MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmolefac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmolefac 15956
Description: The primorial of a positive integer is less than or equal to the factorial of the integer. (Contributed by AV, 15-Aug-2020.) (Revised by AV, 29-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
prmolefac (𝑁 ∈ ℕ0 → (#p𝑁) ≤ (!‘𝑁))

Proof of Theorem prmolefac
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1994 . . 3 𝑘 𝑁 ∈ ℕ0
2 fzfid 12979 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1...𝑁) ∈ Fin)
3 elfznn 12576 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ)
43adantl 467 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ)
5 1nn 11232 . . . . . 6 1 ∈ ℕ
65a1i 11 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 1 ∈ ℕ)
74, 6ifcld 4268 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℕ)
87nnred 11236 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℝ)
9 ifeqor 4269 . . . 4 (if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 𝑘 ∨ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 1)
10 nnnn0 11500 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
1110nn0ge0d 11555 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑘)
123, 11syl 17 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 0 ≤ 𝑘)
1312adantl 467 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 0 ≤ 𝑘)
14 breq2 4788 . . . . . 6 (if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 𝑘 → (0 ≤ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ↔ 0 ≤ 𝑘))
1513, 14syl5ibr 236 . . . . 5 (if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 𝑘 → ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 0 ≤ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1)))
16 0le1 10752 . . . . . . 7 0 ≤ 1
17 breq2 4788 . . . . . . . 8 (if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 1 → (0 ≤ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ↔ 0 ≤ 1))
1817adantr 466 . . . . . . 7 ((if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 1 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁))) → (0 ≤ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ↔ 0 ≤ 1))
1916, 18mpbiri 248 . . . . . 6 ((if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 1 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁))) → 0 ≤ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
2019ex 397 . . . . 5 (if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 1 → ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 0 ≤ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1)))
2115, 20jaoi 837 . . . 4 ((if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 𝑘 ∨ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 1) → ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 0 ≤ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1)))
229, 21ax-mp 5 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 0 ≤ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
234nnred 11236 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
2423leidd 10795 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘𝑘)
25 breq1 4787 . . . . . 6 (if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 𝑘 → (if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ≤ 𝑘𝑘𝑘))
2624, 25syl5ibr 236 . . . . 5 (if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 𝑘 → ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ≤ 𝑘))
274nnge1d 11264 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 1 ≤ 𝑘)
28 breq1 4787 . . . . . 6 (if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 1 → (if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ≤ 𝑘 ↔ 1 ≤ 𝑘))
2927, 28syl5ibr 236 . . . . 5 (if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 1 → ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ≤ 𝑘))
3026, 29jaoi 837 . . . 4 ((if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 𝑘 ∨ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = 1) → ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ≤ 𝑘))
319, 30ax-mp 5 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ≤ 𝑘)
321, 2, 8, 22, 23, 31fprodle 14932 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ≤ ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘)
33 prmoval 15943 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (#p𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
34 fprodfac 14909 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘)
3532, 33, 343brtr4d 4816 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (#p𝑁) ≤ (!‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  wo 826   = wceq 1630  wcel 2144  ifcif 4223   class class class wbr 4784  cfv 6031  (class class class)co 6792  0cc0 10137  1c1 10138  cle 10276  cn 11221  0cn0 11493  ...cfz 12532  !cfa 13263  cprod 14841  cprime 15591  #pcprmo 15941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-sup 8503  df-oi 8570  df-card 8964  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-rp 12035  df-ico 12385  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-seq 13008  df-exp 13067  df-fac 13264  df-hash 13321  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-clim 14426  df-prod 14842  df-prmo 15942
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator