MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmreclem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmreclem6 15606
Description: Lemma for prmrec 15607. If the series 𝐹 was convergent, there would be some 𝑘 such that the sum starting from 𝑘 + 1 sums to less than 1 / 2; this is a sufficient hypothesis for prmreclem5 15605 to produce the contradictory bound 𝑁 / 2 < (2↑𝑘)√𝑁, which is false for 𝑁 = 2↑(2𝑘 + 2). (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
prmrec.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (1 / 𝑛), 0))
Assertion
Ref Expression
prmreclem6 ¬ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝
Distinct variable group:   𝑛,𝐹

Proof of Theorem prmreclem6
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑚 𝑝 𝑟 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11708 . . . . . . . . 9 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 11393 . . . . . . . . 9 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3 nnrecre 11042 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
43adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
5 0re 10025 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
6 ifcl 4121 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / 𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(𝑛 ∈ ℙ, (1 / 𝑛), 0) ∈ ℝ)
74, 5, 6sylancl 693 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → if(𝑛 ∈ ℙ, (1 / 𝑛), 0) ∈ ℝ)
8 prmrec.1 . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (1 / 𝑛), 0))
97, 8fmptd 6371 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
109ffvelrnda 6345 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
111, 2, 10serfre 12813 . . . . . . . 8 (⊤ → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ)
1211trud 1491 . . . . . . 7 seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ
13 frn 6040 . . . . . . 7 (seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ → ran seq1( + , 𝐹) ⊆ ℝ)
1412, 13mp1i 13 . . . . . 6 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → ran seq1( + , 𝐹) ⊆ ℝ)
15 1nn 11016 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ
1612fdmi 6039 . . . . . . . 8 dom seq1( + , 𝐹) = ℕ
1715, 16eleqtrri 2698 . . . . . . 7 1 ∈ dom seq1( + , 𝐹)
18 ne0i 3913 . . . . . . . 8 (1 ∈ dom seq1( + , 𝐹) → dom seq1( + , 𝐹) ≠ ∅)
19 dm0rn0 5331 . . . . . . . . 9 (dom seq1( + , 𝐹) = ∅ ↔ ran seq1( + , 𝐹) = ∅)
2019necon3bii 2843 . . . . . . . 8 (dom seq1( + , 𝐹) ≠ ∅ ↔ ran seq1( + , 𝐹) ≠ ∅)
2118, 20sylib 208 . . . . . . 7 (1 ∈ dom seq1( + , 𝐹) → ran seq1( + , 𝐹) ≠ ∅)
2217, 21mp1i 13 . . . . . 6 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → ran seq1( + , 𝐹) ≠ ∅)
23 1zzd 11393 . . . . . . . . 9 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → 1 ∈ ℤ)
24 climdm 14266 . . . . . . . . . 10 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)))
2524biimpi 206 . . . . . . . . 9 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → seq1( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)))
2612a1i 11 . . . . . . . . . 10 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ)
2726ffvelrnda 6345 . . . . . . . . 9 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ)
281, 23, 25, 27climrecl 14295 . . . . . . . 8 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)) ∈ ℝ)
29 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
3025adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → seq1( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)))
31 eleq1 2687 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑗 → (𝑛 ∈ ℙ ↔ 𝑗 ∈ ℙ))
32 oveq2 6643 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑗 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑗))
3331, 32ifbieq1d 4100 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑗 → if(𝑛 ∈ ℙ, (1 / 𝑛), 0) = if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0))
34 prmnn 15369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ ℙ → 𝑗 ∈ ℕ)
3534adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⊤ ∧ 𝑗 ∈ ℙ) → 𝑗 ∈ ℕ)
3635nnrecred 11051 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊤ ∧ 𝑗 ∈ ℙ) → (1 / 𝑗) ∈ ℝ)
375a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℙ) → 0 ∈ ℝ)
3836, 37ifclda 4111 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⊤ → if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) ∈ ℝ)
3938trud 1491 . . . . . . . . . . . . . . 15 if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) ∈ ℝ
4039elexi 3208 . . . . . . . . . . . . . 14 if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) ∈ V
4133, 8, 40fvmpt 6269 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ → (𝐹𝑗) = if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0))
4241adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) = if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0))
