Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prmunb2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmunb2 39036
Description: The primes are unbounded. This generalizes prmunb 15825 to real 𝐴 with arch 11491 and lttrd 10400: every real is less than some positive integer, itself less than some prime. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
prmunb2 (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝)
Distinct variable group:   𝐴,𝑝

Proof of Theorem prmunb2
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplll 758 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐴 < 𝑛𝑛 < 𝑝)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2 nnre 11229 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
32ad3antlr 710 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐴 < 𝑛𝑛 < 𝑝)) → 𝑛 ∈ ℝ)
4 prmz 15596 . . . . . 6 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
54zred 11684 . . . . 5 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ)
65ad2antlr 706 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐴 < 𝑛𝑛 < 𝑝)) → 𝑝 ∈ ℝ)
7 simprl 754 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐴 < 𝑛𝑛 < 𝑝)) → 𝐴 < 𝑛)
8 simprr 756 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐴 < 𝑛𝑛 < 𝑝)) → 𝑛 < 𝑝)
91, 3, 6, 7, 8lttrd 10400 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐴 < 𝑛𝑛 < 𝑝)) → 𝐴 < 𝑝)
10 arch 11491 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑛)
11 prmunb 15825 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝)
1211rgen 3071 . . . . 5 𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝
13 r19.29r 3221 . . . . 5 ((∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑛 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴 < 𝑛 ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝))
1410, 12, 13sylancl 574 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴 < 𝑛 ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝))
15 r19.42v 3240 . . . . 5 (∃𝑝 ∈ ℙ (𝐴 < 𝑛𝑛 < 𝑝) ↔ (𝐴 < 𝑛 ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝))
1615rexbii 3189 . . . 4 (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝐴 < 𝑛𝑛 < 𝑝) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴 < 𝑛 ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝))
1714, 16sylibr 224 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝐴 < 𝑛𝑛 < 𝑝))
189, 17reximddv2 3168 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝)
19 1nn 11233 . . 3 1 ∈ ℕ
20 ne0i 4069 . . 3 (1 ∈ ℕ → ℕ ≠ ∅)
21 r19.9rzv 4206 . . 3 (ℕ ≠ ∅ → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝))
2219, 20, 21mp2b 10 . 2 (∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝)
2318, 22sylibr 224 1 (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  wrex 3062  c0 4063   class class class wbr 4786  cr 10137  1c1 10139   < clt 10276  cn 11222  cprime 15592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-fz 12534  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-dvds 15190  df-prm 15593
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator