Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsplusgcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsplusgcl 17529
 Description: Structure product pointwise sums are closed when the factors are monoids. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsplusgcl.y 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsplusgcl.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsplusgcl.p + = (+g𝑌)
prdsplusgcl.s (𝜑𝑆𝑉)
prdsplusgcl.i (𝜑𝐼𝑊)
prdsplusgcl.r (𝜑𝑅:𝐼⟶Mnd)
prdsplusgcl.f (𝜑𝐹𝐵)
prdsplusgcl.g (𝜑𝐺𝐵)
Assertion
Ref Expression
prdsplusgcl (𝜑 → (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem prdsplusgcl
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsplusgcl.y . . 3 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2 prdsplusgcl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑌)
3 prdsplusgcl.s . . 3 (𝜑𝑆𝑉)
4 prdsplusgcl.i . . 3 (𝜑𝐼𝑊)
5 prdsplusgcl.r . . . 4 (𝜑𝑅:𝐼⟶Mnd)
6 ffn 6185 . . . 4 (𝑅:𝐼⟶Mnd → 𝑅 Fn 𝐼)
75, 6syl 17 . . 3 (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
8 prdsplusgcl.f . . 3 (𝜑𝐹𝐵)
9 prdsplusgcl.g . . 3 (𝜑𝐺𝐵)
10 prdsplusgcl.p . . 3 + = (+g𝑌)
111, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10prdsplusgval 16341 . 2 (𝜑 → (𝐹 + 𝐺) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(+g‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))))
125ffvelrnda 6502 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑅𝑥) ∈ Mnd)
133adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑆𝑉)
144adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐼𝑊)
157adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅 Fn 𝐼)
168adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐹𝐵)
17 simpr 471 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑥𝐼)
181, 2, 13, 14, 15, 16, 17prdsbasprj 16340 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) ∈ (Base‘(𝑅𝑥)))
199adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐺𝐵)
201, 2, 13, 14, 15, 19, 17prdsbasprj 16340 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐺𝑥) ∈ (Base‘(𝑅𝑥)))
21 eqid 2771 . . . . . 6 (Base‘(𝑅𝑥)) = (Base‘(𝑅𝑥))
22 eqid 2771 . . . . . 6 (+g‘(𝑅𝑥)) = (+g‘(𝑅𝑥))
2321, 22mndcl 17509 . . . . 5 (((𝑅𝑥) ∈ Mnd ∧ (𝐹𝑥) ∈ (Base‘(𝑅𝑥)) ∧ (𝐺𝑥) ∈ (Base‘(𝑅𝑥))) → ((𝐹𝑥)(+g‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)) ∈ (Base‘(𝑅𝑥)))
2412, 18, 20, 23syl3anc 1476 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐹𝑥)(+g‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)) ∈ (Base‘(𝑅𝑥)))
2524ralrimiva 3115 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 ((𝐹𝑥)(+g‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)) ∈ (Base‘(𝑅𝑥)))
261, 2, 3, 4, 7prdsbasmpt 16338 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(+g‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑥𝐼 ((𝐹𝑥)(+g‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)) ∈ (Base‘(𝑅𝑥))))
2725, 26mpbird 247 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(+g‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))) ∈ 𝐵)
2811, 27eqeltrd 2850 1 (𝜑 → (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ∀wral 3061   ↦ cmpt 4863   Fn wfn 6026  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  Xscprds 16314  Mndcmnd 17502 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-fz 12534  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-hom 16174  df-cco 16175  df-prds 16316  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503 This theorem is referenced by:  prdsmndd  17531  prdsringd  18820  dsmmacl  20302
 Copyright terms: Public domain W3C validator