MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdspjmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdspjmhm 17588
Description: A projection from a product of monoids to one of the factors is a monoid homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdspjmhm.y 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdspjmhm.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdspjmhm.i (𝜑𝐼𝑉)
prdspjmhm.s (𝜑𝑆𝑋)
prdspjmhm.r (𝜑𝑅:𝐼⟶Mnd)
prdspjmhm.a (𝜑𝐴𝐼)
Assertion
Ref Expression
prdspjmhm (𝜑 → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴)) ∈ (𝑌 MndHom (𝑅𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥,𝑅   𝑥,𝑌
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem prdspjmhm
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdspjmhm.y . . . 4 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2 prdspjmhm.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑉)
3 prdspjmhm.s . . . 4 (𝜑𝑆𝑋)
4 prdspjmhm.r . . . 4 (𝜑𝑅:𝐼⟶Mnd)
51, 2, 3, 4prdsmndd 17544 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ Mnd)
6 prdspjmhm.a . . . 4 (𝜑𝐴𝐼)
74, 6ffvelrnd 6524 . . 3 (𝜑 → (𝑅𝐴) ∈ Mnd)
85, 7jca 555 . 2 (𝜑 → (𝑌 ∈ Mnd ∧ (𝑅𝐴) ∈ Mnd))
9 prdspjmhm.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑌)
103adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑆𝑋)
112adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐼𝑉)
12 ffn 6206 . . . . . . 7 (𝑅:𝐼⟶Mnd → 𝑅 Fn 𝐼)
134, 12syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
1413adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑅 Fn 𝐼)
15 simpr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
166adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐴𝐼)
171, 9, 10, 11, 14, 15, 16prdsbasprj 16354 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥𝐴) ∈ (Base‘(𝑅𝐴)))
18 eqid 2760 . . . 4 (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴)) = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))
1917, 18fmptd 6549 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴)):𝐵⟶(Base‘(𝑅𝐴)))
203adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑆𝑋)
212adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝐼𝑉)
2213adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑅 Fn 𝐼)
23 simprl 811 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑦𝐵)
24 simprr 813 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑧𝐵)
25 eqid 2760 . . . . . 6 (+g𝑌) = (+g𝑌)
266adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝐴𝐼)
271, 9, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26prdsplusgfval 16356 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑦(+g𝑌)𝑧)‘𝐴) = ((𝑦𝐴)(+g‘(𝑅𝐴))(𝑧𝐴)))
289, 25mndcl 17522 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ Mnd ∧ 𝑦𝐵𝑧𝐵) → (𝑦(+g𝑌)𝑧) ∈ 𝐵)
29283expb 1114 . . . . . . 7 ((𝑌 ∈ Mnd ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦(+g𝑌)𝑧) ∈ 𝐵)
305, 29sylan 489 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦(+g𝑌)𝑧) ∈ 𝐵)
31 fveq1 6352 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦(+g𝑌)𝑧) → (𝑥𝐴) = ((𝑦(+g𝑌)𝑧)‘𝐴))
32 fvex 6363 . . . . . . 7 ((𝑦(+g𝑌)𝑧)‘𝐴) ∈ V
3331, 18, 32fvmpt 6445 . . . . . 6 ((𝑦(+g𝑌)𝑧) ∈ 𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(𝑦(+g𝑌)𝑧)) = ((𝑦(+g𝑌)𝑧)‘𝐴))
3430, 33syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(𝑦(+g𝑌)𝑧)) = ((𝑦(+g𝑌)𝑧)‘𝐴))
35 fveq1 6352 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴) = (𝑦𝐴))
36 fvex 6363 . . . . . . . 8 (𝑦𝐴) ∈ V
3735, 18, 36fvmpt 6445 . . . . . . 7 (𝑦𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑦) = (𝑦𝐴))
