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Theorem ppiub 25128
Description: An upper bound on the prime-counting function π, which counts the number of primes less than 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
ppiub ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (π𝑁) ≤ ((𝑁 / 3) + 2))

Proof of Theorem ppiub
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3re 11286 . . 3 3 ∈ ℝ
21a1i 11 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) → 3 ∈ ℝ)
3 simpl 474 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
4 ppicl 25056 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℝ → (π𝑁) ∈ ℕ0)
54nn0red 11544 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → (π𝑁) ∈ ℝ)
65adantr 472 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (π𝑁) ∈ ℝ)
7 2re 11282 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
8 resubcl 10537 . . . . . 6 (((π𝑁) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((π𝑁) − 2) ∈ ℝ)
96, 7, 8sylancl 697 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((π𝑁) − 2) ∈ ℝ)
10 fzfi 12965 . . . . . . . . 9 (4...(⌊‘𝑁)) ∈ Fin
11 ssrab2 3828 . . . . . . . . 9 {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}} ⊆ (4...(⌊‘𝑁))
12 ssfi 8345 . . . . . . . . 9 (((4...(⌊‘𝑁)) ∈ Fin ∧ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}} ⊆ (4...(⌊‘𝑁))) → {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}} ∈ Fin)
1310, 11, 12mp2an 710 . . . . . . . 8 {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}} ∈ Fin
14 hashcl 13339 . . . . . . . 8 ({𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}} ∈ Fin → (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}) ∈ ℕ0)
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . 7 (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}) ∈ ℕ0
1615nn0rei 11495 . . . . . 6 (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}) ∈ ℝ
1716a1i 11 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}) ∈ ℝ)
18 3nn 11378 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ
19 nndivre 11248 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (𝑁 / 3) ∈ ℝ)
2018, 19mpan2 709 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 3) ∈ ℝ)
2120adantr 472 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (𝑁 / 3) ∈ ℝ)
22 ppifl 25085 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℝ → (π‘(⌊‘𝑁)) = (π𝑁))
2322adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (π‘(⌊‘𝑁)) = (π𝑁))
24 ppi3 25096 . . . . . . . . 9 (π‘3) = 2
2524a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (π‘3) = 2)
2623, 25oveq12d 6831 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((π‘(⌊‘𝑁)) − (π‘3)) = ((π𝑁) − 2))
27 3z 11602 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℤ
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 3 ∈ ℤ)
29 flcl 12790 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℝ → (⌊‘𝑁) ∈ ℤ)
3029adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘𝑁) ∈ ℤ)
31 flge 12800 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℤ) → (3 ≤ 𝑁 ↔ 3 ≤ (⌊‘𝑁)))
3227, 31mpan2 709 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℝ → (3 ≤ 𝑁 ↔ 3 ≤ (⌊‘𝑁)))
3332biimpa 502 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 3 ≤ (⌊‘𝑁))
34 eluz2 11885 . . . . . . . . . 10 ((⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ (⌊‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 3 ≤ (⌊‘𝑁)))
3528, 30, 33, 34syl3anbrc 1429 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘3))
36 ppidif 25088 . . . . . . . . 9 ((⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘3) → ((π‘(⌊‘𝑁)) − (π‘3)) = (♯‘(((3 + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)))
3735, 36syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((π‘(⌊‘𝑁)) − (π‘3)) = (♯‘(((3 + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)))
38 df-4 11273 . . . . . . . . . . 11 4 = (3 + 1)
3938oveq1i 6823 . . . . . . . . . 10 (4...(⌊‘𝑁)) = ((3 + 1)...(⌊‘𝑁))
4039ineq1i 3953 . . . . . . . . 9 ((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) = (((3 + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)
4140fveq2i 6355 . . . . . . . 8 (♯‘((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) = (♯‘(((3 + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ))
4237, 41syl6eqr 2812 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((π‘(⌊‘𝑁)) − (π‘3)) = (♯‘((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)))
4326, 42eqtr3d 2796 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((π𝑁) − 2) = (♯‘((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)))
44 dfin5 3723 . . . . . . . . 9 ((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) = {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ 𝑘 ∈ ℙ}
