MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmreclem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmreclem6 15832
Description: Lemma for prmrec 15833. If the series 𝐹 was convergent, there would be some 𝑘 such that the sum starting from 𝑘 + 1 sums to less than 1 / 2; this is a sufficient hypothesis for prmreclem5 15831 to produce the contradictory bound 𝑁 / 2 < (2↑𝑘)√𝑁, which is false for 𝑁 = 2↑(2𝑘 + 2). (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
prmrec.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (1 / 𝑛), 0))
Assertion
Ref Expression
prmreclem6 ¬ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝
Distinct variable group:   𝑛,𝐹

Proof of Theorem prmreclem6
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑚 𝑝 𝑟 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11925 . . . . . . . . 9 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 11610 . . . . . . . . 9 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3 nnrecre 11259 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
43adantl 467 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
5 0re 10242 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
6 ifcl 4269 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / 𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(𝑛 ∈ ℙ, (1 / 𝑛), 0) ∈ ℝ)
74, 5, 6sylancl 574 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → if(𝑛 ∈ ℙ, (1 / 𝑛), 0) ∈ ℝ)
8 prmrec.1 . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (1 / 𝑛), 0))
97, 8fmptd 6527 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
109ffvelrnda 6502 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
111, 2, 10serfre 13037 . . . . . . . 8 (⊤ → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ)
1211trud 1641 . . . . . . 7 seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ
13 frn 6193 . . . . . . 7 (seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ → ran seq1( + , 𝐹) ⊆ ℝ)
1412, 13mp1i 13 . . . . . 6 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → ran seq1( + , 𝐹) ⊆ ℝ)
15 1nn 11233 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ
1612fdmi 6192 . . . . . . . 8 dom seq1( + , 𝐹) = ℕ
1715, 16eleqtrri 2849 . . . . . . 7 1 ∈ dom seq1( + , 𝐹)
18 ne0i 4069 . . . . . . . 8 (1 ∈ dom seq1( + , 𝐹) → dom seq1( + , 𝐹) ≠ ∅)
19 dm0rn0 5480 . . . . . . . . 9 (dom seq1( + , 𝐹) = ∅ ↔ ran seq1( + , 𝐹) = ∅)
2019necon3bii 2995 . . . . . . . 8 (dom seq1( + , 𝐹) ≠ ∅ ↔ ran seq1( + , 𝐹) ≠ ∅)
2118, 20sylib 208 . . . . . . 7 (1 ∈ dom seq1( + , 𝐹) → ran seq1( + , 𝐹) ≠ ∅)
2217, 21mp1i 13 . . . . . 6 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → ran seq1( + , 𝐹) ≠ ∅)
23 1zzd 11610 . . . . . . . . 9 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → 1 ∈ ℤ)
24 climdm 14493 . . . . . . . . . 10 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)))
2524biimpi 206 . . . . . . . . 9 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → seq1( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)))
2612a1i 11 . . . . . . . . . 10 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ)
2726ffvelrnda 6502 . . . . . . . . 9 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ)
281, 23, 25, 27climrecl 14522 . . . . . . . 8 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)) ∈ ℝ)
29 simpr 471 . . . . . . . . . 10 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
3025adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → seq1( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)))
31 eleq1w 2833 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑗 → (𝑛 ∈ ℙ ↔ 𝑗 ∈ ℙ))
32 oveq2 6801 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑗 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑗))
3331, 32ifbieq1d 4248 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑗 → if(𝑛 ∈ ℙ, (1 / 𝑛), 0) = if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0))
34 prmnn 15595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ ℙ → 𝑗 ∈ ℕ)
3534adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⊤ ∧ 𝑗 ∈ ℙ) → 𝑗 ∈ ℕ)
3635nnrecred 11268 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊤ ∧ 𝑗 ∈ ℙ) → (1 / 𝑗) ∈ ℝ)
375a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℙ) → 0 ∈ ℝ)
3836, 37ifclda 4259 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⊤ → if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) ∈ ℝ)
3938trud 1641 . . . . . . . . . . . . . . 15 if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) ∈ ℝ
4039elexi 3365 . . . . . . . . . . . . . 14 if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) ∈ V
4133, 8, 40fvmpt 6424 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ → (𝐹𝑗) = if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0))
4241adantl 467 . . . . . . . . . . . 12 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) = if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0))
4339a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) ∈ ℝ)
4442, 43eqeltrd 2850 . . . . . . . . . . 11 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
4544adantlr 694 . . . . . . . . . 10 (((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
46 nnrp 12045 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ+)
4746adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℝ+)
4847rpreccld 12085 . . . . . . . . . . . . . 14 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1 / 𝑗) ∈ ℝ+)
4948rpge0d 12079 . . . . . . . . . . . . 13 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 ≤ (1 / 𝑗))
50 0le0 11312 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≤ 0
51 breq2 4790 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 / 𝑗) = if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) → (0 ≤ (1 / 𝑗) ↔ 0 ≤ if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0)))
52 breq2 4790 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 = if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) → (0 ≤ 0 ↔ 0 ≤ if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0)))
5351, 52ifboth 4263 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ≤ (1 / 𝑗) ∧ 0 ≤ 0) → 0 ≤ if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0))
5449, 50, 53sylancl 574 . . . . . . . . . . . 12 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 ≤ if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0))
5554, 42breqtrrd 4814 . . . . . . . . . . 11 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐹𝑗))
5655adantlr 694 . . . . . . . . . 10 (((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐹𝑗))
571, 29, 30, 45, 56climserle 14601 . . . . . . . . 9 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)))
5857ralrimiva 3115 . . . . . . . 8 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)))
59 breq2 4790 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)) → ((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥 ↔ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹))))
6059ralbidv 3135 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)) → (∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹))))
6160rspcev 3460 . . . . . . . 8 ((( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥)
6228, 58, 61syl2anc 573 . . . . . . 7 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥)
63 ffn 6185 . . . . . . . . 9 (seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ → seq1( + , 𝐹) Fn ℕ)
64 breq1 4789 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) → (𝑧𝑥 ↔ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥))
6564ralrn 6505 . . . . . . . . 9 (seq1( + , 𝐹) Fn ℕ → (∀𝑧 ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥))
6612, 63, 65mp2b 10 . . . . . . . 8 (∀𝑧 ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥)
6766rexbii 3189 . . . . . . 7 (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥)
6862, 67sylibr 224 . . . . . 6 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧𝑥)
69 suprcl 11185 . . . . . 6 ((ran seq1( + , 𝐹) ⊆ ℝ ∧ ran seq1( + , 𝐹) ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧𝑥) → sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) ∈ ℝ)
7014, 22, 68, 69syl3anc 1476 . . . . 5 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) ∈ ℝ)
71 2rp 12040 . . . . . 6 2 ∈ ℝ+
72 rpreccl 12060 . . . . . 6 (2 ∈ ℝ+ → (1 / 2) ∈ ℝ+)
7371, 72ax-mp 5 . . . . 5 (1 / 2) ∈ ℝ+
74 ltsubrp 12069 . . . . 5 ((sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ+) → (sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ))
7570, 73, 74sylancl 574 . . . 4 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → (sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ))
76 halfre 11448 . . . . . 6 (1 / 2) ∈ ℝ
77 resubcl 10547 . . . . . 6 ((sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) ∈ ℝ)
7870, 76, 77sylancl 574 . . . . 5 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → (sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) ∈ ℝ)
79 suprlub 11189 . . . . 5 (((ran seq1( + , 𝐹) ⊆ ℝ ∧ ran seq1( + , 𝐹) ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧𝑥) ∧ (sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) ∈ ℝ) → ((sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) ↔ ∃𝑦 ∈ ran seq1( + , 𝐹)(sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < 𝑦))
8014, 22, 68, 78, 79syl31anc 1479 . . . 4 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → ((sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) ↔ ∃𝑦 ∈ ran seq1( + , 𝐹)(sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < 𝑦))
