MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsleval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsleval 16118
Description: Value of the product ordering in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbasmpt.y 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsbasmpt.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsbasmpt.s (𝜑𝑆𝑉)
prdsbasmpt.i (𝜑𝐼𝑊)
prdsbasmpt.r (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
prdsplusgval.f (𝜑𝐹𝐵)
prdsplusgval.g (𝜑𝐺𝐵)
prdsleval.l = (le‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
prdsleval (𝜑 → (𝐹 𝐺 ↔ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥)(le‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥,𝑊   𝑥,𝑌
Allowed substitution hint:   (𝑥)

Proof of Theorem prdsleval
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-br 4645 . . 3 (𝐹 𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ )
2 prdsbasmpt.y . . . . . 6 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
3 prdsbasmpt.s . . . . . 6 (𝜑𝑆𝑉)
4 prdsbasmpt.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
5 prdsbasmpt.i . . . . . . 7 (𝜑𝐼𝑊)
6 fnex 6466 . . . . . . 7 ((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑊) → 𝑅 ∈ V)
74, 5, 6syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ V)
8 prdsbasmpt.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑌)
9 fndm 5978 . . . . . . 7 (𝑅 Fn 𝐼 → dom 𝑅 = 𝐼)
104, 9syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝑅 = 𝐼)
11 prdsleval.l . . . . . 6 = (le‘𝑌)
122, 3, 7, 8, 10, 11prdsle 16103 . . . . 5 (𝜑 = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ({𝑓, 𝑔} ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘(𝑅𝑥))(𝑔𝑥))})
13 vex 3198 . . . . . . . 8 𝑓 ∈ V
14 vex 3198 . . . . . . . 8 𝑔 ∈ V
1513, 14prss 4342 . . . . . . 7 ((𝑓𝐵𝑔𝐵) ↔ {𝑓, 𝑔} ⊆ 𝐵)
1615anbi1i 730 . . . . . 6 (((𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘(𝑅𝑥))(𝑔𝑥)) ↔ ({𝑓, 𝑔} ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘(𝑅𝑥))(𝑔𝑥)))
1716opabbii 4708 . . . . 5 {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ((𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘(𝑅𝑥))(𝑔𝑥))} = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ({𝑓, 𝑔} ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘(𝑅𝑥))(𝑔𝑥))}
1812, 17syl6eqr 2672 . . . 4 (𝜑 = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ((𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘(𝑅𝑥))(𝑔𝑥))})
1918eleq2d 2685 . . 3 (𝜑 → (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ((𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘(𝑅𝑥))(𝑔𝑥))}))
201, 19syl5bb 272 . 2 (𝜑 → (𝐹 𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ((𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘(𝑅𝑥))(𝑔𝑥))}))
21 prdsplusgval.f . . 3 (𝜑𝐹𝐵)
22 prdsplusgval.g . . 3 (𝜑𝐺𝐵)
23 fveq1 6177 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝑥) = (𝐹𝑥))
24 fveq1 6177 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐺 → (𝑔𝑥) = (𝐺𝑥))
2523, 24breqan12d 4660 . . . . 5 ((𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺) → ((𝑓𝑥)(le‘(𝑅𝑥))(𝑔𝑥) ↔ (𝐹𝑥)(le‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)))
2625ralbidv 2983 . . . 4 ((𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺) → (∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘(𝑅𝑥))(𝑔𝑥) ↔ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥)(le‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)))
2726opelopab2a 4980 . . 3 ((𝐹𝐵𝐺𝐵) → (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ((𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘(𝑅𝑥))(𝑔𝑥))} ↔ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥)(le‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)))
2821, 22, 27syl2anc 692 . 2 (𝜑 → (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ((𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘(𝑅𝑥))(𝑔𝑥))} ↔ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥)(le‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)))
2920, 28bitrd 268 1 (𝜑 → (𝐹 𝐺 ↔ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥)(le‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  wral 2909  Vcvv 3195  wss 3567  {cpr 4170  cop 4174   class class class wbr 4644  {copab 4703  dom cdm 5104   Fn wfn 5871  cfv 5876  (class class class)co 6635  Basecbs 15838  lecple 15929  Xscprds 16087
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-ixp 7894  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-sup 8333  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-n0 11278  df-z 11363  df-dec 11479  df-uz 11673  df-fz 12312  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-sca 15938  df-vsca 15939  df-ip 15940  df-tset 15941  df-ple 15942  df-ds 15945  df-hom 15947  df-cco 15948  df-prds 16089
This theorem is referenced by:  xpsle  16222
  Copyright terms: Public domain W3C validator