Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmgapprmolem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmgapprmolem 15971
 Description: Lemma for prmgapprmo 15972: The primorial of a number plus an integer greater than 1 and less then or equal to the number are not coprime. (Contributed by AV, 15-Aug-2020.) (Revised by AV, 29-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
prmgapprmolem ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 1 < (((#p𝑁) + 𝐼) gcd 𝐼))

Proof of Theorem prmgapprmolem
Dummy variables 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmuz2 15614 . . . . 5 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ (ℤ‘2))
21ad2antlr 698 . . . 4 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑁𝑝𝐼𝑝 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼))) → 𝑝 ∈ (ℤ‘2))
3 breq1 4787 . . . . . 6 (𝑞 = 𝑝 → (𝑞 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼) ↔ 𝑝 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼)))
4 breq1 4787 . . . . . 6 (𝑞 = 𝑝 → (𝑞𝐼𝑝𝐼))
53, 4anbi12d 608 . . . . 5 (𝑞 = 𝑝 → ((𝑞 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑞𝐼) ↔ (𝑝 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑝𝐼)))
65adantl 467 . . . 4 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑁𝑝𝐼𝑝 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼))) ∧ 𝑞 = 𝑝) → ((𝑞 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑞𝐼) ↔ (𝑝 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑝𝐼)))
7 pm3.22 449 . . . . . 6 ((𝑝𝐼𝑝 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼)) → (𝑝 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑝𝐼))
873adant1 1123 . . . . 5 ((𝑝𝑁𝑝𝐼𝑝 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼)) → (𝑝 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑝𝐼))
98adantl 467 . . . 4 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑁𝑝𝐼𝑝 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼))) → (𝑝 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑝𝐼))
102, 6, 9rspcedvd 3465 . . 3 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝𝑁𝑝𝐼𝑝 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼))) → ∃𝑞 ∈ (ℤ‘2)(𝑞 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑞𝐼))
11 prmdvdsprmop 15953 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑁𝑝𝐼𝑝 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼)))
1210, 11r19.29a 3225 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ∃𝑞 ∈ (ℤ‘2)(𝑞 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑞𝐼))
13 nnnn0 11500 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
14 prmocl 15944 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (#p𝑁) ∈ ℕ)
1513, 14syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (#p𝑁) ∈ ℕ)
16 elfzuz 12544 . . . . 5 (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ (ℤ‘2))
17 eluz2nn 11927 . . . . 5 (𝐼 ∈ (ℤ‘2) → 𝐼 ∈ ℕ)
1816, 17syl 17 . . . 4 (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ ℕ)
19 nnaddcl 11243 . . . 4 (((#p𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ) → ((#p𝑁) + 𝐼) ∈ ℕ)
2015, 18, 19syl2an 575 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ((#p𝑁) + 𝐼) ∈ ℕ)
2118adantl 467 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∈ ℕ)
22 ncoprmgcdgt1b 15571 . . 3 ((((#p𝑁) + 𝐼) ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ) → (∃𝑞 ∈ (ℤ‘2)(𝑞 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑞𝐼) ↔ 1 < (((#p𝑁) + 𝐼) gcd 𝐼)))
2320, 21, 22syl2anc 565 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → (∃𝑞 ∈ (ℤ‘2)(𝑞 ∥ ((#p𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑞𝐼) ↔ 1 < (((#p𝑁) + 𝐼) gcd 𝐼)))
2412, 23mpbid 222 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 1 < (((#p𝑁) + 𝐼) gcd 𝐼))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   ∧ w3a 1070   = wceq 1630   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3061   class class class wbr 4784  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792  1c1 10138   + caddc 10140   < clt 10275   ≤ cle 10276  ℕcn 11221  2c2 11271  ℕ0cn0 11493  ℤ≥cuz 11887  ...cfz 12532   ∥ cdvds 15188   gcd cgcd 15423  ℙcprime 15591  #pcprmo 15941 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-2o 7713  df-oadd 7716  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-sup 8503  df-inf 8504  df-oi 8570  df-card 8964  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-rp 12035  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-seq 13008  df-exp 13067  df-hash 13321  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-clim 14426  df-prod 14842  df-dvds 15189  df-gcd 15424  df-prm 15592  df-prmo 15942 This theorem is referenced by:  prmgapprmo  15972
 Copyright terms: Public domain W3C validator