8175, 80mpbid 222 . . 3 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → ∃𝑦 ∈ ran seq1( + , 𝐹)(sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < 𝑦)
82 breq2 4790 . . . . 5 (𝑦 = (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) → ((sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < 𝑦 ↔ (sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))
8382rexrn 6504 . . . 4 (seq1( + , 𝐹) Fn ℕ → (∃𝑦 ∈ ran seq1( + , 𝐹)(sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < 𝑦 ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ (sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))
8412, 63, 83mp2b 10 . . 3 (∃𝑦 ∈ ran seq1( + , 𝐹)(sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < 𝑦 ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ (sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))
8581, 84sylib 208 . 2 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → ∃𝑘 ∈ ℕ (sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))
86 2re 11292 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
87 2nn 11387 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ
88 nnmulcl 11245 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ)
8987, 29, 88sylancr 575 . . . . . . . 8 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ)
9089peano2nnd 11239 . . . . . . 7 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ)
9190nnnn0d 11553 . . . . . 6 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0)
92 reexpcl 13084 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0) → (2↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℝ)
9386, 91, 92sylancr 575 . . . . 5 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℝ)
9493ltnrd 10373 . . . 4 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ¬ (2↑((2 · 𝑘) + 1)) < (2↑((2 · 𝑘) + 1)))
9529adantr 466 . . . . . . 7 (((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) < (1 / 2)) → 𝑘 ∈ ℕ)
96 peano2nn 11234 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
9796adantl 467 . . . . . . . . . . 11 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
9897nnnn0d 11553 . . . . . . . . . 10 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
99 nnexpcl 13080 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
10087, 98, 99sylancr 575 . . . . . . . . 9 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
101100nnsqcld 13236 . . . . . . . 8 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2↑(𝑘 + 1))↑2) ∈ ℕ)
102101adantr 466 . . . . . . 7 (((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) < (1 / 2)) → ((2↑(𝑘 + 1))↑2) ∈ ℕ)
103 breq1 4789 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑤 → (𝑝𝑟𝑤𝑟))
104103notbid 307 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑤 → (¬ 𝑝𝑟 ↔ ¬ 𝑤𝑟))
105104cbvralv 3320 . . . . . . . . 9 (∀𝑝 ∈ (ℙ ∖ (1...𝑘)) ¬ 𝑝𝑟 ↔ ∀𝑤 ∈ (ℙ ∖ (1...𝑘)) ¬ 𝑤𝑟)
106 breq2 4790 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑛 → (𝑤𝑟𝑤𝑛))
107106notbid 307 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑛 → (¬ 𝑤𝑟 ↔ ¬ 𝑤𝑛))
108107ralbidv 3135 . . . . . . . . 9 (𝑟 = 𝑛 → (∀𝑤 ∈ (ℙ ∖ (1...𝑘)) ¬ 𝑤𝑟 ↔ ∀𝑤 ∈ (ℙ ∖ (1...𝑘)) ¬ 𝑤𝑛))
109105, 108syl5bb 272 . . . . . . . 8 (𝑟 = 𝑛 → (∀𝑝 ∈ (ℙ ∖ (1...𝑘)) ¬ 𝑝𝑟 ↔ ∀𝑤 ∈ (ℙ ∖ (1...𝑘)) ¬ 𝑤𝑛))
110109cbvrabv 3349 . . . . . . 7 {𝑟 ∈ (1...((2↑(𝑘 + 1))↑2)) ∣ ∀𝑝 ∈ (ℙ ∖ (1...𝑘)) ¬ 𝑝𝑟} = {𝑛 ∈ (1...((2↑(𝑘 + 1))↑2)) ∣ ∀𝑤 ∈ (ℙ ∖ (1...𝑘)) ¬ 𝑤𝑛}
111 simpll 750 . . . . . . 7 (((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) < (1 / 2)) → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
112 eleq1w 2833 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑗 → (𝑚 ∈ ℙ ↔ 𝑗 ∈ ℙ))
113 oveq2 6801 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑗 → (1 / 𝑚) = (1 / 𝑗))
114112, 113ifbieq1d 4248 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑗 → if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0) = if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0))
115114cbvsumv 14634 . . . . . . . 8 Σ𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0) = Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0)
116 simpr 471 . . . . . . . 8 (((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) < (1 / 2)) → Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) < (1 / 2))
117115, 116syl5eqbr 4821 . . . . . . 7 (((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) < (1 / 2)) → Σ𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0) < (1 / 2))
118 eqid 2771 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ ℕ ↦ {𝑛 ∈ (1...((2↑(𝑘 + 1))↑2)) ∣ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤𝑛)}) = (𝑤 ∈ ℕ ↦ {𝑛 ∈ (1...((2↑(𝑘 + 1))↑2)) ∣ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤𝑛)})