45 elfzle1 12537 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) → 4 ≤ 𝑘)
46 ppiublem2 25127 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑘) → (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5})
4746expcom 450 . . . . . . . . . . 11 (4 ≤ 𝑘 → (𝑘 ∈ ℙ → (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}))
4845, 47syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) → (𝑘 ∈ ℙ → (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}))
4948ss2rabi 3825 . . . . . . . . 9 {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ 𝑘 ∈ ℙ} ⊆ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}
5044, 49eqsstri 3776 . . . . . . . 8 ((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ⊆ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}
51 ssdomg 8167 . . . . . . . 8 ({𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}} ∈ Fin → (((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ⊆ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}} → ((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ≼ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}))
5213, 50, 51mp2 9 . . . . . . 7 ((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ≼ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}
53 inss1 3976 . . . . . . . . 9 ((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ⊆ (4...(⌊‘𝑁))
54 ssfi 8345 . . . . . . . . 9 (((4...(⌊‘𝑁)) ∈ Fin ∧ ((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ⊆ (4...(⌊‘𝑁))) → ((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ∈ Fin)
5510, 53, 54mp2an 710 . . . . . . . 8 ((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ∈ Fin
56 hashdom 13360 . . . . . . . 8 ((((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ∈ Fin ∧ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}} ∈ Fin) → ((♯‘((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) ≤ (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}) ↔ ((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ≼ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}))
5755, 13, 56mp2an 710 . . . . . . 7 ((♯‘((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) ≤ (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}) ↔ ((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ≼ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}})
5852, 57mpbir 221 . . . . . 6 (♯‘((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) ≤ (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}})
5943, 58syl6eqbr 4843 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((π𝑁) − 2) ≤ (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}))
60 reflcl 12791 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℝ → (⌊‘𝑁) ∈ ℝ)
6160adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘𝑁) ∈ ℝ)
62 peano2rem 10540 . . . . . . . . . 10 ((⌊‘𝑁) ∈ ℝ → ((⌊‘𝑁) − 1) ∈ ℝ)
6361, 62syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((⌊‘𝑁) − 1) ∈ ℝ)
64 6nn 11381 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℕ
65 nndivre 11248 . . . . . . . . 9 ((((⌊‘𝑁) − 1) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → (((⌊‘𝑁) − 1) / 6) ∈ ℝ)
6663, 64, 65sylancl 697 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((⌊‘𝑁) − 1) / 6) ∈ ℝ)
67 reflcl 12791 . . . . . . . 8 ((((⌊‘𝑁) − 1) / 6) ∈ ℝ → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) ∈ ℝ)
6866, 67syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) ∈ ℝ)
69 5re 11291 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ ℝ
70 resubcl 10537 . . . . . . . . . . 11 (((⌊‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑁) − 5) ∈ ℝ)
7161, 69, 70sylancl 697 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((⌊‘𝑁) − 5) ∈ ℝ)
72 nndivre 11248 . . . . . . . . . 10 ((((⌊‘𝑁) − 5) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → (((⌊‘𝑁) − 5) / 6) ∈ ℝ)
7371, 64, 72sylancl 697 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((⌊‘𝑁) − 5) / 6) ∈ ℝ)
74 reflcl 12791 . . . . . . . . 9 ((((⌊‘𝑁) − 5) / 6) ∈ ℝ → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) ∈ ℝ)
7573, 74syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) ∈ ℝ)
76 peano2re 10401 . . . . . . . 8 ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) ∈ ℝ → ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) + 1) ∈ ℝ)
7775, 76syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) + 1) ∈ ℝ)
78 peano2rem 10540 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
7978adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
80 nndivre 11248 . . . . . . . 8 (((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1) / 6) ∈ ℝ)
8179, 64, 80sylancl 697 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((𝑁 − 1) / 6) ∈ ℝ)
