MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmz 15595
Description: A prime number is an integer. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Jonathan Yan, 16-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
prmz (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)

Proof of Theorem prmz
StepHypRef Expression
1 prmnn 15594 . 2 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
21nnzd 11682 1 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2144  cz 11578  cprime 15591
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-n0 11494  df-z 11579  df-prm 15592
This theorem is referenced by:  dvdsprime  15606  oddprmge3  15618  exprmfct  15622  prmdvdsfz  15623  isprm5  15625  isprm7  15626  maxprmfct  15627  coprm  15629  prmrp  15630  euclemma  15631  prmdvdsexpb  15634  prmexpb  15636  prmfac1  15637  rpexp  15638  cncongrprm  15643  phiprmpw  15687  phiprm  15688  fermltl  15695  prmdiv  15696  prmdiveq  15697  vfermltl  15712  vfermltlALT  15713  reumodprminv  15715  modprm0  15716  oddprm  15721  prm23lt5  15725  prm23ge5  15726  pcneg  15784  pcprmpw2  15792  pcprmpw  15793  difsqpwdvds  15797  pcprod  15805  prmpwdvds  15814  prmunb  15824  prmreclem3  15828  prmreclem5  15830  1arithlem1  15833  1arithlem4  15836  1arith  15837  4sqlem11  15865  4sqlem12  15866  4sqlem13  15867  4sqlem14  15868  4sqlem17  15871  prmdvdsprmo  15952  prmdvdsprmop  15953  fvprmselgcd1  15955  prmgaplem4  15964  prmgaplem5  15965  prmgaplem6  15966  prmgaplem8  15968  pgpfi  18226  sylow2alem2  18239  sylow2blem3  18243  gexexlem  18461  ablfacrplem  18671  ablfac1lem  18674  ablfac1b  18676  ablfac1eu  18679  pgpfac1lem2  18681  pgpfac1lem3a  18682  pgpfac1lem3  18683  pgpfac1lem4  18684  ablfaclem3  18693  prmirredlem  20055  wilthlem1  25014  wilthlem2  25015  ppisval  25050  vmappw  25062  muval1  25079  dvdssqf  25084  mumullem1  25125  mumul  25127  sqff1o  25128  dvdsppwf1o  25132  musum  25137  ppiublem1  25147  ppiublem2  25148  chtublem  25156  vmasum  25161  perfect1  25173  bposlem3  25231  bposlem6  25234  lgslem1  25242  lgsval2lem  25252  lgsvalmod  25261  lgsmod  25268  lgsdirprm  25276  lgsdir  25277  lgsdilem2  25278  lgsdi  25279  lgsne0  25280  lgsprme0  25284  lgsqr  25296  gausslemma2dlem1a  25310  gausslemma2dlem4  25314  gausslemma2dlem5a  25315  lgseisenlem1  25320  lgseisenlem2  25321  lgseisenlem3  25322  lgseisenlem4  25323  lgseisen  25324  lgsquadlem2  25326  lgsquadlem3  25327  lgsquad2lem2  25330  m1lgs  25333  2lgslem1a  25336  2lgslem1  25339  2lgslem2  25340  2lgsoddprm  25361  2sqlem3  25365  2sqlem4  25366  2sqlem6  25368  2sqlem8  25371  2sqblem  25376  2sqb  25377  rpvmasumlem  25396  dchrisum0flblem1  25417  dchrisum0flblem2  25418  dirith  25438  clwwlkndivn  27235  2sqmod  29982  oddprm2  31067  nn0prpwlem  32648  nn0prpw  32649  prmunb2  39029  nzprmdif  39037  etransclem48  41010  sfprmdvdsmersenne  42038  sgprmdvdsmersenne  42039  oddprmALTV  42116  oddprmne2  42142  even3prm2  42146  mogoldbblem  42147  sbgoldbst  42184  sbgoldbaltlem1  42185  sbgoldbaltlem2  42186  nnsum3primesprm  42196  nnsum3primesgbe  42198  nnsum4primesodd  42202  nnsum4primesoddALTV  42203  nnsum4primeseven  42206  nnsum4primesevenALTV  42207  bgoldbtbndlem2  42212  bgoldbtbndlem3  42213  bgoldbtbndlem4  42214  bgoldbtbnd  42215  ztprmneprm  42643
  Copyright terms: Public domain W3C validator