1198, 95, 102, 110, 111, 117, 118prmreclem5 15831 . . . . . 6 (((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) < (1 / 2)) → (((2↑(𝑘 + 1))↑2) / 2) < ((2↑𝑘) · (√‘((2↑(𝑘 + 1))↑2))))
120119ex 397 . . . . 5 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) < (1 / 2) → (((2↑(𝑘 + 1))↑2) / 2) < ((2↑𝑘) · (√‘((2↑(𝑘 + 1))↑2)))))
121 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (ℤ‘(𝑘 + 1)) = (ℤ‘(𝑘 + 1))
12297nnzd 11683 . . . . . . . . 9 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
123 eluznn 11961 . . . . . . . . . . 11 (((𝑘 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))) → 𝑗 ∈ ℕ)
12497, 123sylan 569 . . . . . . . . . 10 (((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))) → 𝑗 ∈ ℕ)
125124, 41syl 17 . . . . . . . . 9 (((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))) → (𝐹𝑗) = if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0))
12639a1i 11 . . . . . . . . 9 (((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))) → if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) ∈ ℝ)
127 simpl 468 . . . . . . . . . 10 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
12841adantl 467 . . . . . . . . . . . 12 (((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) = if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0))
12939recni 10254 . . . . . . . . . . . . 13 if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) ∈ ℂ
130129a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) ∈ ℂ)
131128, 130eqeltrd 2850 . . . . . . . . . . 11 (((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
1321, 97, 131iserex 14595 . . . . . . . . . 10 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq(𝑘 + 1)( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
133127, 132mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → seq(𝑘 + 1)( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
134121, 122, 125, 126, 133isumrecl 14704 . . . . . . . 8 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) ∈ ℝ)
13576a1i 11 . . . . . . . 8 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 2) ∈ ℝ)
136 elfznn 12577 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (1...𝑘) → 𝑗 ∈ ℕ)
137136adantl 467 . . . . . . . . . . 11 (((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑘)) → 𝑗 ∈ ℕ)
138137, 41syl 17 . . . . . . . . . 10 (((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑘)) → (𝐹𝑗) = if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0))
13929, 1syl6eleq 2860 . . . . . . . . . 10 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
140129a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑘)) → if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) ∈ ℂ)
141138, 139, 140fsumser 14669 . . . . . . . . 9 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑘)if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) = (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))
142141, 27eqeltrd 2850 . . . . . . . 8 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑘)if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) ∈ ℝ)
143134, 135, 142ltadd2d 10395 . . . . . . 7 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) < (1 / 2) ↔ (Σ𝑗 ∈ (1...𝑘)if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) + Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0)) < (Σ𝑗 ∈ (1...𝑘)if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) + (1 / 2))))
1441, 121, 97, 128, 130, 127isumsplit 14779 . . . . . . . . 9 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ ℕ if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) = (Σ𝑗 ∈ (1...((𝑘 + 1) − 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) + Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0)))
145 nncn 11230 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
146145adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
147 ax-1cn 10196 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
148 pncan 10489 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
149146, 147, 148sylancl 574 . . . . . . . . . . . 12 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
150149oveq2d 6809 . . . . . . . . . . 11 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1...((𝑘 + 1) − 1)) = (1...𝑘))
151150sumeq1d 14639 . . . . . . . . . 10 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ (1...((𝑘 + 1) − 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑘)if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0))
152151oveq1d 6808 . . . . . . . . 9 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (Σ𝑗 ∈ (1...((𝑘 + 1) − 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) + Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0)) = (Σ𝑗 ∈ (1...𝑘)if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) + Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0)))