82 simpl 474 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
83 resubcl 10537 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℝ) → (𝑁 − 5) ∈ ℝ)
8482, 69, 83sylancl 697 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 5) ∈ ℝ)
85 nndivre 11248 . . . . . . . . 9 (((𝑁 − 5) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 5) / 6) ∈ ℝ)
8684, 64, 85sylancl 697 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((𝑁 − 5) / 6) ∈ ℝ)
87 peano2re 10401 . . . . . . . 8 (((𝑁 − 5) / 6) ∈ ℝ → (((𝑁 − 5) / 6) + 1) ∈ ℝ)
8886, 87syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((𝑁 − 5) / 6) + 1) ∈ ℝ)
89 flle 12794 . . . . . . . . 9 ((((⌊‘𝑁) − 1) / 6) ∈ ℝ → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) ≤ (((⌊‘𝑁) − 1) / 6))
9066, 89syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) ≤ (((⌊‘𝑁) − 1) / 6))
91 1re 10231 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
9291a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
93 flle 12794 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℝ → (⌊‘𝑁) ≤ 𝑁)
9493adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘𝑁) ≤ 𝑁)
9561, 82, 92, 94lesub1dd 10835 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((⌊‘𝑁) − 1) ≤ (𝑁 − 1))
96 6re 11293 . . . . . . . . . . 11 6 ∈ ℝ
9796a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 6 ∈ ℝ)
98 6pos 11311 . . . . . . . . . . 11 0 < 6
9998a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 0 < 6)
100 lediv1 11080 . . . . . . . . . 10 ((((⌊‘𝑁) − 1) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6)) → (((⌊‘𝑁) − 1) ≤ (𝑁 − 1) ↔ (((⌊‘𝑁) − 1) / 6) ≤ ((𝑁 − 1) / 6)))
10163, 79, 97, 99, 100syl112anc 1481 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((⌊‘𝑁) − 1) ≤ (𝑁 − 1) ↔ (((⌊‘𝑁) − 1) / 6) ≤ ((𝑁 − 1) / 6)))
10295, 101mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((⌊‘𝑁) − 1) / 6) ≤ ((𝑁 − 1) / 6))
10368, 66, 81, 90, 102letrd 10386 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) ≤ ((𝑁 − 1) / 6))
104 flle 12794 . . . . . . . . . 10 ((((⌊‘𝑁) − 5) / 6) ∈ ℝ → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) ≤ (((⌊‘𝑁) − 5) / 6))
10573, 104syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) ≤ (((⌊‘𝑁) − 5) / 6))
10669a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 5 ∈ ℝ)
10761, 82, 106, 94lesub1dd 10835 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((⌊‘𝑁) − 5) ≤ (𝑁 − 5))
108 lediv1 11080 . . . . . . . . . . 11 ((((⌊‘𝑁) − 5) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 5) ∈ ℝ ∧ (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6)) → (((⌊‘𝑁) − 5) ≤ (𝑁 − 5) ↔ (((⌊‘𝑁) − 5) / 6) ≤ ((𝑁 − 5) / 6)))
10971, 84, 97, 99, 108syl112anc 1481 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((⌊‘𝑁) − 5) ≤ (𝑁 − 5) ↔ (((⌊‘𝑁) − 5) / 6) ≤ ((𝑁 − 5) / 6)))
110107, 109mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((⌊‘𝑁) − 5) / 6) ≤ ((𝑁 − 5) / 6))
11175, 73, 86, 105, 110letrd 10386 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) ≤ ((𝑁 − 5) / 6))
11275, 86, 92, 111leadd1dd 10833 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) + 1) ≤ (((𝑁 − 5) / 6) + 1))
11368, 77, 81, 88, 103, 112le2addd 10838 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) + ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) + 1)) ≤ (((𝑁 − 1) / 6) + (((𝑁 − 5) / 6) + 1)))
114 ovex 6841 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 mod 6) ∈ V
115114elpr 4343 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 mod 6) ∈ {1, 5} ↔ ((𝑘 mod 6) = 1 ∨ (𝑘 mod 6) = 5))
116115rabbii 3325 . . . . . . . . . 10 {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}} = {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ ((𝑘 mod 6) = 1 ∨ (𝑘 mod 6) = 5)}
117 unrab 4041 . . . . . . . . . 10 ({𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} ∪ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5}) = {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ ((𝑘 mod 6) = 1 ∨ (𝑘 mod 6) = 5)}
118116, 117eqtr4i 2785 . . . . . . . . 9 {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}} = ({𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} ∪ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5})
119118fveq2i 6355 . . . . . . . 8 (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}) = (♯‘({𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} ∪ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5}))
120 ssrab2 3828 . . . . . . . . . 10 {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} ⊆ (4...(⌊‘𝑁))
121 ssfi 8345 . . . . . . . . . 10 (((4...(⌊‘𝑁)) ∈ Fin ∧ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} ⊆ (4...(⌊‘𝑁))) → {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} ∈ Fin)
