MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsdsval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsdsval 16352
Description: Value of the metric in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbasmpt.y 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsbasmpt.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsbasmpt.s (𝜑𝑆𝑉)
prdsbasmpt.i (𝜑𝐼𝑊)
prdsbasmpt.r (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
prdsplusgval.f (𝜑𝐹𝐵)
prdsplusgval.g (𝜑𝐺𝐵)
prdsdsval.d 𝐷 = (dist‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
prdsdsval (𝜑 → (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥,𝑊   𝑥,𝑌
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem prdsdsval
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsbasmpt.y . . 3 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2 prdsbasmpt.s . . 3 (𝜑𝑆𝑉)
3 prdsbasmpt.r . . . 4 (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
4 prdsbasmpt.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑊)
5 fnex 6623 . . . 4 ((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑊) → 𝑅 ∈ V)
63, 4, 5syl2anc 693 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ V)
7 prdsbasmpt.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑌)
8 fndm 6129 . . . 4 (𝑅 Fn 𝐼 → dom 𝑅 = 𝐼)
93, 8syl 17 . . 3 (𝜑 → dom 𝑅 = 𝐼)
10 prdsdsval.d . . 3 𝐷 = (dist‘𝑌)
111, 2, 6, 7, 9, 10prdsds 16338 . 2 (𝜑𝐷 = (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝑔𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < )))
12 fveq1 6330 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝑥) = (𝐹𝑥))
13 fveq1 6330 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝐺 → (𝑔𝑥) = (𝐺𝑥))
1412, 13oveqan12d 6810 . . . . . . 7 ((𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺) → ((𝑓𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝑔𝑥)) = ((𝐹𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)))
1514adantl 474 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺)) → ((𝑓𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝑔𝑥)) = ((𝐹𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)))
1615mpteq2dv 4876 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝑔𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))))
1716rneqd 5490 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺)) → ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝑔𝑥))) = ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))))
1817uneq1d 3914 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺)) → (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝑔𝑥))) ∪ {0}) = (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))) ∪ {0}))
1918supeq1d 8506 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺)) → sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝑔𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ) = sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
20 prdsplusgval.f . 2 (𝜑𝐹𝐵)
21 prdsplusgval.g . 2 (𝜑𝐺𝐵)
22 xrltso 12178 . . . 4 < Or ℝ*
2322supex 8523 . . 3 sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ∈ V
2423a1i 11 . 2 (𝜑 → sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ∈ V)
2511, 19, 20, 21, 24ovmpt2d 6933 1 (𝜑 → (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(dist‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1629  wcel 2143  Vcvv 3348  cun 3718  {csn 4313  cmpt 4860  dom cdm 5248  ran crn 5249   Fn wfn 6025  cfv 6030  (class class class)co 6791  supcsup 8500  0cc0 10136  *cxr 10273   < clt 10274  Basecbs 16070  distcds 16164  Xscprds 16320
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1868  ax-4 1883  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2145  ax-9 2152  ax-10 2172  ax-11 2188  ax-12 2201  ax-13 2406  ax-ext 2749  ax-rep 4901  ax-sep 4911  ax-nul 4919  ax-pow 4970  ax-pr 5033  ax-un 7094  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1632  df-ex 1851  df-nf 1856  df-sb 2048  df-eu 2620  df-mo 2621  df-clab 2756  df-cleq 2762  df-clel 2765  df-nfc 2900  df-ne 2942  df-nel 3045  df-ral 3064  df-rex 3065  df-reu 3066  df-rmo 3067  df-rab 3068  df-v 3350  df-sbc 3585  df-csb 3680  df-dif 3723  df-un 3725  df-in 3727  df-ss 3734  df-pss 3736  df-nul 4061  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4572  df-int 4609  df-iun 4653  df-br 4784  df-opab 4844  df-mpt 4861  df-tr 4884  df-id 5156  df-eprel 5161  df-po 5169  df-so 5170  df-fr 5207  df-we 5209  df-xp 5254  df-rel 5255  df-cnv 5256  df-co 5257  df-dm 5258  df-rn 5259  df-res 5260  df-ima 5261  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-oadd 7715  df-er 7894  df-map 8009  df-ixp 8061  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-sup 8502  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-4 11281  df-5 11282  df-6 11283  df-7 11284  df-8 11285  df-9 11286  df-n0 11493  df-z 11578  df-dec 11694  df-uz 11888  df-fz 12533  df-struct 16072  df-ndx 16073  df-slot 16074  df-base 16076  df-plusg 16168  df-mulr 16169  df-sca 16171  df-vsca 16172  df-ip 16173  df-tset 16174  df-ple 16175  df-ds 16178  df-hom 16180  df-cco 16181  df-prds 16322
This theorem is referenced by:  prdsdsval2  16358  xpsdsval  22412
  Copyright terms: Public domain W3C validator