153144, 152eqtrd 2805 . . . . . . . 8 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ ℕ if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) = (Σ𝑗 ∈ (1...𝑘)if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) + Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0)))
154153breq1d 4796 . . . . . . 7 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (Σ𝑗 ∈ ℕ if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) < (Σ𝑗 ∈ (1...𝑘)if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) + (1 / 2)) ↔ (Σ𝑗 ∈ (1...𝑘)if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) + Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0)) < (Σ𝑗 ∈ (1...𝑘)if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) + (1 / 2))))
155143, 154bitr4d 271 . . . . . 6 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) < (1 / 2) ↔ Σ𝑗 ∈ ℕ if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) < (Σ𝑗 ∈ (1...𝑘)if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) + (1 / 2))))
156 eqid 2771 . . . . . . . . . 10 seq1( + , 𝐹) = seq1( + , 𝐹)
1571, 156, 23, 42, 43, 54, 62isumsup 14786 . . . . . . . . 9 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → Σ𝑗 ∈ ℕ if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) = sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ))
158157, 70eqeltrd 2850 . . . . . . . 8 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → Σ𝑗 ∈ ℕ if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) ∈ ℝ)
159158adantr 466 . . . . . . 7 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ ℕ if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) ∈ ℝ)
160159, 135, 142ltsubaddd 10825 . . . . . 6 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((Σ𝑗 ∈ ℕ if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) − (1 / 2)) < Σ𝑗 ∈ (1...𝑘)if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) ↔ Σ𝑗 ∈ ℕ if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) < (Σ𝑗 ∈ (1...𝑘)if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) + (1 / 2))))
161157adantr 466 . . . . . . . 8 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ ℕ if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) = sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ))
162161oveq1d 6808 . . . . . . 7 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (Σ𝑗 ∈ ℕ if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) − (1 / 2)) = (sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)))
163162, 141breq12d 4799 . . . . . 6 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((Σ𝑗 ∈ ℕ if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) − (1 / 2)) < Σ𝑗 ∈ (1...𝑘)if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) ↔ (sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))
164155, 160, 1633bitr2d 296 . . . . 5 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) < (1 / 2) ↔ (sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))
165 2cn 11293 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℂ
166165a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
167147a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
168166, 146, 167adddid 10266 . . . . . . . . . . 11 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · (𝑘 + 1)) = ((2 · 𝑘) + (2 · 1)))
16997nncnd 11238 . . . . . . . . . . . 12 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
170 mulcom 10224 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑘 + 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) · 2) = (2 · (𝑘 + 1)))
171169, 165, 170sylancl 574 . . . . . . . . . . 11 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) · 2) = (2 · (𝑘 + 1)))
17289nncnd 11238 . . . . . . . . . . . . 13 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
173172, 167, 167addassd 10264 . . . . . . . . . . . 12 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑘) + 1) + 1) = ((2 · 𝑘) + (1 + 1)))
1741472timesi 11349 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · 1) = (1 + 1)
175174oveq2i 6804 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 𝑘) + (2 · 1)) = ((2 · 𝑘) + (1 + 1))
176173, 175syl6eqr 2823 . . . . . . . . . . 11 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑘) + 1) + 1) = ((2 · 𝑘) + (2 · 1)))
177168, 171, 1763eqtr4d 2815 . . . . . . . . . 10 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) · 2) = (((2 · 𝑘) + 1) + 1))
178177oveq2d 6809 . . . . . . . . 9 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2↑((𝑘 + 1) · 2)) = (2↑(((2 · 𝑘) + 1) + 1)))
179 2nn0 11511 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ0
180179a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℕ0)
