MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmlem1 15937
Description: A quick proof skeleton to show that the numbers less than 25 are prime, by trial division. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
prmlem1.n 𝑁 ∈ ℕ
prmlem1.gt 1 < 𝑁
prmlem1.2 ¬ 2 ∥ 𝑁
prmlem1.3 ¬ 3 ∥ 𝑁
prmlem1.lt 𝑁 < 25
Assertion
Ref Expression
prmlem1 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem prmlem1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmlem1.n . 2 𝑁 ∈ ℕ
2 prmlem1.gt . 2 1 < 𝑁
3 prmlem1.2 . 2 ¬ 2 ∥ 𝑁
4 prmlem1.3 . 2 ¬ 3 ∥ 𝑁
5 eluzelre 11811 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ℤ‘5) → 𝑥 ∈ ℝ)
65resqcld 13150 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℤ‘5) → (𝑥↑2) ∈ ℝ)
7 eluzle 11813 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ℤ‘5) → 5 ≤ 𝑥)
8 5re 11212 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℝ
9 5nn0 11425 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℕ0
109nn0ge0i 11433 . . . . . . . . 9 0 ≤ 5
11 le2sq2 13054 . . . . . . . . 9 (((5 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 5) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 5 ≤ 𝑥)) → (5↑2) ≤ (𝑥↑2))
128, 10, 11mpanl12 720 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 5 ≤ 𝑥) → (5↑2) ≤ (𝑥↑2))
135, 7, 12syl2anc 696 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℤ‘5) → (5↑2) ≤ (𝑥↑2))
141nnrei 11142 . . . . . . . 8 𝑁 ∈ ℝ
158resqcli 13064 . . . . . . . 8 (5↑2) ∈ ℝ
16 prmlem1.lt . . . . . . . . . 10 𝑁 < 25
17 5cn 11213 . . . . . . . . . . . 12 5 ∈ ℂ
1817sqvali 13058 . . . . . . . . . . 11 (5↑2) = (5 · 5)
19 5t5e25 11752 . . . . . . . . . . 11 (5 · 5) = 25
2018, 19eqtri 2746 . . . . . . . . . 10 (5↑2) = 25
2116, 20breqtrri 4787 . . . . . . . . 9 𝑁 < (5↑2)
22 ltletr 10242 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (5↑2) ∈ ℝ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℝ) → ((𝑁 < (5↑2) ∧ (5↑2) ≤ (𝑥↑2)) → 𝑁 < (𝑥↑2)))
2321, 22mpani 714 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (5↑2) ∈ ℝ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℝ) → ((5↑2) ≤ (𝑥↑2) → 𝑁 < (𝑥↑2)))
2414, 15, 23mp3an12 1527 . . . . . . 7 ((𝑥↑2) ∈ ℝ → ((5↑2) ≤ (𝑥↑2) → 𝑁 < (𝑥↑2)))
256, 13, 24sylc 65 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ℤ‘5) → 𝑁 < (𝑥↑2))
26 ltnle 10230 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℝ) → (𝑁 < (𝑥↑2) ↔ ¬ (𝑥↑2) ≤ 𝑁))
2714, 6, 26sylancr 698 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ℤ‘5) → (𝑁 < (𝑥↑2) ↔ ¬ (𝑥↑2) ≤ 𝑁))
2825, 27mpbid 222 . . . . 5 (𝑥 ∈ (ℤ‘5) → ¬ (𝑥↑2) ≤ 𝑁)
2928pm2.21d 118 . . . 4 (𝑥 ∈ (ℤ‘5) → ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥𝑁))
3029adantld 484 . . 3 (𝑥 ∈ (ℤ‘5) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
3130adantl 473 . 2 ((¬ 2 ∥ 5 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘5)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
321, 2, 3, 4, 31prmlem1a 15936 1 𝑁 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072  wcel 2103  cdif 3677  {csn 4285   class class class wbr 4760  cfv 6001  (class class class)co 6765  cr 10048  0cc0 10049  1c1 10050   · cmul 10054   < clt 10187  cle 10188  cn 11133  2c2 11183  3c3 11184  5c5 11186  cdc 11606  cuz 11800  cexp 12975  cdvds 15103  cprime 15508
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-2o 7681  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-sup 8464  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-rp 11947  df-fz 12441  df-seq 12917  df-exp 12976  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-dvds 15104  df-prm 15509
This theorem is referenced by:  5prm  15938  7prm  15940  11prm  15945  13prm  15946  17prm  15947  19prm  15948  23prm  15949
  Copyright terms: Public domain W3C validator