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Theorem prmgaplem5 15753
Description: Lemma for prmgap 15757: for each integer greater than 2 there is a smaller prime closest to this integer, i.e. there is a smaller prime and no other prime is between this prime and the integer. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
prmgaplem5 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ))
Distinct variable group:   𝑁,𝑝,𝑧

Proof of Theorem prmgaplem5
Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elrabi 3357 . . . 4 (𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑟 ∈ ℙ)
21ad2antlr 763 . . 3 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧𝑟) → 𝑟 ∈ ℙ)
3 breq1 4654 . . . . 5 (𝑝 = 𝑟 → (𝑝 < 𝑁𝑟 < 𝑁))
4 oveq1 6654 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑟 → (𝑝 + 1) = (𝑟 + 1))
54oveq1d 6662 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑟 → ((𝑝 + 1)..^𝑁) = ((𝑟 + 1)..^𝑁))
65raleqdv 3142 . . . . 5 (𝑝 = 𝑟 → (∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ ↔ ∀𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ))
73, 6anbi12d 747 . . . 4 (𝑝 = 𝑟 → ((𝑝 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ) ↔ (𝑟 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ)))
87adantl 482 . . 3 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧𝑟) ∧ 𝑝 = 𝑟) → ((𝑝 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ) ↔ (𝑟 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ)))
9 breq1 4654 . . . . . . 7 (𝑞 = 𝑟 → (𝑞 < 𝑁𝑟 < 𝑁))
109elrab 3361 . . . . . 6 (𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} ↔ (𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑟 < 𝑁))
1110simprbi 480 . . . . 5 (𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑟 < 𝑁)
1211ad2antlr 763 . . . 4 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧𝑟) → 𝑟 < 𝑁)
13 elfzo2 12469 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁) ↔ (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁))
14 simpl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → 𝑧 ∈ ℙ)
15 simpr3 1068 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → 𝑧 < 𝑁)
16 breq1 4654 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑞 = 𝑧 → (𝑞 < 𝑁𝑧 < 𝑁))
1716elrab 3361 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} ↔ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 < 𝑁))
1814, 15, 17sylanbrc 698 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → 𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁})
1918adantrl 752 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁))) → 𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁})
20 eluz2 11690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ↔ ((𝑟 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑟 + 1) ≤ 𝑧))
21 prmz 15383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑟 ∈ ℙ → 𝑟 ∈ ℤ)
22 zltp1le 11424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑟 < 𝑧 ↔ (𝑟 + 1) ≤ 𝑧))
2321, 22sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑟 < 𝑧 ↔ (𝑟 + 1) ≤ 𝑧))
24 prmnn 15382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑟 ∈ ℙ → 𝑟 ∈ ℕ)
2524nnred 11032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑟 ∈ ℙ → 𝑟 ∈ ℝ)
26 zre 11378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
27 ltnle 10114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑟 < 𝑧 ↔ ¬ 𝑧𝑟))
2827biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑟 < 𝑧 → ¬ 𝑧𝑟))
2925, 26, 28syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑟 < 𝑧 → ¬ 𝑧𝑟))
30 pm2.21 120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑧𝑟 → (𝑧𝑟𝑧 ∉ ℙ))
3129, 30syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑟 < 𝑧 → (𝑧𝑟𝑧 ∉ ℙ)))
3223, 31sylbird 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑟 + 1) ≤ 𝑧 → (𝑧𝑟𝑧 ∉ ℙ)))
3332expcom 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 ∈ ℤ → (𝑟 ∈ ℙ → ((𝑟 + 1) ≤ 𝑧 → (𝑧𝑟𝑧 ∉ ℙ))))
3433com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ∈ ℤ → ((𝑟 + 1) ≤ 𝑧 → (𝑟 ∈ ℙ → (𝑧𝑟𝑧 ∉ ℙ))))
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑟 + 1) ∈ ℤ → (𝑧 ∈ ℤ → ((𝑟 + 1) ≤ 𝑧 → (𝑟 ∈ ℙ → (𝑧𝑟𝑧 ∉ ℙ)))))
36353imp 1255 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑟 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑟 + 1) ≤ 𝑧) → (𝑟 ∈ ℙ → (𝑧𝑟𝑧 ∉ ℙ)))
3720, 36sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) → (𝑟 ∈ ℙ → (𝑧𝑟𝑧 ∉ ℙ)))
38373ad2ant1 1081 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁) → (𝑟 ∈ ℙ → (𝑧𝑟𝑧 ∉ ℙ)))
391, 38syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → ((𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁) → (𝑧𝑟𝑧 ∉ ℙ)))
4039adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) → ((𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁) → (𝑧𝑟𝑧 ∉ ℙ)))
4140imp 445 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → (𝑧𝑟𝑧 ∉ ℙ))
4241adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁))) → (𝑧𝑟𝑧 ∉ ℙ))
4319, 42embantd 59 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁))) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧𝑟) → 𝑧 ∉ ℙ))
4443ex 450 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℙ → (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧𝑟) → 𝑧 ∉ ℙ)))
45 df-nel 2897 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∉ ℙ ↔ ¬ 𝑧 ∈ ℙ)
46 ax-1 6 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∉ ℙ → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧𝑟) → 𝑧 ∉ ℙ))
4746a1d 25 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∉ ℙ → (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧𝑟) → 𝑧 ∉ ℙ)))
4845, 47sylbir 225 . . . . . . . . . 10 𝑧 ∈ ℙ → (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧𝑟) → 𝑧 ∉ ℙ)))
4944, 48pm2.61i 176 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧𝑟) → 𝑧 ∉ ℙ))
5049impancom 456 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧𝑟)) → ((𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁) → 𝑧 ∉ ℙ))
5113, 50syl5bi 232 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧𝑟)) → (𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁) → 𝑧 ∉ ℙ))
5251ex 450 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧𝑟) → (𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁) → 𝑧 ∉ ℙ)))
5352ralimdv2 2960 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) → (∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧𝑟 → ∀𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ))
5453imp 445 . . . 4 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧𝑟) → ∀𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ)
5512, 54jca 554 . . 3 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧𝑟) → (𝑟 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ))
562, 8, 55rspcedvd 3315 . 2 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧𝑟) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ))
57 eqid 2621 . . 3 {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} = {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}
5857prmgaplem3 15751 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ∃𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧𝑟)
5956, 58r19.29a 3076 1 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1037   = wceq 1482  wcel 1989  wnel 2896  wral 2911  wrex 2912  {crab 2915   class class class wbr 4651  cfv 5886  (class class class)co 6647  cr 9932  1c1 9934   + caddc 9936   < clt 10071  cle 10072  3c3 11068  cz 11374  cuz 11684  ..^cfzo 12461  cprime 15379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010  ax-pre-sup 10011
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-2o 7558  df-oadd 7561  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-sup 8345  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-div 10682  df-nn 11018  df-2 11076  df-3 11077  df-n0 11290  df-z 11375  df-uz 11685  df-rp 11830  df-fz 12324  df-fzo 12462  df-seq 12797  df-exp 12856  df-cj 13833  df-re 13834  df-im 13835  df-sqrt 13969  df-abs 13970  df-dvds 14978  df-prm 15380
This theorem is referenced by:  prmgaplem7  15755
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