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Theorem prmlem2 16029
 Description: Our last proving session got as far as 25 because we started with the two "bootstrap" primes 2 and 3, and the next prime is 5, so knowing that 2 and 3 are prime and 4 is not allows us to cover the numbers less than 5↑2 = 25. Additionally, nonprimes are "easy", so we can extend this range of known prime/nonprimes all the way until 29, which is the first prime larger than 25. Thus, in this lemma we extend another blanket out to 29↑2 = 841, from which we can prove even more primes. If we wanted, we could keep doing this, but the goal is Bertrand's postulate, and for that we only need a few large primes - we don't need to find them all, as we have been doing thus far. So after this blanket runs out, we'll have to switch to another method (see 1259prm 16045). As a side note, you can see the pattern of the primes in the indentation pattern of this lemma! (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prmlem2.n 𝑁 ∈ ℕ
prmlem2.lt 𝑁 < 841
prmlem2.gt 1 < 𝑁
prmlem2.2 ¬ 2 ∥ 𝑁
prmlem2.3 ¬ 3 ∥ 𝑁
prmlem2.5 ¬ 5 ∥ 𝑁
prmlem2.7 ¬ 7 ∥ 𝑁
prmlem2.11 ¬ 11 ∥ 𝑁
prmlem2.13 ¬ 13 ∥ 𝑁
prmlem2.17 ¬ 17 ∥ 𝑁
prmlem2.19 ¬ 19 ∥ 𝑁
prmlem2.23 ¬ 23 ∥ 𝑁
Assertion
Ref Expression
prmlem2 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem prmlem2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmlem2.n . 2 𝑁 ∈ ℕ
2 prmlem2.gt . 2 1 < 𝑁
3 prmlem2.2 . 2 ¬ 2 ∥ 𝑁
4 prmlem2.3 . 2 ¬ 3 ∥ 𝑁
5 eluzelre 11890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (ℤ29) → 𝑥 ∈ ℝ)
65resqcld 13229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ (ℤ29) → (𝑥↑2) ∈ ℝ)
7 eluzle 11892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (ℤ29) → 29 ≤ 𝑥)
8 2nn0 11501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 ∈ ℕ0
9 9nn0 11508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 9 ∈ ℕ0
108, 9deccl 11704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 29 ∈ ℕ0
1110nn0rei 11495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 29 ∈ ℝ
1210nn0ge0i 11512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 ≤ 29
13 le2sq2 13133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((29 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 29) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 29 ≤ 𝑥)) → (29↑2) ≤ (𝑥↑2))
1411, 12, 13mpanl12 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 29 ≤ 𝑥) → (29↑2) ≤ (𝑥↑2))
155, 7, 14syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ (ℤ29) → (29↑2) ≤ (𝑥↑2))
161nnrei 11221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑁 ∈ ℝ
1711resqcli 13143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (29↑2) ∈ ℝ
18 prmlem2.lt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑁 < 841
1910nn0cni 11496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 29 ∈ ℂ
2019sqvali 13137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (29↑2) = (29 · 29)
21 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 29 = 29
22 1nn0 11500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 ∈ ℕ0
23 6nn0 11505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 6 ∈ ℕ0
248, 23deccl 11704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 26 ∈ ℕ0
25 5nn0 11504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 5 ∈ ℕ0
26 8nn0 11507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 8 ∈ ℕ0
27192timesi 11339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (2 · 29) = (29 + 29)
28 2p2e4 11336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (2 + 2) = 4
2928oveq1i 6823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((2 + 2) + 1) = (4 + 1)
30 4p1e5 11346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (4 + 1) = 5
3129, 30eqtri 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((2 + 2) + 1) = 5
32 9p9e18 11819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (9 + 9) = 18
338, 9, 8, 9, 21, 21, 31, 26, 32decaddc 11764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (29 + 29) = 58
3427, 33eqtri 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (2 · 29) = 58
35 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 26 = 26
36 5p2e7 11357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (5 + 2) = 7
3736oveq1i 6823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((5 + 2) + 1) = (7 + 1)
38 7p1e8 11349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (7 + 1) = 8
