Theorem prfi 8276

Description: An unordered pair is finite. (Contributed by NM, 22-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
prfi	⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin

Proof of Theorem prfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4213	. 2 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
2		snfi 8079	. . 3 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
3		snfi 8079	. . 3 ⊢ {𝐵} ∈ Fin
4		unfi 8268	. . 3 ⊢ (({𝐴} ∈ Fin ∧ {𝐵} ∈ Fin) → ({𝐴} ∪ {𝐵}) ∈ Fin)
5	2, 3, 4	mp2an 708	. 2 ⊢ ({𝐴} ∪ {𝐵}) ∈ Fin
6	1, 5	eqeltri 2726	1 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin

Syntax hints:   ∈ wcel 2030   ∪ cun 3605  {csn 4210  {cpr 4212  Fincfn 7997

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-fin 8001

This theorem is referenced by:  tpfi  8277  fiint  8278  inelfi  8365  tskpr  9630  hashpw  13261  hashfun  13262  pr2pwpr  13299  hashtpg  13305  sumpr  14521  lcmfpr  15387  prmreclem2  15668  acsfn2  16371  isdrs2  16986  symg2hash  17863  psgnprfval  17987  znidomb  19958  m2detleib  20485  ovolioo  23382  i1f1  23502  itgioo  23627  limcun  23704  aannenlem2  24129  wilthlem2  24840  perfectlem2  25000  upgrex  26032  ex-hash  27440  prodpr  29700  inelpisys  30345  coinfliplem  30668  coinflippv  30673  subfacp1lem1  31287  poimirlem9  33548  kelac2lem  37951  sumpair  39508  refsum2cnlem1  39510  climxlim2lem  40389  ibliooicc  40505  fourierdlem50  40691  fourierdlem51  40692  fourierdlem54  40695  fourierdlem70  40711  fourierdlem71  40712  fourierdlem76  40717  fourierdlem102  40743  fourierdlem103  40744  fourierdlem104  40745  fourierdlem114  40755  saluncl  40855  sge0pr  40929  meadjun  40997  omeunle  41051  perfectALTVlem2  41956  zlmodzxzel  42458  gsumpr  42464  ldepspr  42587  zlmodzxzldeplem2  42615