MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ppiublem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ppiublem2 25148
Description: A prime greater than 3 does not divide 2 or 3, so its residue mod 6 is 1 or 5. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
ppiublem2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})

Proof of Theorem ppiublem2
StepHypRef Expression
1 prmz 15595 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
21adantr 466 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℤ)
3 6nn 11390 . . . 4 6 ∈ ℕ
4 zmodfz 12899 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℕ) → (𝑃 mod 6) ∈ (0...(6 − 1)))
52, 3, 4sylancl 566 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (𝑃 mod 6) ∈ (0...(6 − 1)))
6 df-6 11284 . . . . . 6 6 = (5 + 1)
76oveq1i 6802 . . . . 5 (6 − 1) = ((5 + 1) − 1)
8 5cn 11301 . . . . . 6 5 ∈ ℂ
9 ax-1cn 10195 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
108, 9pncan3oi 10498 . . . . 5 ((5 + 1) − 1) = 5
117, 10eqtri 2792 . . . 4 (6 − 1) = 5
1211oveq2i 6803 . . 3 (0...(6 − 1)) = (0...5)
135, 12syl6eleq 2859 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (𝑃 mod 6) ∈ (0...5))
14 6re 11302 . . . . . . . . . . 11 6 ∈ ℝ
1514leidi 10763 . . . . . . . . . 10 6 ≤ 6
16 noel 4065 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ (𝑃 mod 6) ∈ ∅
1716pm2.21i 117 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 mod 6) ∈ ∅ → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})
18 5lt6 11405 . . . . . . . . . . . . 13 5 < 6
193nnzi 11602 . . . . . . . . . . . . . 14 6 ∈ ℤ
20 5nn 11389 . . . . . . . . . . . . . . 15 5 ∈ ℕ
2120nnzi 11602 . . . . . . . . . . . . . 14 5 ∈ ℤ
22 fzn 12563 . . . . . . . . . . . . . 14 ((6 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ) → (5 < 6 ↔ (6...5) = ∅))
2319, 21, 22mp2an 664 . . . . . . . . . . . . 13 (5 < 6 ↔ (6...5) = ∅)
2418, 23mpbi 220 . . . . . . . . . . . 12 (6...5) = ∅
2517, 24eleq2s 2867 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 mod 6) ∈ (6...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})
2625a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (6...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}))
2715, 26pm3.2i 447 . . . . . . . . 9 (6 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (6...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
28 5nn0 11513 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℕ0
2920elexi 3362 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ V
3029prid2 4432 . . . . . . . . . 10 5 ∈ {1, 5}
31303mix3i 1418 . . . . . . . . 9 (2 ∥ 5 ∨ 3 ∥ 5 ∨ 5 ∈ {1, 5})
3227, 28, 6, 31ppiublem1 25147 . . . . . . . 8 (5 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (5...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
33 4nn0 11512 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ0
34 df-5 11283 . . . . . . . 8 5 = (4 + 1)
35 2z 11610 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
36 dvdsmul1 15211 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · 2))
3735, 35, 36mp2an 664 . . . . . . . . . 10 2 ∥ (2 · 2)
38 2t2e4 11378 . . . . . . . . . 10 (2 · 2) = 4
3937, 38breqtri 4809 . . . . . . . . 9 2 ∥ 4
40393mix1i 1416 . . . . . . . 8 (2 ∥ 4 ∨ 3 ∥ 4 ∨ 4 ∈ {1, 5})
4132, 33, 34, 40ppiublem1 25147 . . . . . . 7 (4 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (4...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
42 3nn0 11511 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ0
43 df-4 11282 . . . . . . 7 4 = (3 + 1)
44 3z 11611 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℤ
45 iddvds 15203 . . . . . . . . 9 (3 ∈ ℤ → 3 ∥ 3)
4644, 45ax-mp 5 . . . . . . . 8 3 ∥ 3
47463mix2i 1417 . . . . . . 7 (2 ∥ 3 ∨ 3 ∥ 3 ∨ 3 ∈ {1, 5})
4841, 42, 43, 47ppiublem1 25147 . . . . . 6 (3 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (3...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
49 2nn0 11510 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
50 df-3 11281 . . . . . 6 3 = (2 + 1)
51 iddvds 15203 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℤ → 2 ∥ 2)
5235, 51ax-mp 5 . . . . . . 7 2 ∥ 2
53523mix1i 1416 . . . . . 6 (2 ∥ 2 ∨ 3 ∥ 2 ∨ 2 ∈ {1, 5})
5448, 49, 50, 53ppiublem1 25147 . . . . 5 (2 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (2...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
55 1nn0 11509 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
56 df-2 11280 . . . . 5 2 = (1 + 1)
57 1ex 10236 . . . . . . 7 1 ∈ V
5857prid1 4431 . . . . . 6 1 ∈ {1, 5}
59583mix3i 1418 . . . . 5 (2 ∥ 1 ∨ 3 ∥ 1 ∨ 1 ∈ {1, 5})
6054, 55, 56, 59ppiublem1 25147 . . . 4 (1 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (1...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
61 0nn0 11508 . . . 4 0 ∈ ℕ0
62 1e0p1 11753 . . . 4 1 = (0 + 1)
63 dvds0 15205 . . . . . 6 (2 ∈ ℤ → 2 ∥ 0)
6435, 63ax-mp 5 . . . . 5 2 ∥ 0
65643mix1i 1416 . . . 4 (2 ∥ 0 ∨ 3 ∥ 0 ∨ 0 ∈ {1, 5})
6660, 61, 62, 65ppiublem1 25147 . . 3 (0 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (0...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
6766simpri 473 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (0...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}))
6813, 67mpd 15 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  c0 4061  {cpr 4316   class class class wbr 4784  (class class class)co 6792  0cc0 10137  1c1 10138   + caddc 10140   · cmul 10142   < clt 10275  cle 10276  cmin 10467  cn 11221  2c2 11271  3c3 11272  4c4 11273  5c5 11274  6c6 11275  cz 11578  ...cfz 12532   mod cmo 12875  cdvds 15188  cprime 15591
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-2o 7713  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-sup 8503  df-inf 8504  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-rp 12035  df-fz 12533  df-fl 12800  df-mod 12876  df-seq 13008  df-exp 13067  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-dvds 15189  df-prm 15592
This theorem is referenced by:  ppiub  25149
  Copyright terms: Public domain W3C validator