MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmreclem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmreclem5 15671
Description: Lemma for prmrec 15673. Here we show the inequality 𝑁 / 2 < #𝑀 by decomposing the set (1...𝑁) into the disjoint union of the set 𝑀 of those numbers that are not divisible by any "large" primes (above 𝐾) and the indexed union over 𝐾 < 𝑘 of the numbers 𝑊𝑘 that divide the prime 𝑘. By prmreclem4 15670 the second of these has size less than 𝑁 times the prime reciprocal series, which is less than 1 / 2 by assumption, we find that the complementary part 𝑀 must be at least 𝑁 / 2 large. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
prmrec.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (1 / 𝑛), 0))
prmrec.2 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
prmrec.3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
prmrec.4 𝑀 = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ ∀𝑝 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ¬ 𝑝𝑛}
prmrec.5 (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
prmrec.6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) < (1 / 2))
prmrec.7 𝑊 = (𝑝 ∈ ℕ ↦ {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝𝑛)})
Assertion
Ref Expression
prmreclem5 (𝜑 → (𝑁 / 2) < ((2↑𝐾) · (√‘𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝑝,𝐹   𝑘,𝐾,𝑛,𝑝   𝑘,𝑀,𝑛,𝑝   𝜑,𝑘,𝑛,𝑝   𝑘,𝑊   𝑘,𝑁,𝑛,𝑝
Allowed substitution hints:   𝑊(𝑛,𝑝)

Proof of Theorem prmreclem5
Dummy variables 𝑟 𝑥 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmrec.3 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
21nnred 11073 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
32rehalfcld 11317 . 2 (𝜑 → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
4 fzfi 12811 . . . . . 6 (1...𝑁) ∈ Fin
5 prmrec.4 . . . . . . 7 𝑀 = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ ∀𝑝 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ¬ 𝑝𝑛}
6 ssrab2 3720 . . . . . . 7 {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ ∀𝑝 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ¬ 𝑝𝑛} ⊆ (1...𝑁)
75, 6eqsstri 3668 . . . . . 6 𝑀 ⊆ (1...𝑁)
8 ssfi 8221 . . . . . 6 (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ 𝑀 ⊆ (1...𝑁)) → 𝑀 ∈ Fin)
94, 7, 8mp2an 708 . . . . 5 𝑀 ∈ Fin
10 hashcl 13185 . . . . 5 (𝑀 ∈ Fin → (#‘𝑀) ∈ ℕ0)
119, 10ax-mp 5 . . . 4 (#‘𝑀) ∈ ℕ0
1211nn0rei 11341 . . 3 (#‘𝑀) ∈ ℝ
1312a1i 11 . 2 (𝜑 → (#‘𝑀) ∈ ℝ)
14 2nn 11223 . . . . 5 2 ∈ ℕ
15 prmrec.2 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
1615nnnn0d 11389 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
17 nnexpcl 12913 . . . . 5 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (2↑𝐾) ∈ ℕ)
1814, 16, 17sylancr 696 . . . 4 (𝜑 → (2↑𝐾) ∈ ℕ)
1918nnred 11073 . . 3 (𝜑 → (2↑𝐾) ∈ ℝ)
201nnrpd 11908 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
2120rpsqrtcld 14194 . . . 4 (𝜑 → (√‘𝑁) ∈ ℝ+)
2221rpred 11910 . . 3 (𝜑 → (√‘𝑁) ∈ ℝ)
2319, 22remulcld 10108 . 2 (𝜑 → ((2↑𝐾) · (√‘𝑁)) ∈ ℝ)
242recnd 10106 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
25242halvesd 11316 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁 / 2) + (𝑁 / 2)) = 𝑁)
267a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ⊆ (1...𝑁))
2715peano2nnd 11075 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ)
28 elfzuz 12376 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)))
29 eluznn 11796 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
3027, 28, 29syl2an 493 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ)
31 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 = 𝑘 → (𝑝 ∈ ℙ ↔ 𝑘 ∈ ℙ))
32 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 = 𝑘 → (𝑝𝑛𝑘𝑛))
3331, 32anbi12d 747 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 = 𝑘 → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝𝑛) ↔ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑛)))
3433rabbidv 3220 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 = 𝑘 → {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝𝑛)} = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑛)})
35 prmrec.7 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑊 = (𝑝 ∈ ℕ ↦ {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝𝑛)})
36 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1...𝑁) ∈ V
3736rabex 4845 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑛)} ∈ V
3834, 35, 37fvmpt 6321 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑊𝑘) = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑛)})
3938adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑊𝑘) = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑛)})
40 ssrab2 3720 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑛)} ⊆ (1...𝑁)
4139, 40syl6eqss 3688 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
4230, 41syldan 486 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
4342ralrimiva 2995 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
44 iunss 4593 . . . . . . . . . 10 ( 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁) ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
4543, 44sylibr 224 . . . . . . . . 9 (𝜑 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
4626, 45unssd 3822 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) ⊆ (1...𝑁))
