MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmgaplem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmgaplem4 15960
Description: Lemma for prmgap 15965. (Contributed by AV, 10-Aug-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
prmgaplem4.a 𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)}
Assertion
Ref Expression
prmgaplem4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑁,𝑝   𝑃,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑝)   𝑃(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem prmgaplem4
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3828 . . . . 5 {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ⊆ ℙ
21a1i 11 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ⊆ ℙ)
3 prmssnn 15592 . . . . 5 ℙ ⊆ ℕ
4 nnssre 11216 . . . . 5 ℕ ⊆ ℝ
53, 4sstri 3753 . . . 4 ℙ ⊆ ℝ
62, 5syl6ss 3756 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ⊆ ℝ)
7 fzfid 12966 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝑁...𝑃) ∈ Fin)
8 breq2 4808 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑖 → (𝑁 < 𝑝𝑁 < 𝑖))
9 breq1 4807 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑖 → (𝑝𝑃𝑖𝑃))
108, 9anbi12d 749 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑖 → ((𝑁 < 𝑝𝑝𝑃) ↔ (𝑁 < 𝑖𝑖𝑃)))
1110elrab 3504 . . . . . 6 (𝑖 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ↔ (𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖𝑖𝑃)))
12 nnz 11591 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
13 prmz 15591 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
1412, 13anim12i 591 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ))
15143adant3 1127 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ))
16 prmz 15591 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ ℙ → 𝑖 ∈ ℤ)
1716adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖𝑖𝑃)) → 𝑖 ∈ ℤ)
1815, 17anim12i 591 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) ∧ (𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖𝑖𝑃))) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ ℤ))
19 df-3an 1074 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ ℤ))
2018, 19sylibr 224 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) ∧ (𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖𝑖𝑃))) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ))
21 nnre 11219 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2221adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℝ)
235sseli 3740 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ ℙ → 𝑖 ∈ ℝ)
24 ltle 10318 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → (𝑁 < 𝑖𝑁𝑖))
2522, 23, 24syl2an 495 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑖 ∈ ℙ) → (𝑁 < 𝑖𝑁𝑖))
2625anim1d 589 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑖 ∈ ℙ) → ((𝑁 < 𝑖𝑖𝑃) → (𝑁𝑖𝑖𝑃)))
2726ex 449 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑖 ∈ ℙ → ((𝑁 < 𝑖𝑖𝑃) → (𝑁𝑖𝑖𝑃))))
28273adant3 1127 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝑖 ∈ ℙ → ((𝑁 < 𝑖𝑖𝑃) → (𝑁𝑖𝑖𝑃))))
2928imp32 448 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) ∧ (𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖𝑖𝑃))) → (𝑁𝑖𝑖𝑃))
30 elfz2 12526 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (𝑁...𝑃) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (𝑁𝑖𝑖𝑃)))
3120, 29, 30sylanbrc 701 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) ∧ (𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖𝑖𝑃))) → 𝑖 ∈ (𝑁...𝑃))
3231ex 449 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → ((𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖𝑖𝑃)) → 𝑖 ∈ (𝑁...𝑃)))
3311, 32syl5bi 232 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝑖 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} → 𝑖 ∈ (𝑁...𝑃)))
3433ssrdv 3750 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ⊆ (𝑁...𝑃))
35 ssfi 8345 . . . 4 (((𝑁...𝑃) ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ⊆ (𝑁...𝑃)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ∈ Fin)
367, 34, 35syl2anc 696 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ∈ Fin)
37 simp2 1132 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → 𝑃 ∈ ℙ)
38 prmnn 15590 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
3938nnred 11227 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
4039leidd 10786 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃𝑃)
4140anim1i 593 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝑃𝑃𝑁 < 𝑃))
4241ancomd 466 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝑁 < 𝑃𝑃𝑃))
43423adant1 1125 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝑁 < 𝑃𝑃𝑃))
44 breq2 4808 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑃 → (𝑁 < 𝑝𝑁 < 𝑃))
45 breq1 4807 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑃 → (𝑝𝑃𝑃𝑃))
4644, 45anbi12d 749 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑃 → ((𝑁 < 𝑝𝑝𝑃) ↔ (𝑁 < 𝑃𝑃𝑃)))
4746elrab 3504 . . . . 5 (𝑃 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑃𝑃𝑃)))
4837, 43, 47sylanbrc 701 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → 𝑃 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)})
49 ne0i 4064 . . . 4 (𝑃 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} → {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ≠ ∅)
5048, 49syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ≠ ∅)
51 prmgaplem4.a . . . 4 𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)}
52 sseq1 3767 . . . . 5 (𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} → (𝐴 ⊆ ℝ ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ⊆ ℝ))
53 eleq1 2827 . . . . 5 (𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} → (𝐴 ∈ Fin ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ∈ Fin))
54 neeq1 2994 . . . . 5 (𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} → (𝐴 ≠ ∅ ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ≠ ∅))
5552, 53, 543anbi123d 1548 . . . 4 (𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} → ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ⊆ ℝ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ≠ ∅)))
5651, 55ax-mp 5 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ⊆ ℝ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ≠ ∅))
576, 36, 50, 56syl3anbrc 1429 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅))
58 fiminre 11164 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
5957, 58syl 17 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  wrex 3051  {crab 3054  wss 3715  c0 4058   class class class wbr 4804  (class class class)co 6813  Fincfn 8121  cr 10127   < clt 10266  cle 10267  cn 11212  cz 11569  ...cfz 12519  cprime 15587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-prm 15588
This theorem is referenced by:  prmgaplem6  15962
  Copyright terms: Public domain W3C validator