Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  preimaiocmnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem preimaiocmnf 40309
Description: Preimage of a right-closed interval, unbounded below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
preimaiocmnf.1 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
preimaiocmnf.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
preimaiocmnf (𝜑 → (𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝐵})
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Proof of Theorem preimaiocmnf
StepHypRef Expression
1 preimaiocmnf.1 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
21ffnd 6207 . . 3 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
3 fncnvima2 6503 . . 3 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵)})
42, 3syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵)})
5 mnfxr 10308 . . . . . . . 8 -∞ ∈ ℝ*
65a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵)) → -∞ ∈ ℝ*)
7 preimaiocmnf.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
87adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
9 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵))
106, 8, 9iocleubd 40307 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ≤ 𝐵)
1110ex 449 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵) → (𝐹𝑥) ≤ 𝐵))
1211adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵) → (𝐹𝑥) ≤ 𝐵))
135a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝐵) → -∞ ∈ ℝ*)
147adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
1514adantlr 753 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
161ffvelrnda 6523 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1716rexrd 10301 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
1817adantr 472 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝐵) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
1916mnfltd 12171 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → -∞ < (𝐹𝑥))
2019adantr 472 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝐵) → -∞ < (𝐹𝑥))
21 simpr 479 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝐵) → (𝐹𝑥) ≤ 𝐵)
2213, 15, 18, 20, 21eliocd 40251 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝐵) → (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵))
2322ex 449 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) ≤ 𝐵 → (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵)))
2412, 23impbid 202 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵) ↔ (𝐹𝑥) ≤ 𝐵))
2524rabbidva 3328 . 2 (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵)} = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝐵})
264, 25eqtrd 2794 1 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝐵})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  {crab 3054   class class class wbr 4804  ccnv 5265  cima 5269   Fn wfn 6044  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  cr 10147  -∞cmnf 10284  *cxr 10285   < clt 10286  cle 10287  (,]cioc 12389
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-fv 6057  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-ioc 12393
This theorem is referenced by:  issmfle2d  41539
  Copyright terms: Public domain W3C validator