47 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 = 𝑞 → (𝑝𝑛𝑞𝑛))
4847notbid 307 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 = 𝑞 → (¬ 𝑝𝑛 ↔ ¬ 𝑞𝑛))
4948cbvralv 3201 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑝 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ¬ 𝑝𝑛 ↔ ∀𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ¬ 𝑞𝑛)
50 breq2 4689 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = 𝑥 → (𝑞𝑛𝑞𝑥))
5150notbid 307 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑥 → (¬ 𝑞𝑛 ↔ ¬ 𝑞𝑥))
5251ralbidv 3015 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑥 → (∀𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ¬ 𝑞𝑛 ↔ ∀𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ¬ 𝑞𝑥))
5349, 52syl5bb 272 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑥 → (∀𝑝 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ¬ 𝑝𝑛 ↔ ∀𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ¬ 𝑞𝑥))
5453, 5elrab2 3399 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝑀 ↔ (𝑥 ∈ (1...𝑁) ∧ ∀𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ¬ 𝑞𝑥))
55 elun1 3813 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝑀𝑥 ∈ (𝑀 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)))
5654, 55sylbir 225 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (1...𝑁) ∧ ∀𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ¬ 𝑞𝑥) → 𝑥 ∈ (𝑀 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)))
5756ex 449 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (1...𝑁) → (∀𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ¬ 𝑞𝑥𝑥 ∈ (𝑀 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘))))
5857adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) → (∀𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ¬ 𝑞𝑥𝑥 ∈ (𝑀 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘))))
59 dfrex2 3025 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾))𝑞𝑥 ↔ ¬ ∀𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ¬ 𝑞𝑥)
60 eldifn 3766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) → ¬ 𝑞 ∈ (1...𝐾))
6160ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → ¬ 𝑞 ∈ (1...𝐾))
62 eldifi 3765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) → 𝑞 ∈ ℙ)
6362ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → 𝑞 ∈ ℙ)
64 prmnn 15435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℕ)
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → 𝑞 ∈ ℕ)
66 nnuz 11761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ℕ = (ℤ‘1)
6765, 66syl6eleq 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → 𝑞 ∈ (ℤ‘1))
6815nnzd 11519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
6968ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → 𝐾 ∈ ℤ)
70 elfz5 12372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑞 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑞 ∈ (1...𝐾) ↔ 𝑞𝐾))
7167, 69, 70syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → (𝑞 ∈ (1...𝐾) ↔ 𝑞𝐾))
7261, 71mtbid 313 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → ¬ 𝑞𝐾)
7315nnred 11073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
7473ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → 𝐾 ∈ ℝ)
7565nnred 11073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → 𝑞 ∈ ℝ)
7674, 75ltnled 10222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → (𝐾 < 𝑞 ↔ ¬ 𝑞𝐾))
7772, 76mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → 𝐾 < 𝑞)
78 prmz 15436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℤ)
7963, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → 𝑞 ∈ ℤ)
80 zltp1le 11465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑞 ↔ (𝐾 + 1) ≤ 𝑞))
8169, 79, 80syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → (𝐾 < 𝑞 ↔ (𝐾 + 1) ≤ 𝑞))
8277, 81mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → (𝐾 + 1) ≤ 𝑞)
83 elfznn 12408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ (1...𝑁) → 𝑥 ∈ ℕ)
8483ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → 𝑥 ∈ ℕ)
8584nnred 11073 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
862ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → 𝑁 ∈ ℝ)
87 simprr 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → 𝑞𝑥)
88 dvdsle 15079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑞𝑥𝑞𝑥))
8979, 84, 88syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → (𝑞𝑥𝑞𝑥))
9087, 89mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → 𝑞𝑥)
91 elfzle2 12383 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ (1...𝑁) → 𝑥𝑁)
9291ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → 𝑥𝑁)
9375, 85, 86, 90, 92letrd 10232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → 𝑞𝑁)
9468peano2zd 11523 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
9594ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
961nnzd 11519 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
9796ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → 𝑁 ∈ ℤ)
98 elfz 12370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑞 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ↔ ((𝐾 + 1) ≤ 𝑞𝑞𝑁)))
9979, 95, 97, 98syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → (𝑞 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ↔ ((𝐾 + 1) ≤ 𝑞𝑞𝑁)))
10082, 93, 99mpbir2and 977 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → 𝑞 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁))