12210, 120, 121mp2an 710 . . . . . . . . 9 {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} ∈ Fin
123 ssrab2 3828 . . . . . . . . . 10 {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5} ⊆ (4...(⌊‘𝑁))
124 ssfi 8345 . . . . . . . . . 10 (((4...(⌊‘𝑁)) ∈ Fin ∧ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5} ⊆ (4...(⌊‘𝑁))) → {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5} ∈ Fin)
12510, 123, 124mp2an 710 . . . . . . . . 9 {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5} ∈ Fin
126 inrab 4042 . . . . . . . . . 10 ({𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} ∩ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5}) = {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ ((𝑘 mod 6) = 1 ∧ (𝑘 mod 6) = 5)}
127 rabeq0 4100 . . . . . . . . . . 11 ({𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ ((𝑘 mod 6) = 1 ∧ (𝑘 mod 6) = 5)} = ∅ ↔ ∀𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ¬ ((𝑘 mod 6) = 1 ∧ (𝑘 mod 6) = 5))
128 1lt5 11395 . . . . . . . . . . . . . 14 1 < 5
12991, 128ltneii 10342 . . . . . . . . . . . . 13 1 ≠ 5
130 eqtr2 2780 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑘 mod 6) = 1 ∧ (𝑘 mod 6) = 5) → 1 = 5)
131130necon3ai 2957 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ≠ 5 → ¬ ((𝑘 mod 6) = 1 ∧ (𝑘 mod 6) = 5))
132129, 131ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ¬ ((𝑘 mod 6) = 1 ∧ (𝑘 mod 6) = 5)
133132a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) → ¬ ((𝑘 mod 6) = 1 ∧ (𝑘 mod 6) = 5))
134127, 133mprgbir 3065 . . . . . . . . . 10 {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ ((𝑘 mod 6) = 1 ∧ (𝑘 mod 6) = 5)} = ∅
135126, 134eqtri 2782 . . . . . . . . 9 ({𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} ∩ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5}) = ∅
136 hashun 13363 . . . . . . . . 9 (({𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} ∈ Fin ∧ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5} ∈ Fin ∧ ({𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} ∩ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5}) = ∅) → (♯‘({𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} ∪ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5})) = ((♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1}) + (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5})))
137122, 125, 135, 136mp3an 1573 . . . . . . . 8 (♯‘({𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} ∪ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5})) = ((♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1}) + (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5}))
138119, 137eqtri 2782 . . . . . . 7 (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}) = ((♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1}) + (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5}))
139 elfzelz 12535 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
140 nnrp 12035 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (6 ∈ ℕ → 6 ∈ ℝ+)
14164, 140ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 6 ∈ ℝ+
142 0le1 10743 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ≤ 1
143 1lt6 11400 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 < 6
144 modid 12889 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((1 ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 6)) → (1 mod 6) = 1)
14591, 141, 142, 143, 144mp4an 711 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 mod 6) = 1
146145eqeq2i 2772 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 mod 6) = (1 mod 6) ↔ (𝑘 mod 6) = 1)
147 1z 11599 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℤ
148 moddvds 15193 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((6 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝑘 mod 6) = (1 mod 6) ↔ 6 ∥ (𝑘 − 1)))
14964, 147, 148mp3an13 1564 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑘 mod 6) = (1 mod 6) ↔ 6 ∥ (𝑘 − 1)))
150146, 149syl5bbr 274 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑘 mod 6) = 1 ↔ 6 ∥ (𝑘 − 1)))
151139, 150syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) → ((𝑘 mod 6) = 1 ↔ 6 ∥ (𝑘 − 1)))
152151rabbiia 3324 . . . . . . . . . . 11 {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} = {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ 6 ∥ (𝑘 − 1)}
153152fveq2i 6355 . . . . . . . . . 10 (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1}) = (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ 6 ∥ (𝑘 − 1)})
15464a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 6 ∈ ℕ)
155 4z 11603 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ ℤ