4339a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) ∈ ℝ)
4442, 43eqeltrd 2699 . . . . . . . . . . 11 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
4544adantlr 750 . . . . . . . . . 10 (((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
46 nnrp 11827 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ+)
4746adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℝ+)
4847rpreccld 11867 . . . . . . . . . . . . . 14 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1 / 𝑗) ∈ ℝ+)
4948rpge0d 11861 . . . . . . . . . . . . 13 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 ≤ (1 / 𝑗))
50 0le0 11095 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≤ 0
51 breq2 4648 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 / 𝑗) = if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) → (0 ≤ (1 / 𝑗) ↔ 0 ≤ if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0)))
52 breq2 4648 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 = if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) → (0 ≤ 0 ↔ 0 ≤ if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0)))
5351, 52ifboth 4115 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ≤ (1 / 𝑗) ∧ 0 ≤ 0) → 0 ≤ if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0))
5449, 50, 53sylancl 693 . . . . . . . . . . . 12 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 ≤ if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0))
5554, 42breqtrrd 4672 . . . . . . . . . . 11 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐹𝑗))
5655adantlr 750 . . . . . . . . . 10 (((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐹𝑗))
571, 29, 30, 45, 56climserle 14374 . . . . . . . . 9 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)))
5857ralrimiva 2963 . . . . . . . 8 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)))
59 breq2 4648 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)) → ((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥 ↔ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹))))
6059ralbidv 2983 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)) → (∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹))))
6160rspcev 3304 . . . . . . . 8 ((( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥)
6228, 58, 61syl2anc 692 . . . . . . 7 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥)
63 ffn 6032 . . . . . . . . 9 (seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ → seq1( + , 𝐹) Fn ℕ)
64 breq1 4647 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) → (𝑧𝑥 ↔ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥))
6564ralrn 6348 . . . . . . . . 9 (seq1( + , 𝐹) Fn ℕ → (∀𝑧 ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥))
6612, 63, 65mp2b 10 . . . . . . . 8 (∀𝑧 ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥)
6766rexbii 3037 . . . . . . 7 (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥)
6862, 67sylibr 224 . . . . . 6 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧𝑥)
69 suprcl 10968 . . . . . 6 ((ran seq1( + , 𝐹) ⊆ ℝ ∧ ran seq1( + , 𝐹) ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧𝑥) → sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) ∈ ℝ)
7014, 22, 68, 69syl3anc 1324 . . . . 5 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) ∈ ℝ)
71 2rp 11822 . . . . . 6 2 ∈ ℝ+
72 rpreccl 11842 . . . . . 6 (2 ∈ ℝ+ → (1 / 2) ∈ ℝ+)
7371, 72ax-mp 5 . . . . 5 (1 / 2) ∈ ℝ+
74 ltsubrp 11851 . . . . 5 ((sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ+) → (sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ))
7570, 73, 74sylancl 693 . . . 4 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → (sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ))
76 halfre 11231 . . . . . 6 (1 / 2) ∈ ℝ
77 resubcl 10330 . . . . . 6 ((sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) ∈ ℝ)
7870, 76, 77sylancl 693 . . . . 5 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → (sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) ∈ ℝ)
79 suprlub 10972 . . . . 5 (((ran seq1( + , 𝐹) ⊆ ℝ ∧ ran seq1( + , 𝐹) ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧𝑥) ∧ (sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) ∈ ℝ) → ((sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) ↔ ∃𝑦 ∈ ran seq1( + , 𝐹)(sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < 𝑦))
8014, 22, 68, 78, 79syl31anc 1327 . . . 4 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → ((sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) ↔ ∃𝑦 ∈ ran seq1( + , 𝐹)(sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < 𝑦))
8175, 80mpbid 222 . . 3 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → ∃𝑦 ∈ ran seq1( + , 𝐹)(sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < 𝑦)