3937, 38eqtri 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((5 + 2) + 1) = 8
40 4nn0 11503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4 ∈ ℕ0
41 8p6e14 11808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (8 + 6) = 14
4225, 26, 8, 23, 34, 35, 39, 40, 41decaddc 11764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((2 · 29) + 26) = 84
43 9t2e18 11855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (9 · 2) = 18
44 1p1e2 11326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (1 + 1) = 2
45 8p8e16 11810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (8 + 8) = 16
4622, 26, 26, 43, 44, 23, 45decaddci 11772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((9 · 2) + 8) = 26
47 9t9e81 11862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (9 · 9) = 81
489, 8, 9, 21, 22, 26, 46, 47decmul2c 11781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (9 · 29) = 261
4910, 8, 9, 21, 22, 24, 42, 48decmul1c 11779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (29 · 29) = 841
5020, 49eqtri 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (29↑2) = 841
5118, 50breqtrri 4831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑁 < (29↑2)
52 ltletr 10321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (29↑2) ∈ ℝ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℝ) → ((𝑁 < (29↑2) ∧ (29↑2) ≤ (𝑥↑2)) → 𝑁 < (𝑥↑2)))
5351, 52mpani 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (29↑2) ∈ ℝ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℝ) → ((29↑2) ≤ (𝑥↑2) → 𝑁 < (𝑥↑2)))
5416, 17, 53mp3an12 1563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥↑2) ∈ ℝ → ((29↑2) ≤ (𝑥↑2) → 𝑁 < (𝑥↑2)))
556, 15, 54sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ (ℤ29) → 𝑁 < (𝑥↑2))
56 ltnle 10309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℝ) → (𝑁 < (𝑥↑2) ↔ ¬ (𝑥↑2) ≤ 𝑁))
5716, 6, 56sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ (ℤ29) → (𝑁 < (𝑥↑2) ↔ ¬ (𝑥↑2) ≤ 𝑁))
5855, 57mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (ℤ29) → ¬ (𝑥↑2) ≤ 𝑁)
5958pm2.21d 118 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (ℤ29) → ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥𝑁))
6059adantld 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (ℤ29) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
6160adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((¬ 2 ∥ 29 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ29)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
62 9nn 11384 . . . . . . . . . . . . . . . 16 9 ∈ ℕ
63 3nn 11378 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ ℕ
64 1lt9 11421 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 < 9
65 1lt3 11388 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 < 3
66 9t3e27 11856 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (9 · 3) = 27
6762, 63, 64, 65, 66nprmi 15604 . . . . . . . . . . . . . . 15 ¬ 27 ∈ ℙ
6867pm2.21i 116 . . . . . . . . . . . . . 14 (27 ∈ ℙ → ¬ 27 ∥ 𝑁)
69 7nn0 11506 . . . . . . . . . . . . . . 15 7 ∈ ℕ0
70 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . . 15 27 = 27
71 7p2e9 11364 . . . . . . . . . . . . . . 15 (7 + 2) = 9
728, 69, 8, 70, 71decaddi 11771 . . . . . . . . . . . . . 14 (27 + 2) = 29
7361, 68, 72prmlem0 16014 . . . . . . . . . . . . 13 ((¬ 2 ∥ 27 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ27)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
74 5nn 11380 . . . . . . . . . . . . . . 15 5 ∈ ℕ
75 1lt5 11395 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 < 5
76 5t5e25 11831 . . . . . . . . . . . . . . 15 (5 · 5) = 25
7774, 74, 75, 75, 76nprmi 15604 . . . . . . . . . . . . . 14 ¬ 25 ∈ ℙ
7877pm2.21i 116 . . . . . . . . . . . . 13 (25 ∈ ℙ → ¬ 25 ∥ 𝑁)
79 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . 14 25 = 25
808, 25, 8, 79, 36decaddi 11771 . . . . . . . . . . . . 13 (25 + 2) = 27
8173, 78, 80prmlem0 16014 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 2 ∥ 25 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ25)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
82 prmlem2.23 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ 23 ∥ 𝑁
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (23 ∈ ℙ → ¬ 23 ∥ 𝑁)
84 3nn0 11502 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℕ0
85 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . 13 23 = 23
86 3p2e5 11352 . . . . . . . . . . . . 13 (3 + 2) = 5
878, 84, 8, 85, 86decaddi 11771 . . . . . . . . . . . 12 (23 + 2) = 25
