MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsms Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsms 22383
Description: The indexed product structure is a metric space when the index set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
prdsxms.y 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
Assertion
Ref Expression
prdsms ((𝑆𝑊𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅:𝐼⟶MetSp) → 𝑌 ∈ MetSp)

Proof of Theorem prdsms
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 msxms 22306 . . . . 5 (𝑥 ∈ MetSp → 𝑥 ∈ ∞MetSp)
21ssriv 3640 . . . 4 MetSp ⊆ ∞MetSp
3 fss 6094 . . . 4 ((𝑅:𝐼⟶MetSp ∧ MetSp ⊆ ∞MetSp) → 𝑅:𝐼⟶∞MetSp)
42, 3mpan2 707 . . 3 (𝑅:𝐼⟶MetSp → 𝑅:𝐼⟶∞MetSp)
5 prdsxms.y . . . 4 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
65prdsxms 22382 . . 3 ((𝑆𝑊𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅:𝐼⟶∞MetSp) → 𝑌 ∈ ∞MetSp)
74, 6syl3an3 1401 . 2 ((𝑆𝑊𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅:𝐼⟶MetSp) → 𝑌 ∈ ∞MetSp)
8 simp1 1081 . . . 4 ((𝑆𝑊𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅:𝐼⟶MetSp) → 𝑆𝑊)
9 simp2 1082 . . . 4 ((𝑆𝑊𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅:𝐼⟶MetSp) → 𝐼 ∈ Fin)
10 eqid 2651 . . . 4 (dist‘𝑌) = (dist‘𝑌)
11 eqid 2651 . . . 4 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
12 simp3 1083 . . . 4 ((𝑆𝑊𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅:𝐼⟶MetSp) → 𝑅:𝐼⟶MetSp)
135, 8, 9, 10, 11, 12prdsmslem1 22379 . . 3 ((𝑆𝑊𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅:𝐼⟶MetSp) → (dist‘𝑌) ∈ (Met‘(Base‘𝑌)))
14 ssid 3657 . . 3 (Base‘𝑌) ⊆ (Base‘𝑌)
15 metres2 22215 . . 3 (((dist‘𝑌) ∈ (Met‘(Base‘𝑌)) ∧ (Base‘𝑌) ⊆ (Base‘𝑌)) → ((dist‘𝑌) ↾ ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌))) ∈ (Met‘(Base‘𝑌)))
1613, 14, 15sylancl 695 . 2 ((𝑆𝑊𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅:𝐼⟶MetSp) → ((dist‘𝑌) ↾ ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌))) ∈ (Met‘(Base‘𝑌)))
17 eqid 2651 . . 3 (TopOpen‘𝑌) = (TopOpen‘𝑌)
18 eqid 2651 . . 3 ((dist‘𝑌) ↾ ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌))) = ((dist‘𝑌) ↾ ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌)))
1917, 11, 18isms 22301 . 2 (𝑌 ∈ MetSp ↔ (𝑌 ∈ ∞MetSp ∧ ((dist‘𝑌) ↾ ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌))) ∈ (Met‘(Base‘𝑌))))
207, 16, 19sylanbrc 699 1 ((𝑆𝑊𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅:𝐼⟶MetSp) → 𝑌 ∈ MetSp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wss 3607   × cxp 5141  cres 5145  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  Basecbs 15904  distcds 15997  TopOpenctopn 16129  Xscprds 16153  Metcme 19780  ∞MetSpcxme 22169  MetSpcmt 22170
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-icc 12220  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-xms 22172  df-ms 22173
This theorem is referenced by:  pwsms  22385  xpsms  22387
  Copyright terms: Public domain W3C validator