82 breq2 4648 . . . . 5 (𝑦 = (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) → ((sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < 𝑦 ↔ (sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))
8382rexrn 6347 . . . 4 (seq1( + , 𝐹) Fn ℕ → (∃𝑦 ∈ ran seq1( + , 𝐹)(sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < 𝑦 ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ (sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))
8412, 63, 83mp2b 10 . . 3 (∃𝑦 ∈ ran seq1( + , 𝐹)(sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < 𝑦 ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ (sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))
8581, 84sylib 208 . 2 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → ∃𝑘 ∈ ℕ (sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))
86 2re 11075 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
87 2nn 11170 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ
88 nnmulcl 11028 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ)
8987, 29, 88sylancr 694 . . . . . . . 8 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ)
9089peano2nnd 11022 . . . . . . 7 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ)
9190nnnn0d 11336 . . . . . 6 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0)
92 reexpcl 12860 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0) → (2↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℝ)
9386, 91, 92sylancr 694 . . . . 5 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℝ)
9493ltnrd 10156 . . . 4 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ¬ (2↑((2 · 𝑘) + 1)) < (2↑((2 · 𝑘) + 1)))
9529adantr 481 . . . . . . 7 (((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) < (1 / 2)) → 𝑘 ∈ ℕ)
96 peano2nn 11017 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
9796adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
9897nnnn0d 11336 . . . . . . . . . 10 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
99 nnexpcl 12856 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
10087, 98, 99sylancr 694 . . . . . . . . 9 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
101100nnsqcld 13012 . . . . . . . 8 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2↑(𝑘 + 1))↑2) ∈ ℕ)
102101adantr 481 . . . . . . 7 (((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) < (1 / 2)) → ((2↑(𝑘 + 1))↑2) ∈ ℕ)
103 breq1 4647 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑤 → (𝑝𝑟𝑤𝑟))
104103notbid 308 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑤 → (¬ 𝑝𝑟 ↔ ¬ 𝑤𝑟))
105104cbvralv 3166 . . . . . . . . 9 (∀𝑝 ∈ (ℙ ∖ (1...𝑘)) ¬ 𝑝𝑟 ↔ ∀𝑤 ∈ (ℙ ∖ (1...𝑘)) ¬ 𝑤𝑟)
106 breq2 4648 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑛 → (𝑤𝑟𝑤𝑛))
107106notbid 308 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑛 → (¬ 𝑤𝑟 ↔ ¬ 𝑤𝑛))
108107ralbidv 2983 . . . . . . . . 9 (𝑟 = 𝑛 → (∀𝑤 ∈ (ℙ ∖ (1...𝑘)) ¬ 𝑤𝑟 ↔ ∀𝑤 ∈ (ℙ ∖ (1...𝑘)) ¬ 𝑤𝑛))
109105, 108syl5bb 272 . . . . . . . 8 (𝑟 = 𝑛 → (∀𝑝 ∈ (ℙ ∖ (1...𝑘)) ¬ 𝑝𝑟 ↔ ∀𝑤 ∈ (ℙ ∖ (1...𝑘)) ¬ 𝑤𝑛))
110109cbvrabv 3194 . . . . . . 7 {𝑟 ∈ (1...((2↑(𝑘 + 1))↑2)) ∣ ∀𝑝 ∈ (ℙ ∖ (1...𝑘)) ¬ 𝑝𝑟} = {𝑛 ∈ (1...((2↑(𝑘 + 1))↑2)) ∣ ∀𝑤 ∈ (ℙ ∖ (1...𝑘)) ¬ 𝑤𝑛}
111 simpll 789 . . . . . . 7 (((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) < (1 / 2)) → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
112 eleq1 2687 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑗 → (𝑚 ∈ ℙ ↔ 𝑗 ∈ ℙ))
113 oveq2 6643 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑗 → (1 / 𝑚) = (1 / 𝑗))
114112, 113ifbieq1d 4100 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑗 → if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0) = if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0))
115114cbvsumv 14407 . . . . . . . 8 Σ𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0) = Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0)
116 simpr 477 . . . . . . . 8 (((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) < (1 / 2)) → Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) < (1 / 2))
117115, 116syl5eqbr 4679 . . . . . . 7 (((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) < (1 / 2)) → Σ𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0) < (1 / 2))
118 eqid 2620 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ ℕ ↦ {𝑛 ∈ (1...((2↑(𝑘 + 1))↑2)) ∣ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤𝑛)}) = (𝑤 ∈ ℕ ↦ {𝑛 ∈ (1...((2↑(𝑘 + 1))↑2)) ∣ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤𝑛)})
1198, 95, 102, 110, 111, 117, 118prmreclem5 15605 . . . . . 6 (((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) < (1 / 2)) → (((2↑(𝑘 + 1))↑2) / 2) < ((2↑𝑘) · (√‘((2↑(𝑘 + 1))↑2))))
120119ex 450 . . . . 5 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) < (1 / 2) → (((2↑(𝑘 + 1))↑2) / 2) < ((2↑𝑘) · (√‘((2↑(𝑘 + 1))↑2)))))
