MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsidlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsidlem 17444
Description: Characterization of identity in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsplusgcl.y 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsplusgcl.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsplusgcl.p + = (+g𝑌)
prdsplusgcl.s (𝜑𝑆𝑉)
prdsplusgcl.i (𝜑𝐼𝑊)
prdsplusgcl.r (𝜑𝑅:𝐼⟶Mnd)
prdsidlem.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
prdsidlem (𝜑 → ( 0𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵 (( 0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0 ) = 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥, +   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝑥,𝑌
Allowed substitution hint:   0 (𝑥)

Proof of Theorem prdsidlem
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsidlem.z . . . 4 0 = (0g𝑅)
2 fvexd 6316 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐼) → (𝑅𝑦) ∈ V)
3 prdsplusgcl.r . . . . . 6 (𝜑𝑅:𝐼⟶Mnd)
43feqmptd 6363 . . . . 5 (𝜑𝑅 = (𝑦𝐼 ↦ (𝑅𝑦)))
5 fn0g 17384 . . . . . . 7 0g Fn V
65a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0g Fn V)
7 dffn5 6355 . . . . . 6 (0g Fn V ↔ 0g = (𝑥 ∈ V ↦ (0g𝑥)))
86, 7sylib 208 . . . . 5 (𝜑 → 0g = (𝑥 ∈ V ↦ (0g𝑥)))
9 fveq2 6304 . . . . 5 (𝑥 = (𝑅𝑦) → (0g𝑥) = (0g‘(𝑅𝑦)))
102, 4, 8, 9fmptco 6511 . . . 4 (𝜑 → (0g𝑅) = (𝑦𝐼 ↦ (0g‘(𝑅𝑦))))
111, 10syl5eq 2770 . . 3 (𝜑0 = (𝑦𝐼 ↦ (0g‘(𝑅𝑦))))
123ffvelrnda 6474 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐼) → (𝑅𝑦) ∈ Mnd)
13 eqid 2724 . . . . . . 7 (Base‘(𝑅𝑦)) = (Base‘(𝑅𝑦))
14 eqid 2724 . . . . . . 7 (0g‘(𝑅𝑦)) = (0g‘(𝑅𝑦))
1513, 14mndidcl 17430 . . . . . 6 ((𝑅𝑦) ∈ Mnd → (0g‘(𝑅𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅𝑦)))
1612, 15syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐼) → (0g‘(𝑅𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅𝑦)))
1716ralrimiva 3068 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑦𝐼 (0g‘(𝑅𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅𝑦)))
18 prdsplusgcl.y . . . . 5 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
19 prdsplusgcl.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑌)
20 prdsplusgcl.s . . . . 5 (𝜑𝑆𝑉)
21 prdsplusgcl.i . . . . 5 (𝜑𝐼𝑊)
22 ffn 6158 . . . . . 6 (𝑅:𝐼⟶Mnd → 𝑅 Fn 𝐼)
233, 22syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
2418, 19, 20, 21, 23prdsbasmpt 16253 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦𝐼 ↦ (0g‘(𝑅𝑦))) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑦𝐼 (0g‘(𝑅𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅𝑦))))
2517, 24mpbird 247 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝐼 ↦ (0g‘(𝑅𝑦))) ∈ 𝐵)
2611, 25eqeltrd 2803 . 2 (𝜑0𝐵)
271fveq1i 6305 . . . . . . . . . 10 ( 0𝑦) = ((0g𝑅)‘𝑦)
28 fvco2 6387 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 Fn 𝐼𝑦𝐼) → ((0g𝑅)‘𝑦) = (0g‘(𝑅𝑦)))
2923, 28sylan 489 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐼) → ((0g𝑅)‘𝑦) = (0g‘(𝑅𝑦)))
3027, 29syl5eq 2770 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐼) → ( 0𝑦) = (0g‘(𝑅𝑦)))
3130adantlr 753 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐼) → ( 0𝑦) = (0g‘(𝑅𝑦)))
3231oveq1d 6780 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐼) → (( 0𝑦)(+g‘(𝑅𝑦))(𝑥𝑦)) = ((0g‘(𝑅𝑦))(+g‘(𝑅𝑦))(𝑥𝑦)))
333adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
3433ffvelrnda 6474 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐼) → (𝑅𝑦) ∈ Mnd)
3520ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐼) → 𝑆𝑉)
3621ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐼) → 𝐼𝑊)
3723ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐼) → 𝑅 Fn 𝐼)
38 simplr 809 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐼) → 𝑥𝐵)
39 simpr 479 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐼) → 𝑦𝐼)
4018, 19, 35, 36, 37, 38, 39prdsbasprj 16255 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐼) → (𝑥𝑦) ∈ (Base‘(𝑅𝑦)))
41 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (+g‘(𝑅𝑦)) = (+g‘(𝑅𝑦))
4213, 41, 14mndlid 17433 . . . . . . . 8 (((𝑅𝑦) ∈ Mnd ∧ (𝑥𝑦) ∈ (Base‘(𝑅𝑦))) → ((0g‘(𝑅𝑦))(+g‘(𝑅𝑦))(𝑥𝑦)) = (𝑥𝑦))
4334, 40, 42syl2anc 696 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐼) → ((0g‘(𝑅𝑦))(+g‘(𝑅𝑦))(𝑥𝑦)) = (𝑥𝑦))
4432, 43eqtrd 2758 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐼) → (( 0𝑦)(+g‘(𝑅𝑦))(𝑥𝑦)) = (𝑥𝑦))
4544mpteq2dva 4852 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑦𝐼 ↦ (( 0𝑦)(+g‘(𝑅𝑦))(𝑥𝑦))) = (𝑦𝐼 ↦ (𝑥𝑦)))
4620adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑆𝑉)
4721adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐼𝑊)
4823adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑅 Fn 𝐼)
4926adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → 0𝐵)
50 simpr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
51 prdsplusgcl.p . . . . . 6 + = (+g𝑌)
5218, 19, 46, 47, 48, 49, 50, 51prdsplusgval 16256 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → ( 0 + 𝑥) = (𝑦𝐼 ↦ (( 0𝑦)(+g‘(𝑅𝑦))(𝑥𝑦))))
5318, 19, 46, 47, 48, 50prdsbasfn 16254 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥 Fn 𝐼)
54 dffn5 6355 . . . . . 6 (𝑥 Fn 𝐼𝑥 = (𝑦𝐼 ↦ (𝑥𝑦)))
5553, 54sylib 208 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥 = (𝑦𝐼 ↦ (𝑥𝑦)))
5645, 52, 553eqtr4d 2768 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → ( 0 + 𝑥) = 𝑥)
5731oveq2d 6781 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐼) → ((𝑥𝑦)(+g‘(𝑅𝑦))( 0𝑦)) = ((𝑥𝑦)(+g‘(𝑅𝑦))(0g‘(𝑅𝑦))))
5813, 41, 14mndrid 17434 . . . . . . . 8 (((𝑅𝑦) ∈ Mnd ∧ (𝑥𝑦) ∈ (Base‘(𝑅𝑦))) → ((𝑥𝑦)(+g‘(𝑅𝑦))(0g‘(𝑅𝑦))) = (𝑥𝑦))
5934, 40, 58syl2anc 696 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐼) → ((𝑥𝑦)(+g‘(𝑅𝑦))(0g‘(𝑅𝑦))) = (𝑥𝑦))
6057, 59eqtrd 2758 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐼) → ((𝑥𝑦)(+g‘(𝑅𝑦))( 0𝑦)) = (𝑥𝑦))
6160mpteq2dva 4852 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑦𝐼 ↦ ((𝑥𝑦)(+g‘(𝑅𝑦))( 0𝑦))) = (𝑦𝐼 ↦ (𝑥𝑦)))
6218, 19, 46, 47, 48, 50, 49, 51prdsplusgval 16256 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥 + 0 ) = (𝑦𝐼 ↦ ((𝑥𝑦)(+g‘(𝑅𝑦))( 0𝑦))))
6361, 62, 553eqtr4d 2768 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥 + 0 ) = 𝑥)
6456, 63jca 555 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → (( 0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0 ) = 𝑥))
6564ralrimiva 3068 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 (( 0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0 ) = 𝑥))
6626, 65jca 555 1 (𝜑 → ( 0𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵 (( 0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0 ) = 𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1596  wcel 2103  wral 3014  Vcvv 3304  cmpt 4837  ccom 5222   Fn wfn 5996  wf 5997  cfv 6001  (class class class)co 6765  Basecbs 15980  +gcplusg 16064  0gc0g 16223  Xscprds 16229  Mndcmnd 17416
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-oadd 7684  df-er 7862  df-map 7976  df-ixp 8026  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-sup 8464  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-fz 12441  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-sca 16080  df-vsca 16081  df-ip 16082  df-tset 16083  df-ple 16084  df-ds 16087  df-hom 16089  df-cco 16090  df-0g 16225  df-prds 16231  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417
This theorem is referenced by:  prdsmndd  17445  prds0g  17446
  Copyright terms: Public domain W3C validator