Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  preimaicomnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem preimaicomnf 41397
Description: Preimage of an open interval, unbounded below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
preimaicomnf.1 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
preimaicomnf.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
preimaicomnf (𝜑 → (𝐹 “ (-∞[,)𝐵)) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐵})
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Proof of Theorem preimaicomnf
StepHypRef Expression
1 preimaicomnf.1 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
21ffnd 6195 . . 3 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
3 fncnvima2 6490 . . 3 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹 “ (-∞[,)𝐵)) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵)})
42, 3syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞[,)𝐵)) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵)})
5 mnfxr 10259 . . . . . . 7 -∞ ∈ ℝ*
65a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝐹𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵)) → -∞ ∈ ℝ*)
7 preimaicomnf.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
87ad2antrr 764 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝐹𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
9 simpr 479 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝐹𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵))
10 icoltub 40204 . . . . . 6 ((-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵)) → (𝐹𝑥) < 𝐵)
116, 8, 9, 10syl3anc 1463 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝐹𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵)) → (𝐹𝑥) < 𝐵)
1211ex 449 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵) → (𝐹𝑥) < 𝐵))
135a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝐹𝑥) < 𝐵) → -∞ ∈ ℝ*)
147ad2antrr 764 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝐹𝑥) < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
151ffvelrnda 6510 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
1615adantr 472 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝐹𝑥) < 𝐵) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
1715mnfled 40076 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → -∞ ≤ (𝐹𝑥))
1817adantr 472 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝐹𝑥) < 𝐵) → -∞ ≤ (𝐹𝑥))
19 simpr 479 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝐹𝑥) < 𝐵) → (𝐹𝑥) < 𝐵)
2013, 14, 16, 18, 19elicod 12388 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝐹𝑥) < 𝐵) → (𝐹𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵))
2120ex 449 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) < 𝐵 → (𝐹𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵)))
2212, 21impbid 202 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵) ↔ (𝐹𝑥) < 𝐵))
2322rabbidva 3316 . 2 (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ∈ (-∞[,)𝐵)} = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐵})
244, 23eqtrd 2782 1 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞[,)𝐵)) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐵})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1620  wcel 2127  {crab 3042   class class class wbr 4792  ccnv 5253  cima 5257   Fn wfn 6032  wf 6033  cfv 6037  (class class class)co 6801  -∞cmnf 10235  *cxr 10236   < clt 10237  cle 10238  [,)cico 12341
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-op 4316  df-uni 4577  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-id 5162  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-ico 12345
This theorem is referenced by:  preimaioomnf  41404
  Copyright terms: Public domain W3C validator