181166, 180, 98expmuld 13218 . . . . . . . . 9 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2↑((𝑘 + 1) · 2)) = ((2↑(𝑘 + 1))↑2))
182 expp1 13074 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0) → (2↑(((2 · 𝑘) + 1) + 1)) = ((2↑((2 · 𝑘) + 1)) · 2))
183165, 91, 182sylancr 575 . . . . . . . . 9 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2↑(((2 · 𝑘) + 1) + 1)) = ((2↑((2 · 𝑘) + 1)) · 2))
184178, 181, 1833eqtr3d 2813 . . . . . . . 8 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2↑(𝑘 + 1))↑2) = ((2↑((2 · 𝑘) + 1)) · 2))
185184oveq1d 6808 . . . . . . 7 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((2↑(𝑘 + 1))↑2) / 2) = (((2↑((2 · 𝑘) + 1)) · 2) / 2))
186 expcl 13085 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0) → (2↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
187165, 91, 186sylancr 575 . . . . . . . 8 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
188 2ne0 11315 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
189 divcan4 10914 . . . . . . . . 9 (((2↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (((2↑((2 · 𝑘) + 1)) · 2) / 2) = (2↑((2 · 𝑘) + 1)))
190165, 188, 189mp3an23 1564 . . . . . . . 8 ((2↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ → (((2↑((2 · 𝑘) + 1)) · 2) / 2) = (2↑((2 · 𝑘) + 1)))
191187, 190syl 17 . . . . . . 7 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((2↑((2 · 𝑘) + 1)) · 2) / 2) = (2↑((2 · 𝑘) + 1)))
192185, 191eqtrd 2805 . . . . . 6 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((2↑(𝑘 + 1))↑2) / 2) = (2↑((2 · 𝑘) + 1)))
193 nnnn0 11501 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
194193adantl 467 . . . . . . . 8 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
195166, 98, 194expaddd 13217 . . . . . . 7 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2↑(𝑘 + (𝑘 + 1))) = ((2↑𝑘) · (2↑(𝑘 + 1))))
1961462timesd 11477 . . . . . . . . . 10 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) = (𝑘 + 𝑘))
197196oveq1d 6808 . . . . . . . . 9 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) + 1) = ((𝑘 + 𝑘) + 1))
198146, 146, 167addassd 10264 . . . . . . . . 9 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 𝑘) + 1) = (𝑘 + (𝑘 + 1)))
199197, 198eqtrd 2805 . . . . . . . 8 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑘 + (𝑘 + 1)))
200199oveq2d 6809 . . . . . . 7 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2↑((2 · 𝑘) + 1)) = (2↑(𝑘 + (𝑘 + 1))))
201100nnrpd 12073 . . . . . . . . . 10 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℝ+)
202201rprege0d 12082 . . . . . . . . 9 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑(𝑘 + 1))))
203 sqrtsq 14218 . . . . . . . . 9 (((2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑(𝑘 + 1))) → (√‘((2↑(𝑘 + 1))↑2)) = (2↑(𝑘 + 1)))
204202, 203syl 17 . . . . . . . 8 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (√‘((2↑(𝑘 + 1))↑2)) = (2↑(𝑘 + 1)))
205204oveq2d 6809 . . . . . . 7 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2↑𝑘) · (√‘((2↑(𝑘 + 1))↑2))) = ((2↑𝑘) · (2↑(𝑘 + 1))))
206195, 200, 2053eqtr4rd 2816 . . . . . 6 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2↑𝑘) · (√‘((2↑(𝑘 + 1))↑2))) = (2↑((2 · 𝑘) + 1)))
207192, 206breq12d 4799 . . . . 5 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((2↑(𝑘 + 1))↑2) / 2) < ((2↑𝑘) · (√‘((2↑(𝑘 + 1))↑2))) ↔ (2↑((2 · 𝑘) + 1)) < (2↑((2 · 𝑘) + 1))))
208120, 164, 2073imtr3d 282 . . . 4 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) → (2↑((2 · 𝑘) + 1)) < (2↑((2 · 𝑘) + 1))))
20994, 208mtod 189 . . 3 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ¬ (sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))
210209nrexdv 3149 . 2 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → ¬ ∃𝑘 ∈ ℕ (sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))
21185, 210pm2.65i 185 1 ¬ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wtru 1632  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  wrex 3062  {crab 3065  cdif 3720  wss 3723  c0 4063  ifcif 4225   class class class wbr 4786  cmpt 4863  dom cdm 5249  ran crn 5250   Fn wfn 6026  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  supcsup 8502  cc 10136  cr 10137  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   · cmul 10143   < clt 10276  cle 10277  cmin 10468   / cdiv 10886  cn 11222  2c2 11272  0cn0 11494  cuz 11888  +crp 12035  ...cfz 12533  seqcseq 13008  cexp 13067  csqrt 14181  cli 14423  Σcsu 14624  cdvds 15189  cprime 15592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-xnn0 11566  df-z 11580  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625  df-dvds 15190  df-gcd 15425  df-prm 15593  df-pc 15749
This theorem is referenced by:  prmrec  15833
  Copyright terms: Public domain W3C validator