Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsvscafval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsvscafval 16362
 Description: Scalar multiplication of a single coordinate in a structure product. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbasmpt.y 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsbasmpt.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsvscaval.t · = ( ·𝑠𝑌)
prdsvscaval.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
prdsvscaval.s (𝜑𝑆𝑉)
prdsvscaval.i (𝜑𝐼𝑊)
prdsvscaval.r (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
prdsvscaval.f (𝜑𝐹𝐾)
prdsvscaval.g (𝜑𝐺𝐵)
prdsvscafval.j (𝜑𝐽𝐼)
Assertion
Ref Expression
prdsvscafval (𝜑 → ((𝐹 · 𝐺)‘𝐽) = (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅𝐽))(𝐺𝐽)))

Proof of Theorem prdsvscafval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsbasmpt.y . . 3 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2 prdsbasmpt.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑌)
3 prdsvscaval.t . . 3 · = ( ·𝑠𝑌)
4 prdsvscaval.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝑆)
5 prdsvscaval.s . . 3 (𝜑𝑆𝑉)
6 prdsvscaval.i . . 3 (𝜑𝐼𝑊)
7 prdsvscaval.r . . 3 (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
8 prdsvscaval.f . . 3 (𝜑𝐹𝐾)
9 prdsvscaval.g . . 3 (𝜑𝐺𝐵)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9prdsvscaval 16361 . 2 (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) = (𝑥𝐼 ↦ (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))))
11 fveq2 6353 . . . . 5 (𝑥 = 𝐽 → (𝑅𝑥) = (𝑅𝐽))
1211fveq2d 6357 . . . 4 (𝑥 = 𝐽 → ( ·𝑠 ‘(𝑅𝑥)) = ( ·𝑠 ‘(𝑅𝐽)))
13 eqidd 2761 . . . 4 (𝑥 = 𝐽𝐹 = 𝐹)
14 fveq2 6353 . . . 4 (𝑥 = 𝐽 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝐽))
1512, 13, 14oveq123d 6835 . . 3 (𝑥 = 𝐽 → (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)) = (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅𝐽))(𝐺𝐽)))
1615adantl 473 . 2 ((𝜑𝑥 = 𝐽) → (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)) = (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅𝐽))(𝐺𝐽)))
17 prdsvscafval.j . 2 (𝜑𝐽𝐼)
18 ovexd 6844 . 2 (𝜑 → (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅𝐽))(𝐺𝐽)) ∈ V)
1910, 16, 17, 18fvmptd 6451 1 (𝜑 → ((𝐹 · 𝐺)‘𝐽) = (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅𝐽))(𝐺𝐽)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  Vcvv 3340   Fn wfn 6044  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  Basecbs 16079   ·𝑠 cvsca 16167  Xscprds 16328 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-sup 8515  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-fz 12540  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-hom 16188  df-cco 16189  df-prds 16330 This theorem is referenced by:  prdslmodd  19191  dsmmlss  20310
 Copyright terms: Public domain W3C validator