MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  preq2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem preq2 4246
Description: Equality theorem for unordered pairs. (Contributed by NM, 15-Jul-1993.)
Assertion
Ref Expression
preq2 (𝐴 = 𝐵 → {𝐶, 𝐴} = {𝐶, 𝐵})

Proof of Theorem preq2
StepHypRef Expression
1 preq1 4245 . 2 (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐶} = {𝐵, 𝐶})
2 prcom 4244 . 2 {𝐶, 𝐴} = {𝐴, 𝐶}
3 prcom 4244 . 2 {𝐶, 𝐵} = {𝐵, 𝐶}
41, 2, 33eqtr4g 2680 1 (𝐴 = 𝐵 → {𝐶, 𝐴} = {𝐶, 𝐵})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  {cpr 4157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-v 3192  df-un 3565  df-sn 4156  df-pr 4158
This theorem is referenced by:  preq12  4247  preq2i  4249  preq2d  4252  tpeq2  4255  ifpprsnss  4276  preq12bg  4361  prel12g  4362  elpreqprlem  4370  elpr2elpr  4373  opeq2  4378  uniprg  4423  intprg  4483  prex  4880  opth  4915  opeqsn  4937  propeqop  4940  relop  5242  funopg  5890  f1oprswap  6147  fprg  6387  fnprb  6437  fnpr2g  6439  pr2ne  8788  prdom2  8789  dfac2  8913  brdom7disj  9313  brdom6disj  9314  wunpr  9491  wunex2  9520  wuncval2  9529  grupr  9579  prunioo  12259  hashprg  13138  hashprgOLD  13139  wwlktovf  13649  wwlktovfo  13651  wrd2f1tovbij  13653  isprm2lem  15337  joindef  16944  meetdef  16958  lspfixed  19068  hmphindis  21540  upgrex  25917  usgredg4  26036  usgredgreu  26037  uspgredg2vtxeu  26039  uspgredg2v  26043  nbgrel  26159  nbupgrel  26162  nbumgrvtx  26163  nbusgreledg  26170  nbgrnself  26178  nb3grprlem1  26203  nb3grprlem2  26204  uvtxael1  26217  uvtxusgrel  26225  cusgredg  26241  usgredgsscusgredg  26276  1egrvtxdg0  26327  ifpsnprss  26422  upgriswlk  26440  uspgrn2crct  26603  wwlksnextfun  26696  wwlksnextsur  26698  wwlksnextbij  26700  clwlkclwwlklem2  26802  upgr1wlkdlem1  26905  upgr3v3e3cycl  26940  upgr4cycl4dv4e  26945  eupth2lem3lem4  26991  frcond1  27030  frgr1v  27033  nfrgr2v  27034  frgr3v  27037  1vwmgr  27038  3vfriswmgrlem  27039  3vfriswmgr  27040  1to2vfriswmgr  27041  3cyclfrgrrn1  27047  4cycl2vnunb  27052  n4cyclfrgr  27053  vdgn1frgrv2  27058  frgrncvvdeqlem4  27064  frgrncvvdeqlemB  27069  frgrwopreglem5  27077  frgrwopreg2  27080  frgr2wwlkeqm  27088  fusgr2wsp2nb  27090  extwwlkfablem1  27100  numclwwlkovf2ex  27109  esumpr2  29952  altopthsn  31763  dihprrn  36234  dvh3dim  36254  mapdindp2  36529  upgrwlkupwlk  41039  elsprel  41043  prelspr  41054  sprsymrelfolem2  41061
  Copyright terms: Public domain W3C validator