Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  preimaioomnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem preimaioomnf 41250
Description: Preimage of an open interval, unbounded below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
preimaioomnf.1 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
preimaioomnf.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
preimaioomnf (𝜑 → (𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐵})
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Proof of Theorem preimaioomnf
StepHypRef Expression
1 preimaioomnf.1 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
21ffund 6087 . . . 4 (𝜑 → Fun 𝐹)
31frnd 39740 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
4 fimacnvinrn2 6389 . . . 4 ((Fun 𝐹 ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ) → (𝐹 “ (-∞[,)𝐵)) = (𝐹 “ ((-∞[,)𝐵) ∩ ℝ)))
52, 3, 4syl2anc 694 . . 3 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞[,)𝐵)) = (𝐹 “ ((-∞[,)𝐵) ∩ ℝ)))
6 preimaioomnf.2 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
76icomnfinre 40097 . . . 4 (𝜑 → ((-∞[,)𝐵) ∩ ℝ) = (-∞(,)𝐵))
87imaeq2d 5501 . . 3 (𝜑 → (𝐹 “ ((-∞[,)𝐵) ∩ ℝ)) = (𝐹 “ (-∞(,)𝐵)))
95, 8eqtr2d 2686 . 2 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) = (𝐹 “ (-∞[,)𝐵)))
101frexr 39917 . . 3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
1110, 6preimaicomnf 41243 . 2 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞[,)𝐵)) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐵})
129, 11eqtrd 2685 1 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐵})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1523  wcel 2030  {crab 2945  cin 3606  wss 3607   class class class wbr 4685  ccnv 5142  ran crn 5144  cima 5146  Fun wfun 5920  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973  -∞cmnf 10110  *cxr 10111   < clt 10112  (,)cioo 12213  [,)cico 12215
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-ioo 12217  df-ico 12219
This theorem is referenced by:  issmflem  41257  mbfresmf  41269  smfres  41318  smfco  41330
  Copyright terms: Public domain W3C validator