121 eqid 2620 . . . . . . . . 9 (ℤ‘(𝑘 + 1)) = (ℤ‘(𝑘 + 1))
12297nnzd 11466 . . . . . . . . 9 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
123 eluznn 11743 . . . . . . . . . . 11 (((𝑘 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))) → 𝑗 ∈ ℕ)
12497, 123sylan 488 . . . . . . . . . 10 (((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))) → 𝑗 ∈ ℕ)
125124, 41syl 17 . . . . . . . . 9 (((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))) → (𝐹𝑗) = if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0))
12639a1i 11 . . . . . . . . 9 (((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))) → if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) ∈ ℝ)
127 simpl 473 . . . . . . . . . 10 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
12841adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) = if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0))
12939recni 10037 . . . . . . . . . . . . 13 if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) ∈ ℂ
130129a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) ∈ ℂ)
131128, 130eqeltrd 2699 . . . . . . . . . . 11 (((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
1321, 97, 131iserex 14368 . . . . . . . . . 10 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq(𝑘 + 1)( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
133127, 132mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → seq(𝑘 + 1)( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
134121, 122, 125, 126, 133isumrecl 14477 . . . . . . . 8 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) ∈ ℝ)
13576a1i 11 . . . . . . . 8 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 2) ∈ ℝ)
136 elfznn 12355 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (1...𝑘) → 𝑗 ∈ ℕ)
137136adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑘)) → 𝑗 ∈ ℕ)
138137, 41syl 17 . . . . . . . . . 10 (((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑘)) → (𝐹𝑗) = if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0))
13929, 1syl6eleq 2709 . . . . . . . . . 10 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
140129a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑘)) → if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) ∈ ℂ)
141138, 139, 140fsumser 14442 . . . . . . . . 9 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑘)if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) = (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))
142141, 27eqeltrd 2699 . . . . . . . 8 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑘)if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) ∈ ℝ)
143134, 135, 142ltadd2d 10178 . . . . . . 7 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) < (1 / 2) ↔ (Σ𝑗 ∈ (1...𝑘)if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) + Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0)) < (Σ𝑗 ∈ (1...𝑘)if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) + (1 / 2))))
1441, 121, 97, 128, 130, 127isumsplit 14553 . . . . . . . . 9 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ ℕ if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) = (Σ𝑗 ∈ (1...((𝑘 + 1) − 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) + Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0)))
145 nncn 11013 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
146145adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
147 ax-1cn 9979 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
148 pncan 10272 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
149146, 147, 148sylancl 693 . . . . . . . . . . . 12 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
150149oveq2d 6651 . . . . . . . . . . 11 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1...((𝑘 + 1) − 1)) = (1...𝑘))
151150sumeq1d 14412 . . . . . . . . . 10 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ (1...((𝑘 + 1) − 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑘)if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0))
152151oveq1d 6650 . . . . . . . . 9 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (Σ𝑗 ∈ (1...((𝑘 + 1) − 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) + Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0)) = (Σ𝑗 ∈ (1...𝑘)if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) + Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0)))
153144, 152eqtrd 2654 . . . . . . . 8 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ ℕ if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) = (Σ𝑗 ∈ (1...𝑘)if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) + Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0)))
