Theorem prdom2 9039

Description: An unordered pair has at most two elements. (Contributed by FL, 22-Feb-2011.)

Assertion

Ref	Expression
prdom2	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → {𝐴, 𝐵} ≼ 2𝑜)

Proof of Theorem prdom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsn2 4334	. . . . . 6 ⊢ {𝐴} = {𝐴, 𝐴}
2		ensn1g 8188	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → {𝐴} ≈ 1𝑜)
3		endom 8150	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐴} ≈ 1𝑜 → {𝐴} ≼ 1𝑜)
4		1sdom2 8326	. . . . . . . 8 ⊢ 1𝑜 ≺ 2𝑜
5		domsdomtr 8262	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝐴} ≼ 1𝑜 ∧ 1𝑜 ≺ 2𝑜) → {𝐴} ≺ 2𝑜)
6		sdomdom 8151	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐴} ≺ 2𝑜 → {𝐴} ≼ 2𝑜)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝐴} ≼ 1𝑜 ∧ 1𝑜 ≺ 2𝑜) → {𝐴} ≼ 2𝑜)
8	3, 4, 7	sylancl 697	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐴} ≈ 1𝑜 → {𝐴} ≼ 2𝑜)
9	2, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → {𝐴} ≼ 2𝑜)
10	1, 9	syl5eqbrr 4840	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → {𝐴, 𝐴} ≼ 2𝑜)
11		preq2 4413	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴})
12	11	breq1d 4814	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → ({𝐴, 𝐵} ≼ 2𝑜 ↔ {𝐴, 𝐴} ≼ 2𝑜))
13	10, 12	syl5ibr 236	. . . 4 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (𝐴 ∈ 𝐶 → {𝐴, 𝐵} ≼ 2𝑜))
14	13	eqcoms 2768	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐶 → {𝐴, 𝐵} ≼ 2𝑜))
15	14	adantrd 485	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → {𝐴, 𝐵} ≼ 2𝑜))
16		pr2ne 9038	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
17	16	biimprd 238	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴 ≠ 𝐵 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜))
18		endom 8150	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜 → {𝐴, 𝐵} ≼ 2𝑜)
19	17, 18	syl6com 37	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → {𝐴, 𝐵} ≼ 2𝑜))
20	15, 19	pm2.61ine 3015	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → {𝐴, 𝐵} ≼ 2𝑜)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  {csn 4321  {cpr 4323   class class class wbr 4804  1_𝑜c1o 7723  2_𝑜c2o 7724   ≈ cen 8120   ≼ cdom 8121   ≺ csdm 8122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-om 7232  df-1o 7730  df-2o 7731  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126

This theorem is referenced by: (None)