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Theorem prlem936 9907
Description: Lemma 9-3.6 of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 26-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
prlem936 ((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝐵) → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝐵) ∈ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem prlem936
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑏 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelnq 9786 . . . . 5 <Q ⊆ (Q × Q)
21brel 5202 . . . 4 (1Q <Q 𝐵 → (1QQ𝐵Q))
32simprd 478 . . 3 (1Q <Q 𝐵𝐵Q)
43adantl 481 . 2 ((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝐵) → 𝐵Q)
5 breq2 4689 . . . . 5 (𝑏 = 𝐵 → (1Q <Q 𝑏 ↔ 1Q <Q 𝐵))
65anbi2d 740 . . . 4 (𝑏 = 𝐵 → ((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ↔ (𝐴P ∧ 1Q <Q 𝐵)))
7 oveq2 6698 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐵 → (𝑥 ·Q 𝑏) = (𝑥 ·Q 𝐵))
87eleq1d 2715 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐵 → ((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ·Q 𝐵) ∈ 𝐴))
98notbid 307 . . . . 5 (𝑏 = 𝐵 → (¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ ¬ (𝑥 ·Q 𝐵) ∈ 𝐴))
109rexbidv 3081 . . . 4 (𝑏 = 𝐵 → (∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝐵) ∈ 𝐴))
116, 10imbi12d 333 . . 3 (𝑏 = 𝐵 → (((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴) ↔ ((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝐵) → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝐵) ∈ 𝐴)))
12 prn0 9849 . . . . . 6 (𝐴P𝐴 ≠ ∅)
13 n0 3964 . . . . . 6 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦𝐴)
1412, 13sylib 208 . . . . 5 (𝐴P → ∃𝑦 𝑦𝐴)
1514adantr 480 . . . 4 ((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) → ∃𝑦 𝑦𝐴)
16 elprnq 9851 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴P𝑦𝐴) → 𝑦Q)
1716ad2ant2r 798 . . . . . . . . . 10 (((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → 𝑦Q)
18 mulidnq 9823 . . . . . . . . . 10 (𝑦Q → (𝑦 ·Q 1Q) = 𝑦)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → (𝑦 ·Q 1Q) = 𝑦)
20 simplr 807 . . . . . . . . . 10 (((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → 1Q <Q 𝑏)
21 ltmnq 9832 . . . . . . . . . . 11 (𝑦Q → (1Q <Q 𝑏 ↔ (𝑦 ·Q 1Q) <Q (𝑦 ·Q 𝑏)))
2221biimpa 500 . . . . . . . . . 10 ((𝑦Q ∧ 1Q <Q 𝑏) → (𝑦 ·Q 1Q) <Q (𝑦 ·Q 𝑏))
2317, 20, 22syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → (𝑦 ·Q 1Q) <Q (𝑦 ·Q 𝑏))
2419, 23eqbrtrrd 4709 . . . . . . . 8 (((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → 𝑦 <Q (𝑦 ·Q 𝑏))
251brel 5202 . . . . . . . . . . . 12 (1Q <Q 𝑏 → (1QQ𝑏Q))
2625simprd 478 . . . . . . . . . . 11 (1Q <Q 𝑏𝑏Q)
2726ad2antlr 763 . . . . . . . . . 10 (((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → 𝑏Q)
28 mulclnq 9807 . . . . . . . . . 10 ((𝑦Q𝑏Q) → (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ Q)
2917, 27, 28syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ Q)
30 ltexnq 9835 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ·Q 𝑏) ∈ Q → (𝑦 <Q (𝑦 ·Q 𝑏) ↔ ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)))
3129, 30syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → (𝑦 <Q (𝑦 ·Q 𝑏) ↔ ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)))
3224, 31mpbid 222 . . . . . . 7 (((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏))
33 simplll 813 . . . . . . . . 9 ((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) → 𝐴P)
34 vex 3234 . . . . . . . . . 10 𝑧 ∈ V
3534prlem934 9893 . . . . . . . . 9 (𝐴P → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴)
3633, 35syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴)
3733adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐴P)
38 simprr 811 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)
39 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏) → ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴))
4039biimparc 503 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) → (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐴)
4138, 40sylan 487 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) → (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐴)
4241adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐴)
43 elprnq 9851 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴P𝑥𝐴) → 𝑥Q)
4433, 43sylan 487 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥Q)
45 elprnq 9851 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴P ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐴) → (𝑦 +Q 𝑧) ∈ Q)
46 addnqf 9808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 +Q :(Q × Q)⟶Q
4746fdmi 6090 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 dom +Q = (Q × Q)
48 0nnq 9784 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ¬ ∅ ∈ Q
4947, 48ndmovrcl 6862 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ Q → (𝑦Q𝑧Q))
5049simprd 478 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ Q𝑧Q)
5145, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴P ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐴) → 𝑧Q)
5233, 41, 51syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) → 𝑧Q)
5352adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑧Q)
54 addclnq 9805 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥Q𝑧Q) → (𝑥 +Q 𝑧) ∈ Q)
5544, 53, 54syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 +Q 𝑧) ∈ Q)
56 prub 9854 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴P ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ Q) → (¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 → (𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q 𝑧)))
5737, 42, 55, 56syl21anc 1365 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥𝐴) → (¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 → (𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q 𝑧)))
5827ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑏Q)
59 mulclnq 9807 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥Q𝑏Q) → (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q)
6044, 58, 59syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q)
6117ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦Q)
62 simplr 807 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏))
63 recclnq 9826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦Q → (*Q𝑦) ∈ Q)
64 mulclnq 9807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧Q ∧ (*Q𝑦) ∈ Q) → (𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ∈ Q)