38 fveq1 6352 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝐴) = (𝑧𝐴))
39 fvex 6363 . . . . . . . 8 (𝑧𝐴) ∈ V
4038, 18, 39fvmpt 6445 . . . . . . 7 (𝑧𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑧) = (𝑧𝐴))
4137, 40oveqan12d 6833 . . . . . 6 ((𝑦𝐵𝑧𝐵) → (((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑦)(+g‘(𝑅𝐴))((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑧)) = ((𝑦𝐴)(+g‘(𝑅𝐴))(𝑧𝐴)))
4241adantl 473 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑦)(+g‘(𝑅𝐴))((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑧)) = ((𝑦𝐴)(+g‘(𝑅𝐴))(𝑧𝐴)))
4327, 34, 423eqtr4d 2804 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(𝑦(+g𝑌)𝑧)) = (((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑦)(+g‘(𝑅𝐴))((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑧)))
4443ralrimivva 3109 . . 3 (𝜑 → ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(𝑦(+g𝑌)𝑧)) = (((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑦)(+g‘(𝑅𝐴))((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑧)))
45 eqid 2760 . . . . . 6 (0g𝑌) = (0g𝑌)
469, 45mndidcl 17529 . . . . 5 (𝑌 ∈ Mnd → (0g𝑌) ∈ 𝐵)
47 fveq1 6352 . . . . . 6 (𝑥 = (0g𝑌) → (𝑥𝐴) = ((0g𝑌)‘𝐴))
48 fvex 6363 . . . . . 6 ((0g𝑌)‘𝐴) ∈ V
4947, 18, 48fvmpt 6445 . . . . 5 ((0g𝑌) ∈ 𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(0g𝑌)) = ((0g𝑌)‘𝐴))
505, 46, 493syl 18 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(0g𝑌)) = ((0g𝑌)‘𝐴))
511, 2, 3, 4prds0g 17545 . . . . 5 (𝜑 → (0g𝑅) = (0g𝑌))
5251fveq1d 6355 . . . 4 (𝜑 → ((0g𝑅)‘𝐴) = ((0g𝑌)‘𝐴))
53 fvco3 6438 . . . . 5 ((𝑅:𝐼⟶Mnd ∧ 𝐴𝐼) → ((0g𝑅)‘𝐴) = (0g‘(𝑅𝐴)))
544, 6, 53syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → ((0g𝑅)‘𝐴) = (0g‘(𝑅𝐴)))
5550, 52, 543eqtr2d 2800 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(0g𝑌)) = (0g‘(𝑅𝐴)))
5619, 44, 553jca 1123 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴)):𝐵⟶(Base‘(𝑅𝐴)) ∧ ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(𝑦(+g𝑌)𝑧)) = (((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑦)(+g‘(𝑅𝐴))((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑧)) ∧ ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(0g𝑌)) = (0g‘(𝑅𝐴))))
57 eqid 2760 . . 3 (Base‘(𝑅𝐴)) = (Base‘(𝑅𝐴))
58 eqid 2760 . . 3 (+g‘(𝑅𝐴)) = (+g‘(𝑅𝐴))
59 eqid 2760 . . 3 (0g‘(𝑅𝐴)) = (0g‘(𝑅𝐴))
609, 57, 25, 58, 45, 59ismhm 17558 . 2 ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴)) ∈ (𝑌 MndHom (𝑅𝐴)) ↔ ((𝑌 ∈ Mnd ∧ (𝑅𝐴) ∈ Mnd) ∧ ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴)):𝐵⟶(Base‘(𝑅𝐴)) ∧ ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(𝑦(+g𝑌)𝑧)) = (((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑦)(+g‘(𝑅𝐴))((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑧)) ∧ ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(0g𝑌)) = (0g‘(𝑅𝐴)))))
618, 56, 60sylanbrc 701 1 (𝜑 → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴)) ∈ (𝑌 MndHom (𝑅𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  cmpt 4881  ccom 5270   Fn wfn 6044  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  Basecbs 16079  +gcplusg 16163  0gc0g 16322  Xscprds 16328  Mndcmnd 17515   MndHom cmhm 17554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-sup 8515  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-fz 12540  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-hom 16188  df-cco 16189  df-0g 16324  df-prds 16330  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-mhm 17556
This theorem is referenced by:  pwspjmhm  17589  prdsgsum  18597
  Copyright terms: Public domain W3C validator