156155a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 4 ∈ ℤ)
15738oveq1i 6823 . . . . . . . . . . . . . 14 (4 − 1) = ((3 + 1) − 1)
158 3cn 11287 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 ∈ ℂ
159 ax-1cn 10186 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℂ
160158, 159pncan3oi 10489 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 + 1) − 1) = 3
161157, 160eqtri 2782 . . . . . . . . . . . . 13 (4 − 1) = 3
162161fveq2i 6355 . . . . . . . . . . . 12 (ℤ‘(4 − 1)) = (ℤ‘3)
16335, 162syl6eleqr 2850 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(4 − 1)))
164147a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℤ)
165154, 156, 163, 164hashdvds 15682 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ 6 ∥ (𝑘 − 1)}) = ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) − (⌊‘(((4 − 1) − 1) / 6))))
166153, 165syl5eq 2806 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1}) = ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) − (⌊‘(((4 − 1) − 1) / 6))))
167 df-3 11272 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 = (2 + 1)
168161, 167eqtri 2782 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (4 − 1) = (2 + 1)
169168oveq1i 6823 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((4 − 1) − 1) = ((2 + 1) − 1)
170 2cn 11283 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℂ
171170, 159pncan3oi 10489 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 + 1) − 1) = 2
172169, 171eqtri 2782 . . . . . . . . . . . . . 14 ((4 − 1) − 1) = 2
173172oveq1i 6823 . . . . . . . . . . . . 13 (((4 − 1) − 1) / 6) = (2 / 6)
174173fveq2i 6355 . . . . . . . . . . . 12 (⌊‘(((4 − 1) − 1) / 6)) = (⌊‘(2 / 6))
175 0re 10232 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ
17664nnne0i 11247 . . . . . . . . . . . . . . 15 6 ≠ 0
1777, 96, 176redivcli 10984 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 / 6) ∈ ℝ
178 2pos 11304 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 2
1797, 96, 178, 98divgt0ii 11133 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < (2 / 6)
180175, 177, 179ltleii 10352 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≤ (2 / 6)
181 2lt6 11399 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 < 6
182 6cn 11294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 6 ∈ ℂ
183182mulid1i 10234 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (6 · 1) = 6
184181, 183breqtrri 4831 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 < (6 · 1)
18596, 98pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6)
186 ltdivmul 11090 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6)) → ((2 / 6) < 1 ↔ 2 < (6 · 1)))
1877, 91, 185, 186mp3an 1573 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 / 6) < 1 ↔ 2 < (6 · 1))
188184, 187mpbir 221 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 / 6) < 1
189 1e0p1 11744 . . . . . . . . . . . . . 14 1 = (0 + 1)
190188, 189breqtri 4829 . . . . . . . . . . . . 13 (2 / 6) < (0 + 1)
191 0z 11580 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℤ
192 flbi 12811 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 / 6) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((⌊‘(2 / 6)) = 0 ↔ (0 ≤ (2 / 6) ∧ (2 / 6) < (0 + 1))))
193177, 191, 192mp2an 710 . . . . . . . . . . . . 13 ((⌊‘(2 / 6)) = 0 ↔ (0 ≤ (2 / 6) ∧ (2 / 6) < (0 + 1)))
194180, 190, 193mpbir2an 993 . . . . . . . . . . . 12 (⌊‘(2 / 6)) = 0
195174, 194eqtri 2782 . . . . . . . . . . 11 (⌊‘(((4 − 1) − 1) / 6)) = 0
196195oveq2i 6824 . . . . . . . . . 10 ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) − (⌊‘(((4 − 1) − 1) / 6))) = ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) − 0)
19766flcld 12793 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) ∈ ℤ)
198197zcnd 11675 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) ∈ ℂ)
199198subid1d 10573 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) − 0) = (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)))
200196, 199syl5eq 2806 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) − (⌊‘(((4 − 1) − 1) / 6))) = (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)))
201166, 200eqtrd 2794 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1}) = (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)))
202 5pos 11310 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < 5
203175, 69, 202ltleii 10352 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ≤ 5
204 5lt6 11396 . . . . . . . . . . . . . . . 16 5 < 6
205 modid 12889 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((5 ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 5 ∧ 5 < 6)) → (5 mod 6) = 5)
