Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prmdvdsfmtnof Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmdvdsfmtnof 42016
Description: The mapping of a Fermat number to its smallest prime factor is a function. (Contributed by AV, 4-Aug-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
prmdvdsfmtnof.1 𝐹 = (𝑓 ∈ ran FermatNo ↦ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓}, ℝ, < ))
Assertion
Ref Expression
prmdvdsfmtnof 𝐹:ran FermatNo⟶ℙ
Distinct variable group:   𝑓,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑓,𝑝)

Proof of Theorem prmdvdsfmtnof
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmdvdsfmtnof.1 . 2 𝐹 = (𝑓 ∈ ran FermatNo ↦ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓}, ℝ, < ))
2 fmtnorn 41964 . . 3 (𝑓 ∈ ran FermatNo ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (FermatNo‘𝑛) = 𝑓)
3 ltso 10319 . . . . . 6 < Or ℝ
43a1i 11 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → < Or ℝ)
5 fmtnoge3 41960 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ‘3))
65adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → (FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ‘3))
7 eleq1 2837 . . . . . . . . 9 ((FermatNo‘𝑛) = 𝑓 → ((FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ‘3) ↔ 𝑓 ∈ (ℤ‘3)))
87adantl 467 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → ((FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ‘3) ↔ 𝑓 ∈ (ℤ‘3)))
96, 8mpbid 222 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → 𝑓 ∈ (ℤ‘3))
10 uzuzle23 11930 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (ℤ‘3) → 𝑓 ∈ (ℤ‘2))
119, 10syl 17 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → 𝑓 ∈ (ℤ‘2))
12 eluz2nn 11927 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (ℤ‘2) → 𝑓 ∈ ℕ)
13 prmdvdsfi 25053 . . . . . 6 (𝑓 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓} ∈ Fin)
1411, 12, 133syl 18 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓} ∈ Fin)
15 uzuzle23 11930 . . . . . . . . . 10 ((FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ‘3) → (FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ‘2))
165, 15syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ‘2))
1716adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → (FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ‘2))
18 eleq1 2837 . . . . . . . . 9 ((FermatNo‘𝑛) = 𝑓 → ((FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ‘2) ↔ 𝑓 ∈ (ℤ‘2)))
1918adantl 467 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → ((FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ‘2) ↔ 𝑓 ∈ (ℤ‘2)))
2017, 19mpbid 222 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → 𝑓 ∈ (ℤ‘2))
21 exprmfct 15622 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑓)
2220, 21syl 17 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑓)
23 rabn0 4102 . . . . . 6 ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓} ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑓)
2422, 23sylibr 224 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓} ≠ ∅)
25 ssrab2 3834 . . . . . . 7 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓} ⊆ ℙ
26 prmssnn 15596 . . . . . . . 8 ℙ ⊆ ℕ
27 nnssre 11225 . . . . . . . 8 ℕ ⊆ ℝ
2826, 27sstri 3759 . . . . . . 7 ℙ ⊆ ℝ
2925, 28sstri 3759 . . . . . 6 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓} ⊆ ℝ
3029a1i 11 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓} ⊆ ℝ)
31 fiinfcl 8562 . . . . . 6 (( < Or ℝ ∧ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓} ≠ ∅ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓} ⊆ ℝ)) → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓})
3225, 31sseldi 3748 . . . . 5 (( < Or ℝ ∧ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓} ≠ ∅ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓} ⊆ ℝ)) → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓}, ℝ, < ) ∈ ℙ)
334, 14, 24, 30, 32syl13anc 1477 . . . 4 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓}, ℝ, < ) ∈ ℙ)
3433rexlimiva 3175 . . 3 (∃𝑛 ∈ ℕ0 (FermatNo‘𝑛) = 𝑓 → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓}, ℝ, < ) ∈ ℙ)
352, 34sylbi 207 . 2 (𝑓 ∈ ran FermatNo → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓}, ℝ, < ) ∈ ℙ)
361, 35fmpti 6525 1 𝐹:ran FermatNo⟶ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 382  w3a 1070   = wceq 1630  wcel 2144  wne 2942  wrex 3061  {crab 3064  wss 3721  c0 4061   class class class wbr 4784  cmpt 4861   Or wor 5169  ran crn 5250  wf 6027  cfv 6031  Fincfn 8108  infcinf 8502  cr 10136   < clt 10275  cn 11221  2c2 11271  3c3 11272  0cn0 11493  cuz 11887  cdvds 15188  cprime 15591  FermatNocfmtno 41957
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-2o 7713  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-sup 8503  df-inf 8504  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-rp 12035  df-fz 12533  df-seq 13008  df-exp 13067  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-dvds 15189  df-prm 15592  df-fmtno 41958
This theorem is referenced by:  prmdvdsfmtnof1  42017
  Copyright terms: Public domain W3C validator