101 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → 𝑥 ∈ (1...𝑁))
10263, 87jca 553 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥))
10350anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = 𝑥 → ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑛) ↔ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥)))
104103elrab 3396 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑛)} ↔ (𝑥 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥)))
105101, 102, 104sylanbrc 699 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → 𝑥 ∈ {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑛)})
106 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝 = 𝑞 → (𝑝 ∈ ℙ ↔ 𝑞 ∈ ℙ))
107106, 47anbi12d 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑝 = 𝑞 → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝𝑛) ↔ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑛)))
108107rabbidv 3220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 = 𝑞 → {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝𝑛)} = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑛)})
10936rabex 4845 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑛)} ∈ V
110108, 35, 109fvmpt 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑞 ∈ ℕ → (𝑊𝑞) = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑛)})
11165, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → (𝑊𝑞) = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑛)})
112105, 111eleqtrrd 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → 𝑥 ∈ (𝑊𝑞))
113 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑞 → (𝑊𝑘) = (𝑊𝑞))
114113eliuni 4558 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑞 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑊𝑞)) → 𝑥 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘))
115100, 112, 114syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → 𝑥 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘))
116 elun2 3814 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘) → 𝑥 ∈ (𝑀 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)))
117115, 116syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ∧ 𝑞𝑥)) → 𝑥 ∈ (𝑀 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)))
118117rexlimdvaa 3061 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) → (∃𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾))𝑞𝑥𝑥 ∈ (𝑀 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘))))
11959, 118syl5bir 233 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) → (¬ ∀𝑞 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ¬ 𝑞𝑥𝑥 ∈ (𝑀 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘))))
12058, 119pm2.61d 170 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)))
121120ex 449 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...𝑁) → 𝑥 ∈ (𝑀 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘))))
122121ssrdv 3642 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1...𝑁) ⊆ (𝑀 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)))
12346, 122eqssd 3653 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) = (1...𝑁))
124123fveq2d 6233 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘(𝑀 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘))) = (#‘(1...𝑁)))
1251nnnn0d 11389 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
126 hashfz1 13174 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (#‘(1...𝑁)) = 𝑁)
127125, 126syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘(1...𝑁)) = 𝑁)
128124, 127eqtr2d 2686 . . . . 5 (𝜑𝑁 = (#‘(𝑀 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘))))
1299a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ Fin)
130 ssfi 8221 . . . . . . 7 (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘) ∈ Fin)
1314, 45, 130sylancr 696 . . . . . 6 (𝜑 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘) ∈ Fin)
132 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 = 𝑘 → (𝑝𝑥𝑘𝑥))
133132notbid 307 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 = 𝑘 → (¬ 𝑝𝑥 ↔ ¬ 𝑘𝑥))
134 breq2 4689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = 𝑥 → (𝑝𝑛𝑝𝑥))
135134notbid 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = 𝑥 → (¬ 𝑝𝑛 ↔ ¬ 𝑝𝑥))
136135ralbidv 3015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 𝑥 → (∀𝑝 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ¬ 𝑝𝑛 ↔ ∀𝑝 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ¬ 𝑝𝑥))
137136, 5elrab2 3399 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥𝑀 ↔ (𝑥 ∈ (1...𝑁) ∧ ∀𝑝 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ¬ 𝑝𝑥))
138137simprbi 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥𝑀 → ∀𝑝 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ¬ 𝑝𝑥)
139138ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℙ)) → ∀𝑝 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ¬ 𝑝𝑥)
140 simprr 811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℙ)) → 𝑘 ∈ ℙ)
141 noel 3952 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ¬ 𝑘 ∈ ∅
142 simprl 809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℙ)) → 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁))
143142biantrud 527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℙ)) → (𝑘 ∈ (1...𝐾) ↔ (𝑘 ∈ (1...𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁))))