20669, 141, 203, 204, 205mp4an 711 . . . . . . . . . . . . . . 15 (5 mod 6) = 5
207206eqeq2i 2772 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 mod 6) = (5 mod 6) ↔ (𝑘 mod 6) = 5)
208 5nn 11380 . . . . . . . . . . . . . . . 16 5 ∈ ℕ
209208nnzi 11593 . . . . . . . . . . . . . . 15 5 ∈ ℤ
210 moddvds 15193 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((6 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ) → ((𝑘 mod 6) = (5 mod 6) ↔ 6 ∥ (𝑘 − 5)))
21164, 209, 210mp3an13 1564 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑘 mod 6) = (5 mod 6) ↔ 6 ∥ (𝑘 − 5)))
212207, 211syl5bbr 274 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑘 mod 6) = 5 ↔ 6 ∥ (𝑘 − 5)))
213139, 212syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) → ((𝑘 mod 6) = 5 ↔ 6 ∥ (𝑘 − 5)))
214213rabbiia 3324 . . . . . . . . . . 11 {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5} = {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ 6 ∥ (𝑘 − 5)}
215214fveq2i 6355 . . . . . . . . . 10 (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5}) = (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ 6 ∥ (𝑘 − 5)})
216209a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 5 ∈ ℤ)
217154, 156, 163, 216hashdvds 15682 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ 6 ∥ (𝑘 − 5)}) = ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) − (⌊‘(((4 − 1) − 5) / 6))))
218215, 217syl5eq 2806 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5}) = ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) − (⌊‘(((4 − 1) − 5) / 6))))
219161oveq1i 6823 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((4 − 1) − 5) = (3 − 5)
220 5cn 11292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5 ∈ ℂ
221220, 158negsubdi2i 10559 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -(5 − 3) = (3 − 5)
222 3p2e5 11352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (3 + 2) = 5
223222oveq1i 6823 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((3 + 2) − 3) = (5 − 3)
224 pncan2 10480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((3 + 2) − 3) = 2)
225158, 170, 224mp2an 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((3 + 2) − 3) = 2
226223, 225eqtr3i 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (5 − 3) = 2
227226negeqi 10466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -(5 − 3) = -2
228219, 221, 2273eqtr2i 2788 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((4 − 1) − 5) = -2
229228oveq1i 6823 . . . . . . . . . . . . . 14 (((4 − 1) − 5) / 6) = (-2 / 6)
230 divneg 10911 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) → -(2 / 6) = (-2 / 6))
231170, 182, 176, 230mp3an 1573 . . . . . . . . . . . . . 14 -(2 / 6) = (-2 / 6)
232229, 231eqtr4i 2785 . . . . . . . . . . . . 13 (((4 − 1) − 5) / 6) = -(2 / 6)
233232fveq2i 6355 . . . . . . . . . . . 12 (⌊‘(((4 − 1) − 5) / 6)) = (⌊‘-(2 / 6))
234177, 91, 188ltleii 10352 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 / 6) ≤ 1
235177, 91lenegi 10765 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 / 6) ≤ 1 ↔ -1 ≤ -(2 / 6))
236234, 235mpbi 220 . . . . . . . . . . . . 13 -1 ≤ -(2 / 6)
237175, 177ltnegi 10764 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 < (2 / 6) ↔ -(2 / 6) < -0)
238179, 237mpbi 220 . . . . . . . . . . . . . 14 -(2 / 6) < -0
239 neg0 10519 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -0 = 0
240 1pneg1e0 11321 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 + -1) = 0
241239, 240eqtr4i 2785 . . . . . . . . . . . . . . 15 -0 = (1 + -1)
242 neg1cn 11316 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -1 ∈ ℂ
243242, 159addcomi 10419 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-1 + 1) = (1 + -1)
244241, 243eqtr4i 2785 . . . . . . . . . . . . . 14 -0 = (-1 + 1)
245238, 244breqtri 4829 . . . . . . . . . . . . 13 -(2 / 6) < (-1 + 1)
246177renegcli 10534 . . . . . . . . . . . . . 14 -(2 / 6) ∈ ℝ
247 neg1z 11605 . . . . . . . . . . . . . 14 -1 ∈ ℤ
248 flbi 12811 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-(2 / 6) ∈ ℝ ∧ -1 ∈ ℤ) → ((⌊‘-(2 / 6)) = -1 ↔ (-1 ≤ -(2 / 6) ∧ -(2 / 6) < (-1 + 1))))
249246, 247, 248mp2an 710 . . . . . . . . . . . . 13 ((⌊‘-(2 / 6)) = -1 ↔ (-1 ≤ -(2 / 6) ∧ -(2 / 6) < (-1 + 1)))
250236, 245, 249mpbir2an 993 . . . . . . . . . . . 12 (⌊‘-(2 / 6)) = -1
251233, 250eqtri 2782 . . . . . . . . . . 11 (⌊‘(((4 − 1) − 5) / 6)) = -1
252251oveq2i 6824 . . . . . . . . . 10 ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) − (⌊‘(((4 − 1) − 5) / 6))) = ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) − -1)
25373flcld 12793 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) ∈ ℤ)