154153breq1d 4654 . . . . . . 7 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (Σ𝑗 ∈ ℕ if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) < (Σ𝑗 ∈ (1...𝑘)if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) + (1 / 2)) ↔ (Σ𝑗 ∈ (1...𝑘)if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) + Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0)) < (Σ𝑗 ∈ (1...𝑘)if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) + (1 / 2))))
155143, 154bitr4d 271 . . . . . 6 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) < (1 / 2) ↔ Σ𝑗 ∈ ℕ if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) < (Σ𝑗 ∈ (1...𝑘)if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) + (1 / 2))))
156 eqid 2620 . . . . . . . . . 10 seq1( + , 𝐹) = seq1( + , 𝐹)
1571, 156, 23, 42, 43, 54, 62isumsup 14560 . . . . . . . . 9 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → Σ𝑗 ∈ ℕ if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) = sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ))
158157, 70eqeltrd 2699 . . . . . . . 8 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → Σ𝑗 ∈ ℕ if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) ∈ ℝ)
159158adantr 481 . . . . . . 7 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ ℕ if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) ∈ ℝ)
160159, 135, 142ltsubaddd 10608 . . . . . 6 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((Σ𝑗 ∈ ℕ if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) − (1 / 2)) < Σ𝑗 ∈ (1...𝑘)if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) ↔ Σ𝑗 ∈ ℕ if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) < (Σ𝑗 ∈ (1...𝑘)if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) + (1 / 2))))
161157adantr 481 . . . . . . . 8 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ ℕ if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) = sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ))
162161oveq1d 6650 . . . . . . 7 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (Σ𝑗 ∈ ℕ if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) − (1 / 2)) = (sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)))
163162, 141breq12d 4657 . . . . . 6 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((Σ𝑗 ∈ ℕ if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) − (1 / 2)) < Σ𝑗 ∈ (1...𝑘)if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) ↔ (sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))
164155, 160, 1633bitr2d 296 . . . . 5 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) < (1 / 2) ↔ (sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))
165 2cn 11076 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℂ
166165a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
167147a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
168166, 146, 167adddid 10049 . . . . . . . . . . 11 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · (𝑘 + 1)) = ((2 · 𝑘) + (2 · 1)))
16997nncnd 11021 . . . . . . . . . . . 12 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
170 mulcom 10007 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑘 + 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) · 2) = (2 · (𝑘 + 1)))
171169, 165, 170sylancl 693 . . . . . . . . . . 11 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) · 2) = (2 · (𝑘 + 1)))
17289nncnd 11021 . . . . . . . . . . . . 13 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
173172, 167, 167addassd 10047 . . . . . . . . . . . 12 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑘) + 1) + 1) = ((2 · 𝑘) + (1 + 1)))
1741472timesi 11132 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · 1) = (1 + 1)
175174oveq2i 6646 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 𝑘) + (2 · 1)) = ((2 · 𝑘) + (1 + 1))
176173, 175syl6eqr 2672 . . . . . . . . . . 11 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑘) + 1) + 1) = ((2 · 𝑘) + (2 · 1)))
177168, 171, 1763eqtr4d 2664 . . . . . . . . . 10 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) · 2) = (((2 · 𝑘) + 1) + 1))
178177oveq2d 6651 . . . . . . . . 9 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2↑((𝑘 + 1) · 2)) = (2↑(((2 · 𝑘) + 1) + 1)))
179 2nn0 11294 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ0
180179a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℕ0)
181166, 180, 98expmuld 12994 . . . . . . . . 9 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2↑((𝑘 + 1) · 2)) = ((2↑(𝑘 + 1))↑2))
182 expp1 12850 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0) → (2↑(((2 · 𝑘) + 1) + 1)) = ((2↑((2 · 𝑘) + 1)) · 2))
183165, 91, 182sylancr 694 . . . . . . . . 9 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2↑(((2 · 𝑘) + 1) + 1)) = ((2↑((2 · 𝑘) + 1)) · 2))
184178, 181, 1833eqtr3d 2662 . . . . . . . 8 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2↑(𝑘 + 1))↑2) = ((2↑((2 · 𝑘) + 1)) · 2))