6563, 64sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑧Q𝑦Q) → (𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ∈ Q)
6665ancoms 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦Q𝑧Q) → (𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ∈ Q)
67 ltmnq 9832 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ∈ Q → (𝑦 <Q 𝑥 ↔ ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑦) <Q ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥)))
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦Q𝑧Q) → (𝑦 <Q 𝑥 ↔ ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑦) <Q ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥)))
69 mulassnq 9819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑦) = (𝑧 ·Q ((*Q𝑦) ·Q 𝑦))
70 mulcomnq 9813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((*Q𝑦) ·Q 𝑦) = (𝑦 ·Q (*Q𝑦))
7170oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ·Q ((*Q𝑦) ·Q 𝑦)) = (𝑧 ·Q (𝑦 ·Q (*Q𝑦)))
7269, 71eqtri 2673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑦) = (𝑧 ·Q (𝑦 ·Q (*Q𝑦)))
73 recidnq 9825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦Q → (𝑦 ·Q (*Q𝑦)) = 1Q)
7473oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦Q → (𝑧 ·Q (𝑦 ·Q (*Q𝑦))) = (𝑧 ·Q 1Q))
75 mulidnq 9823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧Q → (𝑧 ·Q 1Q) = 𝑧)
7674, 75sylan9eq 2705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦Q𝑧Q) → (𝑧 ·Q (𝑦 ·Q (*Q𝑦))) = 𝑧)
7772, 76syl5eq 2697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦Q𝑧Q) → ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑦) = 𝑧)
7877breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦Q𝑧Q) → (((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑦) <Q ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥) ↔ 𝑧 <Q ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥)))
7968, 78bitrd 268 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦Q𝑧Q) → (𝑦 <Q 𝑥𝑧 <Q ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥)))
8079adantll 750 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) ∧ 𝑧Q) → (𝑦 <Q 𝑥𝑧 <Q ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥)))
81 mulnqf 9809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ·Q :(Q × Q)⟶Q
8281fdmi 6090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 dom ·Q = (Q × Q)
8382, 48ndmovrcl 6862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q → (𝑥Q𝑏Q))
8483simpld 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑥Q)
85 ltanq 9831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥Q → (𝑧 <Q ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥))))
8684, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q → (𝑧 <Q ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥))))
8786adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) → (𝑧 <Q ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥))))
88 vex 3234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑦 ∈ V
89 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ·Q (*Q𝑦)) ∈ V
90 mulcomnq 9813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑢 ·Q 𝑤) = (𝑤 ·Q 𝑢)
91 distrnq 9821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑢 ·Q (𝑤 +Q 𝑣)) = ((𝑢 ·Q 𝑤) +Q (𝑢 ·Q 𝑣))
9288, 34, 89, 90, 91caovdir 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))) = ((𝑦 ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))) +Q (𝑧 ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))))
93 vex 3234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑥 ∈ V
94 fvex 6239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (*Q𝑦) ∈ V
95 mulassnq 9819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑢 ·Q 𝑤) ·Q 𝑣) = (𝑢 ·Q (𝑤 ·Q 𝑣))
9688, 93, 94, 90, 95caov12 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))) = (𝑥 ·Q (𝑦 ·Q (*Q𝑦)))
9773oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦Q → (𝑥 ·Q (𝑦 ·Q (*Q𝑦))) = (𝑥 ·Q 1Q))
98 mulidnq 9823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥Q → (𝑥 ·Q 1Q) = 𝑥)
9984, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q → (𝑥 ·Q 1Q) = 𝑥)
10097, 99sylan9eqr 2707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) → (𝑥 ·Q (𝑦 ·Q (*Q𝑦))) = 𝑥)
10196, 100syl5eq 2697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) → (𝑦 ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))) = 𝑥)
102 mulcomnq 9813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ·Q (*Q𝑦)) = ((*Q𝑦) ·Q 𝑥)
103102oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))) = (𝑧 ·Q ((*Q𝑦) ·Q 𝑥))
104 mulassnq 9819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥) = (𝑧 ·Q ((*Q𝑦) ·Q 𝑥))
105103, 104eqtr4i 2676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))) = ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥)
106105a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) → (𝑧 ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))) = ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥))
107101, 106oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) → ((𝑦 ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))) +Q (𝑧 ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦)))) = (𝑥 +Q ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥)))
10892, 107syl5eq 2697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) → ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))) = (𝑥 +Q ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥)))
109108breq2d 4697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) → ((𝑥 +Q 𝑧) <Q ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥))))
11087, 109bitr4d 271 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) → (𝑧 <Q ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦)))))
111110adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) ∧ 𝑧Q) → (𝑧 <Q ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦)))))
11280, 111bitrd 268 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) ∧ 𝑧Q) → (𝑦 <Q 𝑥 ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦)))))
113112adantrr 753 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) ∧ (𝑧Q ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏))) → (𝑦 <Q 𝑥 ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦)))))
114 ltanq 9831 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧Q → (𝑦 <Q 𝑥 ↔ (𝑧 +Q 𝑦) <Q (𝑧 +Q 𝑥)))
115 addcomnq 9811 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 +Q 𝑦) = (𝑦 +Q 𝑧)
116 addcomnq 9811 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 +Q 𝑥) = (𝑥 +Q 𝑧)