254253zcnd 11675 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) ∈ ℂ)
255 subneg 10522 . . . . . . . . . . 11 (((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) − -1) = ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) + 1))
256254, 159, 255sylancl 697 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) − -1) = ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) + 1))
257252, 256syl5eq 2806 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) − (⌊‘(((4 − 1) − 5) / 6))) = ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) + 1))
258218, 257eqtrd 2794 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5}) = ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) + 1))
259201, 258oveq12d 6831 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1}) + (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5})) = ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) + ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) + 1)))
260138, 259syl5eq 2806 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}) = ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) + ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) + 1)))
26182recnd 10260 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
2622612timesd 11467 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
263 df-6 11275 . . . . . . . . . . . . . 14 6 = (5 + 1)
264220, 159addcomi 10419 . . . . . . . . . . . . . 14 (5 + 1) = (1 + 5)
265263, 264eqtri 2782 . . . . . . . . . . . . 13 6 = (1 + 5)
266265a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 6 = (1 + 5))
267262, 266oveq12d 6831 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((2 · 𝑁) − 6) = ((𝑁 + 𝑁) − (1 + 5)))
268 addsub4 10516 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 5 ∈ ℂ)) → ((𝑁 + 𝑁) − (1 + 5)) = ((𝑁 − 1) + (𝑁 − 5)))
269159, 220, 268mpanr12 723 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 𝑁) − (1 + 5)) = ((𝑁 − 1) + (𝑁 − 5)))
270261, 261, 269syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((𝑁 + 𝑁) − (1 + 5)) = ((𝑁 − 1) + (𝑁 − 5)))
271267, 270eqtrd 2794 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((2 · 𝑁) − 6) = ((𝑁 − 1) + (𝑁 − 5)))
272271oveq1d 6828 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((2 · 𝑁) − 6) / 6) = (((𝑁 − 1) + (𝑁 − 5)) / 6))
273 mulcl 10212 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
274170, 261, 273sylancr 698 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
275182, 176pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . 12 (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0)
276 divsubdir 10913 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0)) → (((2 · 𝑁) − 6) / 6) = (((2 · 𝑁) / 6) − (6 / 6)))
277182, 275, 276mp3an23 1565 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 𝑁) ∈ ℂ → (((2 · 𝑁) − 6) / 6) = (((2 · 𝑁) / 6) − (6 / 6)))
278274, 277syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((2 · 𝑁) − 6) / 6) = (((2 · 𝑁) / 6) − (6 / 6)))
279 3t2e6 11371 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 · 2) = 6
280158, 170mulcomi 10238 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 · 2) = (2 · 3)
281279, 280eqtr3i 2784 . . . . . . . . . . . . 13 6 = (2 · 3)
282281oveq2i 6824 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 𝑁) / 6) = ((2 · 𝑁) / (2 · 3))
283 3ne0 11307 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 ≠ 0
284158, 283pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
285 2cnne0 11434 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
286 divcan5 10919 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((2 · 𝑁) / (2 · 3)) = (𝑁 / 3))
287284, 285, 286mp3an23 1565 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℂ → ((2 · 𝑁) / (2 · 3)) = (𝑁 / 3))
288261, 287syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((2 · 𝑁) / (2 · 3)) = (𝑁 / 3))
289282, 288syl5eq 2806 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((2 · 𝑁) / 6) = (𝑁 / 3))
290182, 176dividi 10950 . . . . . . . . . . . 12 (6 / 6) = 1
291290a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (6 / 6) = 1)
292289, 291oveq12d 6831 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((2 · 𝑁) / 6) − (6 / 6)) = ((𝑁 / 3) − 1))
293278, 292eqtrd 2794 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((2 · 𝑁) − 6) / 6) = ((𝑁 / 3) − 1))
29479recnd 10260 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
29584recnd 10260 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 5) ∈ ℂ)
296 divdir 10902 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 5) ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0)) → (((𝑁 − 1) + (𝑁 − 5)) / 6) = (((𝑁 − 1) / 6) + ((𝑁 − 5) / 6)))