8881, 83, 87prmlem0 16014 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 2 ∥ 23 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ23)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
89 7nn 11382 . . . . . . . . . . . . 13 7 ∈ ℕ
90 1lt7 11406 . . . . . . . . . . . . 13 1 < 7
91 7t3e21 11841 . . . . . . . . . . . . 13 (7 · 3) = 21
9289, 63, 90, 65, 91nprmi 15604 . . . . . . . . . . . 12 ¬ 21 ∈ ℙ
9392pm2.21i 116 . . . . . . . . . . 11 (21 ∈ ℙ → ¬ 21 ∥ 𝑁)
94 eqid 2760 . . . . . . . . . . . 12 21 = 21
95 1p2e3 11344 . . . . . . . . . . . 12 (1 + 2) = 3
968, 22, 8, 94, 95decaddi 11771 . . . . . . . . . . 11 (21 + 2) = 23
9788, 93, 96prmlem0 16014 . . . . . . . . . 10 ((¬ 2 ∥ 21 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ21)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
98 prmlem2.19 . . . . . . . . . . 11 ¬ 19 ∥ 𝑁
9998a1i 11 . . . . . . . . . 10 (19 ∈ ℙ → ¬ 19 ∥ 𝑁)
100 eqid 2760 . . . . . . . . . . 11 19 = 19
101 9p2e11 11811 . . . . . . . . . . 11 (9 + 2) = 11
10222, 9, 8, 100, 44, 22, 101decaddci 11772 . . . . . . . . . 10 (19 + 2) = 21
10397, 99, 102prmlem0 16014 . . . . . . . . 9 ((¬ 2 ∥ 19 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ19)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
104 prmlem2.17 . . . . . . . . . 10 ¬ 17 ∥ 𝑁
105104a1i 11 . . . . . . . . 9 (17 ∈ ℙ → ¬ 17 ∥ 𝑁)
106 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 17 = 17
10722, 69, 8, 106, 71decaddi 11771 . . . . . . . . 9 (17 + 2) = 19
108103, 105, 107prmlem0 16014 . . . . . . . 8 ((¬ 2 ∥ 17 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ17)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
109 5t3e15 11827 . . . . . . . . . 10 (5 · 3) = 15
11074, 63, 75, 65, 109nprmi 15604 . . . . . . . . 9 ¬ 15 ∈ ℙ
111110pm2.21i 116 . . . . . . . 8 (15 ∈ ℙ → ¬ 15 ∥ 𝑁)
112 eqid 2760 . . . . . . . . 9 15 = 15
11322, 25, 8, 112, 36decaddi 11771 . . . . . . . 8 (15 + 2) = 17
114108, 111, 113prmlem0 16014 . . . . . . 7 ((¬ 2 ∥ 15 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ15)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
115 prmlem2.13 . . . . . . . 8 ¬ 13 ∥ 𝑁
116115a1i 11 . . . . . . 7 (13 ∈ ℙ → ¬ 13 ∥ 𝑁)
117 eqid 2760 . . . . . . . 8 13 = 13
11822, 84, 8, 117, 86decaddi 11771 . . . . . . 7 (13 + 2) = 15
119114, 116, 118prmlem0 16014 . . . . . 6 ((¬ 2 ∥ 13 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ13)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
120 prmlem2.11 . . . . . . 7 ¬ 11 ∥ 𝑁
121120a1i 11 . . . . . 6 (11 ∈ ℙ → ¬ 11 ∥ 𝑁)
122 eqid 2760 . . . . . . 7 11 = 11
12322, 22, 8, 122, 95decaddi 11771 . . . . . 6 (11 + 2) = 13
124119, 121, 123prmlem0 16014 . . . . 5 ((¬ 2 ∥ 11 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ11)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
125 9nprm 16021 . . . . . 6 ¬ 9 ∈ ℙ
126125pm2.21i 116 . . . . 5 (9 ∈ ℙ → ¬ 9 ∥ 𝑁)
127124, 126, 101prmlem0 16014 . . . 4 ((¬ 2 ∥ 9 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘9)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
128 prmlem2.7 . . . . 5 ¬ 7 ∥ 𝑁
129128a1i 11 . . . 4 (7 ∈ ℙ → ¬ 7 ∥ 𝑁)
130127, 129, 71prmlem0 16014 . . 3 ((¬ 2 ∥ 7 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘7)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
131 prmlem2.5 . . . 4 ¬ 5 ∥ 𝑁
132131a1i 11 . . 3 (5 ∈ ℙ → ¬ 5 ∥ 𝑁)
133130, 132, 36prmlem0 16014 . 2 ((¬ 2 ∥ 5 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘5)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
1341, 2, 3, 4, 133prmlem1a 16015 1 𝑁 ∈ ℙ
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   ∈ wcel 2139   ∖ cdif 3712  {csn 4321   class class class wbr 4804  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  ℝcr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133   < clt 10266   ≤ cle 10267  ℕcn 11212  2c2 11262  3c3 11263  4c4 11264  5c5 11265  6c6 11266  7c7 11267  8c8 11268  9c9 11269  ;cdc 11685  ℤ≥cuz 11879  ↑cexp 13054   ∥ cdvds 15182  ℙcprime 15587 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-rp 12026  df-fz 12520  df-seq 12996  df-exp 13055  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-dvds 15183  df-prm 15588 This theorem is referenced by:  37prm  16030  43prm  16031  83prm  16032  139prm  16033  163prm  16034  317prm  16035  631prm  16036  257prm  41983  139prmALT  42021  127prm  42025
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