144 elin 3829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ((𝐾 + 1)...𝑁)) ↔ (𝑘 ∈ (1...𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)))
145143, 144syl6bbr 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℙ)) → (𝑘 ∈ (1...𝐾) ↔ 𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ((𝐾 + 1)...𝑁))))
14673ltp1d 10992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝐾 < (𝐾 + 1))
147 fzdisj 12406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐾 < (𝐾 + 1) → ((1...𝐾) ∩ ((𝐾 + 1)...𝑁)) = ∅)
148146, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((1...𝐾) ∩ ((𝐾 + 1)...𝑁)) = ∅)
149148ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℙ)) → ((1...𝐾) ∩ ((𝐾 + 1)...𝑁)) = ∅)
150149eleq2d 2716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℙ)) → (𝑘 ∈ ((1...𝐾) ∩ ((𝐾 + 1)...𝑁)) ↔ 𝑘 ∈ ∅))
151145, 150bitrd 268 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℙ)) → (𝑘 ∈ (1...𝐾) ↔ 𝑘 ∈ ∅))
152141, 151mtbiri 316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℙ)) → ¬ 𝑘 ∈ (1...𝐾))
153140, 152eldifd 3618 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℙ)) → 𝑘 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)))
154133, 139, 153rspcdva 3347 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℙ)) → ¬ 𝑘𝑥)
155154expr 642 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (𝑘 ∈ ℙ → ¬ 𝑘𝑥))
156 imnan 437 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℙ → ¬ 𝑘𝑥) ↔ ¬ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑥))
157155, 156sylib 208 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → ¬ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑥))
15830adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ)
159158, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (𝑊𝑘) = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑛)})
160159eleq2d 2716 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑊𝑘) ↔ 𝑥 ∈ {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑛)}))
161 breq2 4689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑥 → (𝑘𝑛𝑘𝑥))
162161anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑥 → ((𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑛) ↔ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑥)))
163162elrab 3396 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑛)} ↔ (𝑥 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑥)))
164163simprbi 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑛)} → (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑥))
165160, 164syl6bi 243 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑊𝑘) → (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑥)))
166157, 165mtod 189 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑊𝑘))
167166nrexdv 3030 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑀) → ¬ ∃𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)𝑥 ∈ (𝑊𝑘))
168 eliun 4556 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘) ↔ ∃𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)𝑥 ∈ (𝑊𝑘))
169167, 168sylnibr 318 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑀) → ¬ 𝑥 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘))
170169ex 449 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝑀 → ¬ 𝑥 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)))
171 imnan 437 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝑀 → ¬ 𝑥 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) ↔ ¬ (𝑥𝑀𝑥 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)))
172170, 171sylib 208 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ (𝑥𝑀𝑥 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)))
173 elin 3829 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑀 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) ↔ (𝑥𝑀𝑥 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)))
174172, 173sylnibr 318 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑀 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)))
175174eq0rdv 4012 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) = ∅)
176 hashun 13209 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘) ∈ Fin ∧ (𝑀 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) = ∅) → (#‘(𝑀 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘))) = ((#‘𝑀) + (#‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘))))
177129, 131, 175, 176syl3anc 1366 . . . . 5 (𝜑 → (#‘(𝑀 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘))) = ((#‘𝑀) + (#‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘))))
17825, 128, 1773eqtrd 2689 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁 / 2) + (𝑁 / 2)) = ((#‘𝑀) + (#‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘))))
179 hashcl 13185 . . . . . . 7 ( 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘) ∈ Fin → (#‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) ∈ ℕ0)
180131, 179syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) ∈ ℕ0)
181180nn0red 11390 . . . . 5 (𝜑 → (#‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) ∈ ℝ)
182 fzfid 12812 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐾 + 1)...𝑁) ∈ Fin)
18327, 29sylan 487 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
184 nnrecre 11095 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
185 0re 10078 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
