MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmlem1a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmlem1a 15860
Description: A quick proof skeleton to show that the numbers less than 25 are prime, by trial division. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
prmlem1.n 𝑁 ∈ ℕ
prmlem1.gt 1 < 𝑁
prmlem1.2 ¬ 2 ∥ 𝑁
prmlem1.3 ¬ 3 ∥ 𝑁
prmlem1a.x ((¬ 2 ∥ 5 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘5)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
Assertion
Ref Expression
prmlem1a 𝑁 ∈ ℙ
Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem prmlem1a
StepHypRef Expression
1 prmlem1.n . . 3 𝑁 ∈ ℕ
2 prmlem1.gt . . 3 1 < 𝑁
3 eluz2b2 11799 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
41, 2, 3mpbir2an 975 . 2 𝑁 ∈ (ℤ‘2)
5 breq1 4688 . . . . . 6 (𝑥 = 2 → (𝑥𝑁 ↔ 2 ∥ 𝑁))
65notbid 307 . . . . 5 (𝑥 = 2 → (¬ 𝑥𝑁 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
76imbi2d 329 . . . 4 (𝑥 = 2 → (((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥𝑁) ↔ ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 2 ∥ 𝑁)))
8 prmnn 15435 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℙ → 𝑥 ∈ ℕ)
98adantr 480 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ≠ 2) → 𝑥 ∈ ℕ)
10 eldifsn 4350 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ≠ 2))
11 n2dvds1 15151 . . . . . . . . 9 ¬ 2 ∥ 1
12 prmlem1a.x . . . . . . . . . . 11 ((¬ 2 ∥ 5 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘5)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
13 prmlem1.3 . . . . . . . . . . . 12 ¬ 3 ∥ 𝑁
1413a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (3 ∈ ℙ → ¬ 3 ∥ 𝑁)
15 3p2e5 11198 . . . . . . . . . . 11 (3 + 2) = 5
1612, 14, 15prmlem0 15859 . . . . . . . . . 10 ((¬ 2 ∥ 3 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
17 1nprm 15439 . . . . . . . . . . 11 ¬ 1 ∈ ℙ
1817pm2.21i 116 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℙ → ¬ 1 ∥ 𝑁)
19 1p2e3 11190 . . . . . . . . . 10 (1 + 2) = 3
2016, 18, 19prmlem0 15859 . . . . . . . . 9 ((¬ 2 ∥ 1 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
2111, 20mpan 706 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ℤ‘1) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
22 nnuz 11761 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
2321, 22eleq2s 2748 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
2423expd 451 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥𝑁)))
2510, 24syl5bir 233 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ≠ 2) → ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥𝑁)))
269, 25mpcom 38 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ≠ 2) → ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥𝑁))
27 prmlem1.2 . . . . 5 ¬ 2 ∥ 𝑁
28272a1i 12 . . . 4 (𝑥 ∈ ℙ → ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 2 ∥ 𝑁))
297, 26, 28pm2.61ne 2908 . . 3 (𝑥 ∈ ℙ → ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥𝑁))
3029rgen 2951 . 2 𝑥 ∈ ℙ ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥𝑁)
31 isprm5 15466 . 2 (𝑁 ∈ ℙ ↔ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℙ ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥𝑁)))
324, 30, 31mpbir2an 975 1 𝑁 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  cdif 3604  {csn 4210   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  1c1 9975   < clt 10112  cle 10113  cn 11058  2c2 11108  3c3 11109  5c5 11111  cuz 11725  cexp 12900  cdvds 15027  cprime 15432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-dvds 15028  df-prm 15433
This theorem is referenced by:  prmlem1  15861  prmlem2  15874
  Copyright terms: Public domain W3C validator