117115, 116breq12i 4694 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 +Q 𝑦) <Q (𝑧 +Q 𝑥) ↔ (𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q 𝑧))
118114, 117syl6bb 276 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧Q → (𝑦 <Q 𝑥 ↔ (𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q 𝑧)))
119118ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) ∧ (𝑧Q ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏))) → (𝑦 <Q 𝑥 ↔ (𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q 𝑧)))
120 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏) → ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))) = ((𝑦 ·Q 𝑏) ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))))
121 vex 3234 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑏 ∈ V
12288, 121, 93, 90, 95, 94caov411 6908 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ·Q 𝑏) ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))) = ((𝑥 ·Q 𝑏) ·Q (𝑦 ·Q (*Q𝑦)))
12373oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦Q → ((𝑥 ·Q 𝑏) ·Q (𝑦 ·Q (*Q𝑦))) = ((𝑥 ·Q 𝑏) ·Q 1Q))
124 mulidnq 9823 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q → ((𝑥 ·Q 𝑏) ·Q 1Q) = (𝑥 ·Q 𝑏))
125123, 124sylan9eqr 2707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) → ((𝑥 ·Q 𝑏) ·Q (𝑦 ·Q (*Q𝑦))) = (𝑥 ·Q 𝑏))
126122, 125syl5eq 2697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) → ((𝑦 ·Q 𝑏) ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))) = (𝑥 ·Q 𝑏))
127120, 126sylan9eqr 2707 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) → ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))) = (𝑥 ·Q 𝑏))
128127breq2d 4697 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) → ((𝑥 +Q 𝑧) <Q ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏)))
129128adantrl 752 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) ∧ (𝑧Q ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏))) → ((𝑥 +Q 𝑧) <Q ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏)))
130113, 119, 1293bitr3d 298 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) ∧ (𝑧Q ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏))) → ((𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q 𝑧) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏)))
13160, 61, 53, 62, 130syl22anc 1367 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q 𝑧) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏)))
13257, 131sylibd 229 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥𝐴) → (¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 → (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏)))
133 prcdnq 9853 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴P ∧ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴) → ((𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏) → (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴))
134133impancom 455 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴P ∧ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏)) → ((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 → (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴))
135134con3d 148 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴P ∧ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏)) → (¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 → ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴))
136135ex 449 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴P → ((𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏) → (¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 → ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)))
137136com23 86 . . . . . . . . . . 11 (𝐴P → (¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 → ((𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏) → ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)))
13837, 137syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥𝐴) → (¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 → ((𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏) → ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)))
139132, 138mpdd 43 . . . . . . . . 9 (((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥𝐴) → (¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 → ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴))
140139reximdva 3046 . . . . . . . 8 ((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) → (∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴))
14136, 140mpd 15 . . . . . . 7 ((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)
14232, 141exlimddv 1903 . . . . . 6 (((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)
143142expr 642 . . . . 5 (((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴))
144 oveq1 6697 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ·Q 𝑏) = (𝑦 ·Q 𝑏))
145144eleq1d 2715 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴))
146145notbid 307 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ ¬ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴))
147146rspcev 3340 . . . . . . 7 ((𝑦𝐴 ∧ ¬ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴) → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)
148147ex 449 . . . . . 6 (𝑦𝐴 → (¬ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴))
149148adantl 481 . . . . 5 (((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ 𝑦𝐴) → (¬ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴))
150143, 149pm2.61d 170 . . . 4 (((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ 𝑦𝐴) → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)
15115, 150exlimddv 1903 . . 3 ((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)
15211, 151vtoclg 3297 . 2 (𝐵Q → ((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝐵) → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝐵) ∈ 𝐴))
1534, 152mpcom 38 1 ((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝐵) → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝐵) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  wne 2823  wrex 2942  c0 3948   class class class wbr 4685   × cxp 5141  cfv 5926  (class class class)co 6690  Qcnq 9712  1Qc1q 9713   +Q cplq 9715   ·Q cmq 9716  *Qcrq 9717   <Q cltq 9718  Pcnp 9719
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-ni 9732  df-pli 9733  df-mi 9734  df-lti 9735  df-plpq 9768  df-mpq 9769  df-ltpq 9770  df-enq 9771  df-nq 9772  df-erq 9773  df-plq 9774  df-mq 9775  df-1nq 9776  df-rq 9777  df-ltnq 9778  df-np 9841
This theorem is referenced by:  reclem3pr  9909
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