186 ifcl 4163 . . . . . . . . . . 11 (((1 / 𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℝ)
187184, 185, 186sylancl 695 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℝ)
188183, 187syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))) → if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℝ)
18928, 188sylan2 490 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℝ)
190182, 189fsumrecl 14509 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℝ)
1912, 190remulcld 10108 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) ∈ ℝ)
192 prmrec.1 . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (1 / 𝑛), 0))
193 prmrec.5 . . . . . . . 8 (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
194 prmrec.6 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) < (1 / 2))
195192, 15, 1, 5, 193, 194, 35prmreclem4 15670 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → (#‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))))
196 eluz 11739 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) ↔ 𝑁𝐾))
19796, 68, 196syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) ↔ 𝑁𝐾))
198 nnleltp1 11470 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑁𝐾𝑁 < (𝐾 + 1)))
1991, 15, 198syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁𝐾𝑁 < (𝐾 + 1)))
200 fzn 12395 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < (𝐾 + 1) ↔ ((𝐾 + 1)...𝑁) = ∅))
20194, 96, 200syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 < (𝐾 + 1) ↔ ((𝐾 + 1)...𝑁) = ∅))
202197, 199, 2013bitrd 294 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) ↔ ((𝐾 + 1)...𝑁) = ∅))
203 0le0 11148 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 0
20424mul01d 10273 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 · 0) = 0)
205203, 204syl5breqr 4723 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁 · 0))
206 iuneq1 4566 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 + 1)...𝑁) = ∅ → 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘) = 𝑘 ∈ ∅ (𝑊𝑘))
207 0iun 4609 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘 ∈ ∅ (𝑊𝑘) = ∅
208206, 207syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 + 1)...𝑁) = ∅ → 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘) = ∅)
209208fveq2d 6233 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 + 1)...𝑁) = ∅ → (#‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) = (#‘∅))
210 hash0 13196 . . . . . . . . . . 11 (#‘∅) = 0
211209, 210syl6eq 2701 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 + 1)...𝑁) = ∅ → (#‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) = 0)
212 sumeq1 14463 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 + 1)...𝑁) = ∅ → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) = Σ𝑘 ∈ ∅ if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
213 sum0 14496 . . . . . . . . . . . 12 Σ𝑘 ∈ ∅ if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) = 0
214212, 213syl6eq 2701 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 + 1)...𝑁) = ∅ → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) = 0)
215214oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 + 1)...𝑁) = ∅ → (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) = (𝑁 · 0))
216211, 215breq12d 4698 . . . . . . . . 9 (((𝐾 + 1)...𝑁) = ∅ → ((#‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) ↔ 0 ≤ (𝑁 · 0)))
217205, 216syl5ibrcom 237 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐾 + 1)...𝑁) = ∅ → (#‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))))
218202, 217sylbid 230 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → (#‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))))
219 uztric 11747 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) ∨ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)))
22068, 96, 219syl2anc 694 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) ∨ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)))
221195, 218, 220mpjaod 395 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)))
222 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (ℤ‘(𝐾 + 1)) = (ℤ‘(𝐾 + 1))
223 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 ∈ ℙ ↔ 𝑘 ∈ ℙ))
224 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑘 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑘))
225223, 224ifbieq1d 4142 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → if(𝑛 ∈ ℙ, (1 / 𝑛), 0) = if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
226 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 𝑘) ∈ V
227 c0ex 10072 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
228226, 227ifex 4189 . . . . . . . . . . . 12 if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ V
229225, 192, 228fvmpt 6321 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
230183, 229syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))) → (𝐹𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
231187recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℂ)
232229, 231eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
233232adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
23466, 27, 233iserex 14431 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq(𝐾 + 1)( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
