 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → ((ℕ × {1})‘𝑗) = 1)
3729, 30, 31, 32, 36fprod 14877 . . . . . . . 8 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → ∏𝑘𝐴 1 = (seq1( · , (ℕ × {1}))‘(♯‘𝐴)))
38 nnuz 11924 . . . . . . . . . 10 ℕ = (ℤ‘1)
3938prodf1 14829 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (seq1( · , (ℕ × {1}))‘(♯‘𝐴)) = 1)
4039adantr 466 . . . . . . . 8 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → (seq1( · , (ℕ × {1}))‘(♯‘𝐴)) = 1)
4137, 40eqtrd 2804 . . . . . . 7 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → ∏𝑘𝐴 1 = 1)
4241ex 397 . . . . . 6 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → ∏𝑘𝐴 1 = 1))
4342exlimdv 2012 . . . . 5 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → ∏𝑘𝐴 1 = 1))
4443imp 393 . . . 4 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → ∏𝑘𝐴 1 = 1)
4525, 44jaoi 837 . . 3 ((𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → ∏𝑘𝐴 1 = 1)
4628, 45syl 17 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ∏𝑘𝐴 1 = 1)
4727, 46jaoi 837 1 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∨ 𝐴 ∈ Fin) → ∏𝑘𝐴 1 = 1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 382   ∨ wo 826   = wceq 1630  ∃wex 1851   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2942   ⊆ wss 3721  ∅c0 4061  ifcif 4223  𝒫 cpw 4295  {csn 4314   class class class wbr 4784   × cxp 5247  dom cdm 5249  –1-1-onto→wf1o 6030  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792  Fincfn 8108  0cc0 10137  1c1 10138   · cmul 10142  ℕcn 11221  ℤcz 11578  ℤ≥cuz 11887  ...cfz 12532  seqcseq 13007  ♯chash 13320   ⇝ cli 14422  ∏cprod 14841 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-sup 8503  df-oi 8570  df-card 8964  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-rp 12035  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-seq 13008  df-exp 13067  df-hash 13321  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-clim 14426  df-prod 14842 This theorem is referenced by:  fprodex01  29905  etransclem35  40997
 Copyright terms: Public domain W3C validator