Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  preimaleiinlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem preimaleiinlt 41445
Description: A preimage of a left-open, right-closed, unbounded below interval, expressed as an indexed intersection of preimages of open, unbound below intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
preimaleiinlt.x 𝑥𝜑
preimaleiinlt.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
preimaleiinlt.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
preimaleiinlt (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵𝐶} = 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝐶,𝑛   𝜑,𝑛   𝑥,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem preimaleiinlt
StepHypRef Expression
1 preimaleiinlt.x . . . 4 𝑥𝜑
2 simpllr 752 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥𝐴)
3 preimaleiinlt.b . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
43ad2antrr 697 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
5 preimaleiinlt.c . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
65ad3antrrr 701 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℝ)
76rexrd 10290 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℝ*)
85adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℝ)
9 nnrecre 11258 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
109adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
118, 10readdcld 10270 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
1211ad4ant14 1207 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
1312rexrd 10290 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
14 simplr 744 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵𝐶)
15 nnrp 12044 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
16 rpreccl 12059 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
1817adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
198, 18ltaddrpd 12107 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 < (𝐶 + (1 / 𝑛)))
2019ad4ant14 1207 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 < (𝐶 + (1 / 𝑛)))
214, 7, 13, 14, 20xrlelttrd 12195 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛)))
222, 21jca 495 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))))
23 rabid 3263 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ↔ (𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))))
2422, 23sylibr 224 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
2524ralrimiva 3114 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝐶) → ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
26 vex 3352 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
27 eliin 4657 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ V → (𝑥 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))}))
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑥 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
2925, 28sylibr 224 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝐶) → 𝑥 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
3029ex 397 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵𝐶𝑥 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))}))
3130ex 397 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 → (𝐵𝐶𝑥 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})))
321, 31ralrimi 3105 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐵𝐶𝑥 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))}))
33 nfcv 2912 . . . . 5 𝑥
34 nfrab1 3270 . . . . 5 𝑥{𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))}
3533, 34nfiin 4681 . . . 4 𝑥 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))}
3635rabssf 39817 . . 3 ({𝑥𝐴𝐵𝐶} ⊆ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐵𝐶𝑥 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))}))
3732, 36sylibr 224 . 2 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵𝐶} ⊆ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
38 nnn0 40105 . . . . 5 ℕ ≠ ∅
3938a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℕ ≠ ∅)
40 iinrab 4714 . . . 4 (ℕ ≠ ∅ → 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} = {𝑥𝐴 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
4139, 40syl 17 . . 3 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} = {𝑥𝐴 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
423ad2antrr 697 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
4311ad4ant13 1205 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
4443rexrd 10290 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
45 simpr 471 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛)))
4642, 44, 45xrltled 39998 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → 𝐵 ≤ (𝐶 + (1 / 𝑛)))
4746ex 397 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛)) → 𝐵 ≤ (𝐶 + (1 / 𝑛))))
4847ralimdva 3110 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛)) → ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 ≤ (𝐶 + (1 / 𝑛))))
4948imp 393 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 ≤ (𝐶 + (1 / 𝑛)))
50 nfv 1994 . . . . . . . . . 10 𝑛(𝜑𝑥𝐴)
51 nfra1 3089 . . . . . . . . . 10 𝑛𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))
5250, 51nfan 1979 . . . . . . . . 9 𝑛((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛)))
533adantr 466 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
545ad2antrr 697 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → 𝐶 ∈ ℝ)
5552, 53, 54xrralrecnnle 40112 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → (𝐵𝐶 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 ≤ (𝐶 + (1 / 𝑛))))
5649, 55mpbird 247 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → 𝐵𝐶)
5756ex 397 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛)) → 𝐵𝐶))
5857ex 397 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 → (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛)) → 𝐵𝐶)))
591, 58ralrimi 3105 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛)) → 𝐵𝐶))
60 ss2rab 3825 . . . 4 ({𝑥𝐴 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ⊆ {𝑥𝐴𝐵𝐶} ↔ ∀𝑥𝐴 (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛)) → 𝐵𝐶))
6159, 60sylibr 224 . . 3 (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ⊆ {𝑥𝐴𝐵𝐶})
6241, 61eqsstrd 3786 . 2 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ⊆ {𝑥𝐴𝐵𝐶})
6337, 62eqssd 3767 1 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵𝐶} = 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1630  wnf 1855  wcel 2144  wne 2942  wral 3060  {crab 3064  Vcvv 3349  wss 3721  c0 4061   ciin 4653   class class class wbr 4784  (class class class)co 6792  cr 10136  1c1 10138   + caddc 10140  *cxr 10274   < clt 10275  cle 10276   / cdiv 10885  cn 11221  +crp 12034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-iin 4655  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-sup 8503  df-inf 8504  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-fl 12800
This theorem is referenced by:  salpreimaltle  41449
  Copyright terms: Public domain W3C validator