235193, 234mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → seq(𝐾 + 1)( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
236222, 94, 230, 188, 235isumrecl 14540 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℝ)
237 halfre 11284 . . . . . . . . . 10 (1 / 2) ∈ ℝ
238237a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
239 fzssuz 12420 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 + 1)...𝑁) ⊆ (ℤ‘(𝐾 + 1))
240239a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐾 + 1)...𝑁) ⊆ (ℤ‘(𝐾 + 1)))
241 nnrp 11880 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
242241rpreccld 11920 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ+)
243242rpge0d 11914 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → 0 ≤ (1 / 𝑘))
244 breq2 4689 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 / 𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) → (0 ≤ (1 / 𝑘) ↔ 0 ≤ if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)))
245 breq2 4689 . . . . . . . . . . . . 13 (0 = if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) → (0 ≤ 0 ↔ 0 ≤ if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)))
246244, 245ifboth 4157 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ≤ (1 / 𝑘) ∧ 0 ≤ 0) → 0 ≤ if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
247243, 203, 246sylancl 695 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 0 ≤ if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
248183, 247syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))) → 0 ≤ if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
249222, 94, 182, 240, 230, 188, 248, 235isumless 14621 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
250190, 236, 238, 249, 194lelttrd 10233 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) < (1 / 2))
2511nngt0d 11102 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < 𝑁)
252 ltmul2 10912 . . . . . . . . 9 ((Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) < (1 / 2) ↔ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) < (𝑁 · (1 / 2))))
253190, 238, 2, 251, 252syl112anc 1370 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) < (1 / 2) ↔ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) < (𝑁 · (1 / 2))))
254250, 253mpbid 222 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) < (𝑁 · (1 / 2)))
255 2cn 11129 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
256 2ne0 11151 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
257 divrec 10739 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (𝑁 / 2) = (𝑁 · (1 / 2)))
258255, 256, 257mp3an23 1456 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 / 2) = (𝑁 · (1 / 2)))
25924, 258syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 / 2) = (𝑁 · (1 / 2)))
260254, 259breqtrrd 4713 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) < (𝑁 / 2))
261181, 191, 3, 221, 260lelttrd 10233 . . . . 5 (𝜑 → (#‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) < (𝑁 / 2))
262181, 3, 13, 261ltadd2dd 10234 . . . 4 (𝜑 → ((#‘𝑀) + (#‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘))) < ((#‘𝑀) + (𝑁 / 2)))
263178, 262eqbrtrd 4707 . . 3 (𝜑 → ((𝑁 / 2) + (𝑁 / 2)) < ((#‘𝑀) + (𝑁 / 2)))
2643, 13, 3ltadd1d 10658 . . 3 (𝜑 → ((𝑁 / 2) < (#‘𝑀) ↔ ((𝑁 / 2) + (𝑁 / 2)) < ((#‘𝑀) + (𝑁 / 2))))
265263, 264mpbird 247 . 2 (𝜑 → (𝑁 / 2) < (#‘𝑀))
266 oveq1 6697 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑟 → (𝑘↑2) = (𝑟↑2))
267266breq1d 4695 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑟 → ((𝑘↑2) ∥ 𝑥 ↔ (𝑟↑2) ∥ 𝑥))
268267cbvrabv 3230 . . . . . 6 {𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝑘↑2) ∥ 𝑥} = {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑥}
269 breq2 4689 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑛 → ((𝑟↑2) ∥ 𝑥 ↔ (𝑟↑2) ∥ 𝑛))
270269rabbidv 3220 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑛 → {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑥} = {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑛})
271268, 270syl5eq 2697 . . . . 5 (𝑥 = 𝑛 → {𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝑘↑2) ∥ 𝑥} = {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑛})
272271supeq1d 8393 . . . 4 (𝑥 = 𝑛 → sup({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝑘↑2) ∥ 𝑥}, ℝ, < ) = sup({𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑛}, ℝ, < ))
273272cbvmptv 4783 . . 3 (𝑥 ∈ ℕ ↦ sup({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝑘↑2) ∥ 𝑥}, ℝ, < )) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ sup({𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑛}, ℝ, < ))
274192, 15, 1, 5, 273prmreclem3 15669 . 2 (𝜑 → (#‘𝑀) ≤ ((2↑𝐾) · (√‘𝑁)))
2753, 13, 23, 265, 274ltletrd 10235 1 (𝜑 → (𝑁 / 2) < ((2↑𝐾) · (√‘𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  {crab 2945  cdif 3604  cun 3605  cin 3606  wss 3607  c0 3948  ifcif 4119   ciun 4552   class class class wbr 4685  cmpt 4762  dom cdm 5143  cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  supcsup 8387  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  ...cfz 12364  seqcseq 12841  cexp 12900  #chash 13157  csqrt 14017  cli 14259  Σcsu 14460  cdvds 15027  cprime 15432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-prm 15433  df-pc 15589
This theorem is referenced by:  prmreclem6  15672
  Copyright terms: Public domain W3C validator