185184oveq1d 6650 . . . . . . 7 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((2↑(𝑘 + 1))↑2) / 2) = (((2↑((2 · 𝑘) + 1)) · 2) / 2))
186 expcl 12861 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0) → (2↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
187165, 91, 186sylancr 694 . . . . . . . 8 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
188 2ne0 11098 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
189 divcan4 10697 . . . . . . . . 9 (((2↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (((2↑((2 · 𝑘) + 1)) · 2) / 2) = (2↑((2 · 𝑘) + 1)))
190165, 188, 189mp3an23 1414 . . . . . . . 8 ((2↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ → (((2↑((2 · 𝑘) + 1)) · 2) / 2) = (2↑((2 · 𝑘) + 1)))
191187, 190syl 17 . . . . . . 7 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((2↑((2 · 𝑘) + 1)) · 2) / 2) = (2↑((2 · 𝑘) + 1)))
192185, 191eqtrd 2654 . . . . . 6 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((2↑(𝑘 + 1))↑2) / 2) = (2↑((2 · 𝑘) + 1)))
193 nnnn0 11284 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
194193adantl 482 . . . . . . . 8 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
195166, 98, 194expaddd 12993 . . . . . . 7 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2↑(𝑘 + (𝑘 + 1))) = ((2↑𝑘) · (2↑(𝑘 + 1))))
1961462timesd 11260 . . . . . . . . . 10 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) = (𝑘 + 𝑘))
197196oveq1d 6650 . . . . . . . . 9 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) + 1) = ((𝑘 + 𝑘) + 1))
198146, 146, 167addassd 10047 . . . . . . . . 9 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 𝑘) + 1) = (𝑘 + (𝑘 + 1)))
199197, 198eqtrd 2654 . . . . . . . 8 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑘 + (𝑘 + 1)))
200199oveq2d 6651 . . . . . . 7 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2↑((2 · 𝑘) + 1)) = (2↑(𝑘 + (𝑘 + 1))))
201100nnrpd 11855 . . . . . . . . . 10 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℝ+)
202201rprege0d 11864 . . . . . . . . 9 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑(𝑘 + 1))))
203 sqrtsq 13991 . . . . . . . . 9 (((2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑(𝑘 + 1))) → (√‘((2↑(𝑘 + 1))↑2)) = (2↑(𝑘 + 1)))
204202, 203syl 17 . . . . . . . 8 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (√‘((2↑(𝑘 + 1))↑2)) = (2↑(𝑘 + 1)))
205204oveq2d 6651 . . . . . . 7 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2↑𝑘) · (√‘((2↑(𝑘 + 1))↑2))) = ((2↑𝑘) · (2↑(𝑘 + 1))))
206195, 200, 2053eqtr4rd 2665 . . . . . 6 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2↑𝑘) · (√‘((2↑(𝑘 + 1))↑2))) = (2↑((2 · 𝑘) + 1)))
207192, 206breq12d 4657 . . . . 5 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((2↑(𝑘 + 1))↑2) / 2) < ((2↑𝑘) · (√‘((2↑(𝑘 + 1))↑2))) ↔ (2↑((2 · 𝑘) + 1)) < (2↑((2 · 𝑘) + 1))))
208120, 164, 2073imtr3d 282 . . . 4 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) → (2↑((2 · 𝑘) + 1)) < (2↑((2 · 𝑘) + 1))))
20994, 208mtod 189 . . 3 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ¬ (sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))
210209nrexdv 2998 . 2 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → ¬ ∃𝑘 ∈ ℕ (sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))
21185, 210pm2.65i 185 1 ¬ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 196  wa 384   = wceq 1481  wtru 1482  wcel 1988  wne 2791  wral 2909  wrex 2910  {crab 2913  cdif 3564  wss 3567  c0 3907  ifcif 4077   class class class wbr 4644  cmpt 4720  dom cdm 5104  ran crn 5105   Fn wfn 5871  wf 5872  cfv 5876  (class class class)co 6635  supcsup 8331  cc 9919  cr 9920  0cc0 9921  1c1 9922   + caddc 9924   · cmul 9926   < clt 10059  cle 10060  cmin 10251   / cdiv 10669  cn 11005  2c2 11055  0cn0 11277  cuz 11672  +crp 11817  ...cfz 12311  seqcseq 12784  cexp 12843  csqrt 13954  cli 14196  Σcsu 14397  cdvds 14964  cprime 15366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-fal 1487  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-2o 7546  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-pm 7845  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-sup 8333  df-inf 8334  df-oi 8400  df-card 8750  df-cda 8975  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-n0 11278  df-xnn0 11349  df-z 11363  df-uz 11673  df-q 11774  df-rp 11818  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-fl 12576  df-mod 12652  df-seq 12785  df-exp 12844  df-hash 13101  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-clim 14200  df-rlim 14201  df-sum 14398  df-dvds 14965  df-gcd 15198  df-prm 15367  df-pc 15523
This theorem is referenced by:  prmrec  15607
  Copyright terms: Public domain W3C validator