MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ppisval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ppisval2 24876
Description: The set of primes less than 𝐴 expressed using a finite set of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
ppisval2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ𝑀)) → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((𝑀...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))

Proof of Theorem ppisval2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ppisval 24875 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
21adantr 480 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ𝑀)) → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
3 fzss1 12418 . . . . 5 (2 ∈ (ℤ𝑀) → (2...(⌊‘𝐴)) ⊆ (𝑀...(⌊‘𝐴)))
43adantl 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ𝑀)) → (2...(⌊‘𝐴)) ⊆ (𝑀...(⌊‘𝐴)))
5 ssrin 3871 . . . 4 ((2...(⌊‘𝐴)) ⊆ (𝑀...(⌊‘𝐴)) → ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ⊆ ((𝑀...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
64, 5syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ𝑀)) → ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ⊆ ((𝑀...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
7 simpr 476 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ ((𝑀...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
8 elin 3829 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ((𝑀...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ↔ (𝑥 ∈ (𝑀...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℙ))
97, 8sylib 208 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)) → (𝑥 ∈ (𝑀...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ ℙ))
109simprd 478 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ ℙ)
11 prmuz2 15455 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℙ → 𝑥 ∈ (ℤ‘2))
1210, 11syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ (ℤ‘2))
139simpld 474 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ (𝑀...(⌊‘𝐴)))
14 elfzuz3 12377 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑀...(⌊‘𝐴)) → (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑥))
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)) → (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑥))
16 elfzuzb 12374 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑥)))
1712, 15, 16sylanbrc 699 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ (2...(⌊‘𝐴)))
1817, 10elind 3831 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
1918ex 449 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑀...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) → 𝑥 ∈ ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)))
2019ssrdv 3642 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑀...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ⊆ ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
216, 20eqssd 3653 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ𝑀)) → ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) = ((𝑀...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
222, 21eqtrd 2685 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ𝑀)) → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((𝑀...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  cin 3606  wss 3607  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973  0cc0 9974  2c2 11108  cuz 11725  [,]cicc 12216  ...cfz 12364  cfl 12631  cprime 15432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-dvds 15028  df-prm 15433
This theorem is referenced by:  ppival2g  24900  chtdif  24929  prmorcht  24949  chtppilimlem1  25207
  Copyright terms: Public domain W3C validator