Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdstps Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdstps 21480
 Description: A structure product of topologies is a topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdstopn.y 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdstopn.s (𝜑𝑆𝑉)
prdstopn.i (𝜑𝐼𝑊)
prdstps.r (𝜑𝑅:𝐼⟶TopSp)
Assertion
Ref Expression
prdstps (𝜑𝑌 ∈ TopSp)

Proof of Theorem prdstps
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdstopn.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑊)
2 prdstps.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅:𝐼⟶TopSp)
32ffvelrnda 6399 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑅𝑥) ∈ TopSp)
4 eqid 2651 . . . . . . 7 (Base‘(𝑅𝑥)) = (Base‘(𝑅𝑥))
5 eqid 2651 . . . . . . 7 (TopOpen‘(𝑅𝑥)) = (TopOpen‘(𝑅𝑥))
64, 5istps 20786 . . . . . 6 ((𝑅𝑥) ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘(𝑅𝑥)) ∈ (TopOn‘(Base‘(𝑅𝑥))))
73, 6sylib 208 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (TopOpen‘(𝑅𝑥)) ∈ (TopOn‘(Base‘(𝑅𝑥))))
87ralrimiva 2995 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 (TopOpen‘(𝑅𝑥)) ∈ (TopOn‘(Base‘(𝑅𝑥))))
9 eqid 2651 . . . . 5 (∏t‘(𝑥𝐼 ↦ (TopOpen‘(𝑅𝑥)))) = (∏t‘(𝑥𝐼 ↦ (TopOpen‘(𝑅𝑥))))
109pttopon 21447 . . . 4 ((𝐼𝑊 ∧ ∀𝑥𝐼 (TopOpen‘(𝑅𝑥)) ∈ (TopOn‘(Base‘(𝑅𝑥)))) → (∏t‘(𝑥𝐼 ↦ (TopOpen‘(𝑅𝑥)))) ∈ (TopOn‘X𝑥𝐼 (Base‘(𝑅𝑥))))
111, 8, 10syl2anc 694 . . 3 (𝜑 → (∏t‘(𝑥𝐼 ↦ (TopOpen‘(𝑅𝑥)))) ∈ (TopOn‘X𝑥𝐼 (Base‘(𝑅𝑥))))
12 prdstopn.y . . . . 5 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
13 prdstopn.s . . . . 5 (𝜑𝑆𝑉)
14 fex 6530 . . . . . 6 ((𝑅:𝐼⟶TopSp ∧ 𝐼𝑊) → 𝑅 ∈ V)
152, 1, 14syl2anc 694 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ V)
16 eqid 2651 . . . . 5 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
17 fdm 6089 . . . . . 6 (𝑅:𝐼⟶TopSp → dom 𝑅 = 𝐼)
182, 17syl 17 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝑅 = 𝐼)
19 eqid 2651 . . . . 5 (TopSet‘𝑌) = (TopSet‘𝑌)
2012, 13, 15, 16, 18, 19prdstset 16173 . . . 4 (𝜑 → (TopSet‘𝑌) = (∏t‘(TopOpen ∘ 𝑅)))
21 topnfn 16133 . . . . . . 7 TopOpen Fn V
22 dffn2 6085 . . . . . . 7 (TopOpen Fn V ↔ TopOpen:V⟶V)
2321, 22mpbi 220 . . . . . 6 TopOpen:V⟶V
24 ssv 3658 . . . . . . 7 TopSp ⊆ V
25 fss 6094 . . . . . . 7 ((𝑅:𝐼⟶TopSp ∧ TopSp ⊆ V) → 𝑅:𝐼⟶V)
262, 24, 25sylancl 695 . . . . . 6 (𝜑𝑅:𝐼⟶V)
27 fcompt 6440 . . . . . 6 ((TopOpen:V⟶V ∧ 𝑅:𝐼⟶V) → (TopOpen ∘ 𝑅) = (𝑥𝐼 ↦ (TopOpen‘(𝑅𝑥))))
2823, 26, 27sylancr 696 . . . . 5 (𝜑 → (TopOpen ∘ 𝑅) = (𝑥𝐼 ↦ (TopOpen‘(𝑅𝑥))))
2928fveq2d 6233 . . . 4 (𝜑 → (∏t‘(TopOpen ∘ 𝑅)) = (∏t‘(𝑥𝐼 ↦ (TopOpen‘(𝑅𝑥)))))
3020, 29eqtrd 2685 . . 3 (𝜑 → (TopSet‘𝑌) = (∏t‘(𝑥𝐼 ↦ (TopOpen‘(𝑅𝑥)))))
3112, 13, 15, 16, 18prdsbas 16164 . . . 4 (𝜑 → (Base‘𝑌) = X𝑥𝐼 (Base‘(𝑅𝑥)))
3231fveq2d 6233 . . 3 (𝜑 → (TopOn‘(Base‘𝑌)) = (TopOn‘X𝑥𝐼 (Base‘(𝑅𝑥))))
3311, 30, 323eltr4d 2745 . 2 (𝜑 → (TopSet‘𝑌) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑌)))
3416, 19tsettps 20793 . 2 ((TopSet‘𝑌) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑌)) → 𝑌 ∈ TopSp)
3533, 34syl 17 1 (𝜑𝑌 ∈ TopSp)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  Vcvv 3231   ⊆ wss 3607   ↦ cmpt 4762  dom cdm 5143   ∘ ccom 5147   Fn wfn 5921  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Xcixp 7950  Basecbs 15904  TopSetcts 15994  TopOpenctopn 16129  ∏tcpt 16146  Xscprds 16153  TopOnctopon 20763  TopSpctps 20784 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fi 8358  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798 This theorem is referenced by:  pwstps  21481  xpstps  21661  prdstmdd  21974
 Copyright terms: Public domain W3C validator