297275, 296mp3an3 1562 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 5) ∈ ℂ) → (((𝑁 − 1) + (𝑁 − 5)) / 6) = (((𝑁 − 1) / 6) + ((𝑁 − 5) / 6)))
298294, 295, 297syl2anc 696 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((𝑁 − 1) + (𝑁 − 5)) / 6) = (((𝑁 − 1) / 6) + ((𝑁 − 5) / 6)))
299272, 293, 2983eqtr3d 2802 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((𝑁 / 3) − 1) = (((𝑁 − 1) / 6) + ((𝑁 − 5) / 6)))
300299oveq1d 6828 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((𝑁 / 3) − 1) + 1) = ((((𝑁 − 1) / 6) + ((𝑁 − 5) / 6)) + 1))
30121recnd 10260 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (𝑁 / 3) ∈ ℂ)
302 npcan 10482 . . . . . . . 8 (((𝑁 / 3) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑁 / 3) − 1) + 1) = (𝑁 / 3))
303301, 159, 302sylancl 697 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((𝑁 / 3) − 1) + 1) = (𝑁 / 3))
30481recnd 10260 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((𝑁 − 1) / 6) ∈ ℂ)
30586recnd 10260 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((𝑁 − 5) / 6) ∈ ℂ)
306159a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℂ)
307304, 305, 306addassd 10254 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((((𝑁 − 1) / 6) + ((𝑁 − 5) / 6)) + 1) = (((𝑁 − 1) / 6) + (((𝑁 − 5) / 6) + 1)))
308300, 303, 3073eqtr3d 2802 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (𝑁 / 3) = (((𝑁 − 1) / 6) + (((𝑁 − 5) / 6) + 1)))
309113, 260, 3083brtr4d 4836 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (♯‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}) ≤ (𝑁 / 3))
3109, 17, 21, 59, 309letrd 10386 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((π𝑁) − 2) ≤ (𝑁 / 3))
3117a1i 11 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℝ)
3126, 311, 21lesubaddd 10816 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((π𝑁) − 2) ≤ (𝑁 / 3) ↔ (π𝑁) ≤ ((𝑁 / 3) + 2)))
313310, 312mpbid 222 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (π𝑁) ≤ ((𝑁 / 3) + 2))
314313adantlr 753 . 2 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ 3 ≤ 𝑁) → (π𝑁) ≤ ((𝑁 / 3) + 2))
3155ad2antrr 764 . . 3 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 ≤ 3) → (π𝑁) ∈ ℝ)
3167a1i 11 . . 3 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 ≤ 3) → 2 ∈ ℝ)
31720ad2antrr 764 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 ≤ 3) → (𝑁 / 3) ∈ ℝ)
318 readdcl 10211 . . . 4 (((𝑁 / 3) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((𝑁 / 3) + 2) ∈ ℝ)
319317, 7, 318sylancl 697 . . 3 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 ≤ 3) → ((𝑁 / 3) + 2) ∈ ℝ)
320 ppiwordi 25087 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≤ 3) → (π𝑁) ≤ (π‘3))
3211, 320mp3an2 1561 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≤ 3) → (π𝑁) ≤ (π‘3))
322321adantlr 753 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 ≤ 3) → (π𝑁) ≤ (π‘3))
323322, 24syl6breq 4845 . . 3 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 ≤ 3) → (π𝑁) ≤ 2)
324 3pos 11306 . . . . . 6 0 < 3
325 divge0 11084 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → 0 ≤ (𝑁 / 3))
3261, 324, 325mpanr12 723 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) → 0 ≤ (𝑁 / 3))
327326adantr 472 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 ≤ 3) → 0 ≤ (𝑁 / 3))
328 addge02 10731 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 3) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑁 / 3) ↔ 2 ≤ ((𝑁 / 3) + 2)))
3297, 317, 328sylancr 698 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 ≤ 3) → (0 ≤ (𝑁 / 3) ↔ 2 ≤ ((𝑁 / 3) + 2)))
330327, 329mpbid 222 . . 3 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 ≤ 3) → 2 ≤ ((𝑁 / 3) + 2))
331315, 316, 319, 323, 330letrd 10386 . 2 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 ≤ 3) → (π𝑁) ≤ ((𝑁 / 3) + 2))
3322, 3, 314, 331lecasei 10335 1 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (π𝑁) ≤ ((𝑁 / 3) + 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  {crab 3054  cun 3713  cin 3714  wss 3715  c0 4058  {cpr 4323   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6813  cdom 8119  Fincfn 8121  cc 10126  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133   < clt 10266  cle 10267  cmin 10458  -cneg 10459   / cdiv 10876  cn 11212  2c2 11262  3c3 11263  4c4 11264  5c5 11265  6c6 11266  0cn0 11484  cz 11569  cuz 11879  +crp 12025  ...cfz 12519  cfl 12785   mod cmo 12862  chash 13311  cdvds 15182  cprime 15587  πcppi 25019
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-n0 11485  df-xnn0 11556  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-dvds 15183  df-prm 15588  df-ppi 25025
This theorem is referenced by:  bposlem5  25212
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