Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsdsval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsdsval2 16367
 Description: Value of the metric in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbasmpt2.y 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))
prdsbasmpt2.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsbasmpt2.s (𝜑𝑆𝑉)
prdsbasmpt2.i (𝜑𝐼𝑊)
prdsbasmpt2.r (𝜑 → ∀𝑥𝐼 𝑅𝑋)
prdsdsval2.f (𝜑𝐹𝐵)
prdsdsval2.g (𝜑𝐺𝐵)
prdsdsval2.e 𝐸 = (dist‘𝑅)
prdsdsval2.d 𝐷 = (dist‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
prdsdsval2 (𝜑 → (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)𝐸(𝐺𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem prdsdsval2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsbasmpt2.y . . 3 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))
2 prdsbasmpt2.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑌)
3 prdsbasmpt2.s . . 3 (𝜑𝑆𝑉)
4 prdsbasmpt2.i . . 3 (𝜑𝐼𝑊)
5 prdsbasmpt2.r . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 𝑅𝑋)
6 eqid 2761 . . . . 5 (𝑥𝐼𝑅) = (𝑥𝐼𝑅)
76fnmpt 6182 . . . 4 (∀𝑥𝐼 𝑅𝑋 → (𝑥𝐼𝑅) Fn 𝐼)
85, 7syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐼𝑅) Fn 𝐼)
9 prdsdsval2.f . . 3 (𝜑𝐹𝐵)
10 prdsdsval2.g . . 3 (𝜑𝐺𝐵)
11 prdsdsval2.d . . 3 𝐷 = (dist‘𝑌)
121, 2, 3, 4, 8, 9, 10, 11prdsdsval 16361 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (𝑦𝐼 ↦ ((𝐹𝑦)(dist‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑦))(𝐺𝑦))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
13 nfcv 2903 . . . . . . . 8 𝑥(𝐹𝑦)
14 nfcv 2903 . . . . . . . . 9 𝑥dist
15 nffvmpt1 6362 . . . . . . . . 9 𝑥((𝑥𝐼𝑅)‘𝑦)
1614, 15nffv 6361 . . . . . . . 8 𝑥(dist‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑦))
17 nfcv 2903 . . . . . . . 8 𝑥(𝐺𝑦)
1813, 16, 17nfov 6841 . . . . . . 7 𝑥((𝐹𝑦)(dist‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑦))(𝐺𝑦))
19 nfcv 2903 . . . . . . 7 𝑦((𝐹𝑥)(dist‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑥))(𝐺𝑥))
20 fveq2 6354 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥𝐼𝑅)‘𝑦) = ((𝑥𝐼𝑅)‘𝑥))
2120fveq2d 6358 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (dist‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑦)) = (dist‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑥)))
22 fveq2 6354 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑥))
23 fveq2 6354 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (𝐺𝑦) = (𝐺𝑥))
2421, 22, 23oveq123d 6836 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → ((𝐹𝑦)(dist‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑦))(𝐺𝑦)) = ((𝐹𝑥)(dist‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑥))(𝐺𝑥)))
2518, 19, 24cbvmpt 4902 . . . . . 6 (𝑦𝐼 ↦ ((𝐹𝑦)(dist‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑦))(𝐺𝑦))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(dist‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑥))(𝐺𝑥)))
26 eqidd 2762 . . . . . . 7 (𝜑𝐼 = 𝐼)
276fvmpt2 6455 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐼𝑅𝑋) → ((𝑥𝐼𝑅)‘𝑥) = 𝑅)
2827fveq2d 6358 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐼𝑅𝑋) → (dist‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑥)) = (dist‘𝑅))
29 prdsdsval2.e . . . . . . . . . . 11 𝐸 = (dist‘𝑅)
3028, 29syl6eqr 2813 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐼𝑅𝑋) → (dist‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑥)) = 𝐸)
3130oveqd 6832 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐼𝑅𝑋) → ((𝐹𝑥)(dist‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑥))(𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑥)𝐸(𝐺𝑥)))
3231ralimiaa 3090 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝐼 𝑅𝑋 → ∀𝑥𝐼 ((𝐹𝑥)(dist‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑥))(𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑥)𝐸(𝐺𝑥)))
335, 32syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 ((𝐹𝑥)(dist‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑥))(𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑥)𝐸(𝐺𝑥)))
34 mpteq12 4889 . . . . . . 7 ((𝐼 = 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 ((𝐹𝑥)(dist‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑥))(𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑥)𝐸(𝐺𝑥))) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(dist‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑥))(𝐺𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)𝐸(𝐺𝑥))))
3526, 33, 34syl2anc 696 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(dist‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑥))(𝐺𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)𝐸(𝐺𝑥))))
3625, 35syl5eq 2807 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦𝐼 ↦ ((𝐹𝑦)(dist‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑦))(𝐺𝑦))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)𝐸(𝐺𝑥))))
3736rneqd 5509 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑦𝐼 ↦ ((𝐹𝑦)(dist‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑦))(𝐺𝑦))) = ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)𝐸(𝐺𝑥))))
3837uneq1d 3910 . . 3 (𝜑 → (ran (𝑦𝐼 ↦ ((𝐹𝑦)(dist‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑦))(𝐺𝑦))) ∪ {0}) = (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)𝐸(𝐺𝑥))) ∪ {0}))
3938supeq1d 8520 . 2 (𝜑 → sup((ran (𝑦𝐼 ↦ ((𝐹𝑦)(dist‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑦))(𝐺𝑦))) ∪ {0}), ℝ*, < ) = sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)𝐸(𝐺𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
4012, 39eqtrd 2795 1 (𝜑 → (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)𝐸(𝐺𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2140  ∀wral 3051   ∪ cun 3714  {csn 4322   ↦ cmpt 4882  ran crn 5268   Fn wfn 6045  ‘cfv 6050  (class class class)co 6815  supcsup 8514  0cc0 10149  ℝ*cxr 10286   < clt 10287  Basecbs 16080  distcds 16173  Xscprds 16329 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-oadd 7735  df-er 7914  df-map 8028  df-ixp 8078  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-sup 8516  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-5 11295  df-6 11296  df-7 11297  df-8 11298  df-9 11299  df-n0 11506  df-z 11591  df-dec 11707  df-uz 11901  df-fz 12541  df-struct 16082  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-base 16086  df-plusg 16177  df-mulr 16178  df-sca 16180  df-vsca 16181  df-ip 16182  df-tset 16183  df-ple 16184  df-ds 16187  df-hom 16189  df-cco 16190  df-prds 16331 This theorem is referenced by:  prdsdsval3  16368  ressprdsds  22398
 Copyright terms: Public domain W3C validator