MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdom2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdom2 9039
Description: An unordered pair has at most two elements. (Contributed by FL, 22-Feb-2011.)
Assertion
Ref Expression
prdom2 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → {𝐴, 𝐵} ≼ 2𝑜)

Proof of Theorem prdom2
StepHypRef Expression
1 dfsn2 4334 . . . . . 6 {𝐴} = {𝐴, 𝐴}
2 ensn1g 8188 . . . . . . 7 (𝐴𝐶 → {𝐴} ≈ 1𝑜)
3 endom 8150 . . . . . . . 8 ({𝐴} ≈ 1𝑜 → {𝐴} ≼ 1𝑜)
4 1sdom2 8326 . . . . . . . 8 1𝑜 ≺ 2𝑜
5 domsdomtr 8262 . . . . . . . . 9 (({𝐴} ≼ 1𝑜 ∧ 1𝑜 ≺ 2𝑜) → {𝐴} ≺ 2𝑜)
6 sdomdom 8151 . . . . . . . . 9 ({𝐴} ≺ 2𝑜 → {𝐴} ≼ 2𝑜)
75, 6syl 17 . . . . . . . 8 (({𝐴} ≼ 1𝑜 ∧ 1𝑜 ≺ 2𝑜) → {𝐴} ≼ 2𝑜)
83, 4, 7sylancl 697 . . . . . . 7 ({𝐴} ≈ 1𝑜 → {𝐴} ≼ 2𝑜)
92, 8syl 17 . . . . . 6 (𝐴𝐶 → {𝐴} ≼ 2𝑜)
101, 9syl5eqbrr 4840 . . . . 5 (𝐴𝐶 → {𝐴, 𝐴} ≼ 2𝑜)
11 preq2 4413 . . . . . 6 (𝐵 = 𝐴 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴})
1211breq1d 4814 . . . . 5 (𝐵 = 𝐴 → ({𝐴, 𝐵} ≼ 2𝑜 ↔ {𝐴, 𝐴} ≼ 2𝑜))
1310, 12syl5ibr 236 . . . 4 (𝐵 = 𝐴 → (𝐴𝐶 → {𝐴, 𝐵} ≼ 2𝑜))
1413eqcoms 2768 . . 3 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴𝐶 → {𝐴, 𝐵} ≼ 2𝑜))
1514adantrd 485 . 2 (𝐴 = 𝐵 → ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → {𝐴, 𝐵} ≼ 2𝑜))
16 pr2ne 9038 . . . 4 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜𝐴𝐵))
1716biimprd 238 . . 3 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐴𝐵 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜))
18 endom 8150 . . 3 ({𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜 → {𝐴, 𝐵} ≼ 2𝑜)
1917, 18syl6com 37 . 2 (𝐴𝐵 → ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → {𝐴, 𝐵} ≼ 2𝑜))
2015, 19pm2.61ine 3015 1 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → {𝐴, 𝐵} ≼ 2𝑜)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  {csn 4321  {cpr 4323   class class class wbr 4804  1𝑜c1o 7723  2𝑜c2o 7724  cen 8120  cdom 8121  csdm 8122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-om 7232  df-1o 7730  df-2o 7731  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator