Theorem prmirred 20058

Description: The irreducible elements of ℤ are exactly the prime numbers (and their negatives). (Contributed by Mario Carneiro, 5-Dec-2014.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
prmirred.i	⊢ 𝐼 = (Irred‘ℤring)

Assertion

Ref	Expression
prmirred	⊢ (𝐴 ∈ 𝐼 ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℙ))

Proof of Theorem prmirred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmirred.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Irred‘ℤring)
2		zringbas 20039	. . 3 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
3	1, 2	irredcl 18912	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐼 → 𝐴 ∈ ℤ)
4		elnn0 11496	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))
5		ax-1 6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ 𝐼 → 𝐴 ∈ ℕ))
6		zringring 20036	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤring ∈ Ring
7		zring0 20043	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘ℤring)
8	1, 7	irredn0 18911	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → 𝐴 ≠ 0)
9	6, 8	mpan 670	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐼 → 𝐴 ≠ 0)
10	9	necon2bi 2973	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 0 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐼)
11	10	pm2.21d 119	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ 𝐼 → 𝐴 ∈ ℕ))
12	5, 11	jaoi 844	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0) → (𝐴 ∈ 𝐼 → 𝐴 ∈ ℕ))
13	4, 12	sylbi 207	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ 𝐼 → 𝐴 ∈ ℕ))
14		prmnn 15595	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℕ)
15	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℕ))
16	1	prmirredlem 20056	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ 𝐼 ↔ 𝐴 ∈ ℙ))
17	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ 𝐼 ↔ 𝐴 ∈ ℙ)))
18	13, 15, 17	pm5.21ndd 368	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ 𝐼 ↔ 𝐴 ∈ ℙ))
19		nn0re 11503	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
20		nn0ge0 11520	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
21	19, 20	absidd 14369	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (abs‘𝐴) = 𝐴)
22	21	eleq1d 2835	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ((abs‘𝐴) ∈ ℙ ↔ 𝐴 ∈ ℙ))
23	18, 22	bitr4d 271	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ 𝐼 ↔ (abs‘𝐴) ∈ ℙ))
24	23	adantl 467	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ 𝐼 ↔ (abs‘𝐴) ∈ ℙ))
25	1	prmirredlem 20056	. . . . . 6 ⊢ (-𝐴 ∈ ℕ → (-𝐴 ∈ 𝐼 ↔ -𝐴 ∈ ℙ))
26	25	adantl 467	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐴 ∈ ℕ) → (-𝐴 ∈ 𝐼 ↔ -𝐴 ∈ ℙ))
27		eqid 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (invg‘ℤring) = (invg‘ℤring)
28	1, 27, 2	irrednegb 18919	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ 𝐼 ↔ ((invg‘ℤring)‘𝐴) ∈ 𝐼))
29	6, 28	mpan 670	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ 𝐼 ↔ ((invg‘ℤring)‘𝐴) ∈ 𝐼))
30		zsubrg 20014	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
31		subrgsubg 18996	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld)
33		df-zring 20034	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
34		eqid 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (invg‘ℂfld) = (invg‘ℂfld)
35	33, 34, 27	subginv 17809	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) = ((invg‘ℤring)‘𝐴))
36	32, 35	mpan 670	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) = ((invg‘ℤring)‘𝐴))
37		zcn 11584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
38		cnfldneg 19987	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) = -𝐴)
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) = -𝐴)
40	36, 39	eqtr3d 2807	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((invg‘ℤring)‘𝐴) = -𝐴)
41	40	eleq1d 2835	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (((invg‘ℤring)‘𝐴) ∈ 𝐼 ↔ -𝐴 ∈ 𝐼))
42	29, 41	bitrd 268	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ 𝐼 ↔ -𝐴 ∈ 𝐼))
43	42	adantr 466	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ 𝐼 ↔ -𝐴 ∈ 𝐼))
44		zre 11583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
45	44	adantr 466	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐴 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
46		nnnn0 11501	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-𝐴 ∈ ℕ → -𝐴 ∈ ℕ0)
47	46	nn0ge0d 11556	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝐴 ∈ ℕ → 0 ≤ -𝐴)
48	47	adantl 467	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐴 ∈ ℕ) → 0 ≤ -𝐴)
49	45	le0neg1d 10801	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐴))
50	48, 49	mpbird 247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐴 ∈ ℕ) → 𝐴 ≤ 0)
51	45, 50	absnidd 14360	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐴 ∈ ℕ) → (abs‘𝐴) = -𝐴)
52	51	eleq1d 2835	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐴 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴) ∈ ℙ ↔ -𝐴 ∈ ℙ))
53	26, 43, 52	3bitr4d 300	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ 𝐼 ↔ (abs‘𝐴) ∈ ℙ))
54	53	adantrl 695	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → (𝐴 ∈ 𝐼 ↔ (abs‘𝐴) ∈ ℙ))
55		elznn0nn 11593	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)))
56	55	biimpi 206	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)))
57	24, 54, 56	mpjaodan 939	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ 𝐼 ↔ (abs‘𝐴) ∈ ℙ))
58	3, 57	biadan2 819	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐼 ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℙ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   ∨ wo 834   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943   class class class wbr 4786  ‘cfv 6031  ℂcc 10136  ℝcr 10137  0cc0 10138   ≤ cle 10277  -cneg 10469  ℕcn 11222  ℕ₀cn0 11494  ℤcz 11579  abscabs 14182  ℙcprime 15592  inv_gcminusg 17631  SubGrpcsubg 17796  Ringcrg 18755  Irredcir 18848  SubRingcsubrg 18986  ℂ_fldccnfld 19961  ℤ_ringzring 20033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217  ax-mulf 10218

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-tpos 7504  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-rp 12036  df-fz 12534  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-dvds 15190  df-prm 15593  df-gz 15841  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-subg 17799  df-cmn 18402  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-cring 18758  df-oppr 18831  df-dvdsr 18849  df-unit 18850  df-irred 18851  df-invr 18880  df-dvr 18891  df-drng 18959  df-subrg 18988  df-cnfld 19962  df-zring 20034

This theorem is referenced by: (None)