MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmirred Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmirred 19783
Description: The irreducible elements of are exactly the prime numbers (and their negatives). (Contributed by Mario Carneiro, 5-Dec-2014.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
prmirred.i 𝐼 = (Irred‘ℤring)
Assertion
Ref Expression
prmirred (𝐴𝐼 ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℙ))

Proof of Theorem prmirred
StepHypRef Expression
1 prmirred.i . . 3 𝐼 = (Irred‘ℤring)
2 zringbas 19764 . . 3 ℤ = (Base‘ℤring)
31, 2irredcl 18644 . 2 (𝐴𝐼𝐴 ∈ ℤ)
4 elnn0 11254 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))
5 ax-1 6 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴𝐼𝐴 ∈ ℕ))
6 zringring 19761 . . . . . . . . . . 11 ring ∈ Ring
7 zring0 19768 . . . . . . . . . . . 12 0 = (0g‘ℤring)
81, 7irredn0 18643 . . . . . . . . . . 11 ((ℤring ∈ Ring ∧ 𝐴𝐼) → 𝐴 ≠ 0)
96, 8mpan 705 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐼𝐴 ≠ 0)
109necon2bi 2820 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 0 → ¬ 𝐴𝐼)
1110pm2.21d 118 . . . . . . . 8 (𝐴 = 0 → (𝐴𝐼𝐴 ∈ ℕ))
125, 11jaoi 394 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0) → (𝐴𝐼𝐴 ∈ ℕ))
134, 12sylbi 207 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴𝐼𝐴 ∈ ℕ))
14 prmnn 15331 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℕ)
1514a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℕ))
161prmirredlem 19781 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴𝐼𝐴 ∈ ℙ))
1716a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴𝐼𝐴 ∈ ℙ)))
1813, 15, 17pm5.21ndd 369 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴𝐼𝐴 ∈ ℙ))
19 nn0re 11261 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℝ)
20 nn0ge0 11278 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
2119, 20absidd 14111 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ0 → (abs‘𝐴) = 𝐴)
2221eleq1d 2683 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ0 → ((abs‘𝐴) ∈ ℙ ↔ 𝐴 ∈ ℙ))
2318, 22bitr4d 271 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴𝐼 ↔ (abs‘𝐴) ∈ ℙ))
2423adantl 482 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐼 ↔ (abs‘𝐴) ∈ ℙ))
251prmirredlem 19781 . . . . . 6 (-𝐴 ∈ ℕ → (-𝐴𝐼 ↔ -𝐴 ∈ ℙ))
2625adantl 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐴 ∈ ℕ) → (-𝐴𝐼 ↔ -𝐴 ∈ ℙ))
27 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (invg‘ℤring) = (invg‘ℤring)
281, 27, 2irrednegb 18651 . . . . . . . 8 ((ℤring ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴𝐼 ↔ ((invg‘ℤring)‘𝐴) ∈ 𝐼))
296, 28mpan 705 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴𝐼 ↔ ((invg‘ℤring)‘𝐴) ∈ 𝐼))
30 zsubrg 19739 . . . . . . . . . . 11 ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
31 subrgsubg 18726 . . . . . . . . . . 11 (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld)
33 df-zring 19759 . . . . . . . . . . 11 ring = (ℂflds ℤ)
34 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (invg‘ℂfld) = (invg‘ℂfld)
3533, 34, 27subginv 17541 . . . . . . . . . 10 ((ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) = ((invg‘ℤring)‘𝐴))
3632, 35mpan 705 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℤ → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) = ((invg‘ℤring)‘𝐴))
37 zcn 11342 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
38 cnfldneg 19712 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) = -𝐴)
3937, 38syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℤ → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) = -𝐴)
4036, 39eqtr3d 2657 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℤ → ((invg‘ℤring)‘𝐴) = -𝐴)
4140eleq1d 2683 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → (((invg‘ℤring)‘𝐴) ∈ 𝐼 ↔ -𝐴𝐼))
4229, 41bitrd 268 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴𝐼 ↔ -𝐴𝐼))
4342adantr 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴𝐼 ↔ -𝐴𝐼))
44 zre 11341 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
4544adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐴 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
46 nnnn0 11259 . . . . . . . . . 10 (-𝐴 ∈ ℕ → -𝐴 ∈ ℕ0)
4746nn0ge0d 11314 . . . . . . . . 9 (-𝐴 ∈ ℕ → 0 ≤ -𝐴)
4847adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐴 ∈ ℕ) → 0 ≤ -𝐴)
4945le0neg1d 10559 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐴))
5048, 49mpbird 247 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐴 ∈ ℕ) → 𝐴 ≤ 0)
5145, 50absnidd 14102 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐴 ∈ ℕ) → (abs‘𝐴) = -𝐴)
5251eleq1d 2683 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐴 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴) ∈ ℙ ↔ -𝐴 ∈ ℙ))
5326, 43, 523bitr4d 300 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴𝐼 ↔ (abs‘𝐴) ∈ ℙ))
5453adantrl 751 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → (𝐴𝐼 ↔ (abs‘𝐴) ∈ ℙ))
55 elznn0nn 11351 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)))
5655biimpi 206 . . 3 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)))
5724, 54, 56mpjaodan 826 . 2 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴𝐼 ↔ (abs‘𝐴) ∈ ℙ))
583, 57biadan2 673 1 (𝐴𝐼 ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℙ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790   class class class wbr 4623  cfv 5857  cc 9894  cr 9895  0cc0 9896  cle 10035  -cneg 10227  cn 10980  0cn0 11252  cz 11337  abscabs 13924  cprime 15328  invgcminusg 17363  SubGrpcsubg 17528  Ringcrg 18487  Irredcir 18580  SubRingcsubrg 18716  fldccnfld 19686  ringzring 19758
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974  ax-addf 9975  ax-mulf 9976
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-tpos 7312  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-sup 8308  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-rp 11793  df-fz 12285  df-seq 12758  df-exp 12817  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-dvds 14927  df-prm 15329  df-gz 15577  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-starv 15896  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-unif 15905  df-0g 16042  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-grp 17365  df-minusg 17366  df-subg 17531  df-cmn 18135  df-mgp 18430  df-ur 18442  df-ring 18489  df-cring 18490  df-oppr 18563  df-dvdsr 18581  df-unit 18582  df-irred 18583  df-invr 18612  df-dvr 18623  df-drng 18689  df-subrg 18718  df-cnfld 19687  df-zring 19759
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator