MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsdsval3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsdsval3 16367
Description: Value of the metric in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbasmpt2.y 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))
prdsbasmpt2.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsbasmpt2.s (𝜑𝑆𝑉)
prdsbasmpt2.i (𝜑𝐼𝑊)
prdsbasmpt2.r (𝜑 → ∀𝑥𝐼 𝑅𝑋)
prdsdsval2.f (𝜑𝐹𝐵)
prdsdsval2.g (𝜑𝐺𝐵)
prdsdsval3.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
prdsdsval3.e 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝐾 × 𝐾))
prdsdsval3.d 𝐷 = (dist‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
prdsdsval3 (𝜑 → (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)𝐸(𝐺𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem prdsdsval3
StepHypRef Expression
1 prdsbasmpt2.y . . 3 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))
2 prdsbasmpt2.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑌)
3 prdsbasmpt2.s . . 3 (𝜑𝑆𝑉)
4 prdsbasmpt2.i . . 3 (𝜑𝐼𝑊)
5 prdsbasmpt2.r . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 𝑅𝑋)
6 prdsdsval2.f . . 3 (𝜑𝐹𝐵)
7 prdsdsval2.g . . 3 (𝜑𝐺𝐵)
8 eqid 2760 . . 3 (dist‘𝑅) = (dist‘𝑅)
9 prdsdsval3.d . . 3 𝐷 = (dist‘𝑌)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9prdsdsval2 16366 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
11 eqidd 2761 . . . . . 6 (𝜑𝐼 = 𝐼)
12 prdsdsval3.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Base‘𝑅)
131, 2, 3, 4, 5, 12, 6prdsbascl 16365 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ 𝐾)
141, 2, 3, 4, 5, 12, 7prdsbascl 16365 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 (𝐺𝑥) ∈ 𝐾)
15 prdsdsval3.e . . . . . . . . . . 11 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝐾 × 𝐾))
1615oveqi 6827 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑥)𝐸(𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝐾 × 𝐾))(𝐺𝑥))
17 ovres 6966 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑥) ∈ 𝐾 ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝐾) → ((𝐹𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝐾 × 𝐾))(𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺𝑥)))
1816, 17syl5eq 2806 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑥) ∈ 𝐾 ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝐾) → ((𝐹𝑥)𝐸(𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺𝑥)))
1918ex 449 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑥) ∈ 𝐾 → ((𝐺𝑥) ∈ 𝐾 → ((𝐹𝑥)𝐸(𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺𝑥))))
2019ral2imi 3085 . . . . . . 7 (∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ 𝐾 → (∀𝑥𝐼 (𝐺𝑥) ∈ 𝐾 → ∀𝑥𝐼 ((𝐹𝑥)𝐸(𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺𝑥))))
2113, 14, 20sylc 65 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 ((𝐹𝑥)𝐸(𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺𝑥)))
22 mpteq12 4888 . . . . . 6 ((𝐼 = 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 ((𝐹𝑥)𝐸(𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺𝑥))) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)𝐸(𝐺𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺𝑥))))
2311, 21, 22syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)𝐸(𝐺𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺𝑥))))
2423rneqd 5508 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)𝐸(𝐺𝑥))) = ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺𝑥))))
2524uneq1d 3909 . . 3 (𝜑 → (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)𝐸(𝐺𝑥))) ∪ {0}) = (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺𝑥))) ∪ {0}))
2625supeq1d 8519 . 2 (𝜑 → sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)𝐸(𝐺𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ) = sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
2710, 26eqtr4d 2797 1 (𝜑 → (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)𝐸(𝐺𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  cun 3713  {csn 4321  cmpt 4881   × cxp 5264  ran crn 5267  cres 5268  cfv 6049  (class class class)co 6814  supcsup 8513  0cc0 10148  *cxr 10285   < clt 10286  Basecbs 16079  distcds 16172  Xscprds 16328
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-sup 8515  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-fz 12540  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-hom 16188  df-cco 16189  df-prds 16330
This theorem is referenced by:  prdsxmetlem  22394  prdsmet  22396  prdsbl  22517  prdsbnd  33923  rrnequiv  33965
  Copyright terms: Public domain W3C validator