Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ppisval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ppisval 25050
 Description: The set of primes less than 𝐴 expressed using a finite set of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
ppisval (𝐴 ∈ ℝ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))

Proof of Theorem ppisval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss2 3980 . . . . . . . 8 ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ⊆ ℙ
2 simpr 471 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ))
31, 2sseldi 3748 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ ℙ)
4 prmuz2 15614 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℙ → 𝑥 ∈ (ℤ‘2))
53, 4syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ (ℤ‘2))
6 prmz 15595 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℙ → 𝑥 ∈ ℤ)
73, 6syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ ℤ)
8 flcl 12803 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
98adantr 466 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
10 inss1 3979 . . . . . . . . . . 11 ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ⊆ (0[,]𝐴)
1110, 2sseldi 3748 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ (0[,]𝐴))
12 0re 10241 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
13 simpl 468 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
14 elicc2 12442 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥𝐴)))
1512, 13, 14sylancr 567 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥𝐴)))
1611, 15mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥𝐴))
1716simp3d 1137 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑥𝐴)
18 flge 12813 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥𝐴𝑥 ≤ (⌊‘𝐴)))
197, 18syldan 571 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (𝑥𝐴𝑥 ≤ (⌊‘𝐴)))
2017, 19mpbid 222 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑥 ≤ (⌊‘𝐴))
21 eluz2 11893 . . . . . . 7 ((⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑥) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≤ (⌊‘𝐴)))
227, 9, 20, 21syl3anbrc 1427 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑥))
23 elfzuzb 12542 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (2...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑥)))
245, 22, 23sylanbrc 564 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ (2...(⌊‘𝐴)))
2524, 3elind 3947 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
2625ex 397 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) → 𝑥 ∈ ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)))
2726ssrdv 3756 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ⊆ ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
28 2z 11610 . . . . 5 2 ∈ ℤ
29 fzval2 12535 . . . . 5 ((2 ∈ ℤ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℤ) → (2...(⌊‘𝐴)) = ((2[,](⌊‘𝐴)) ∩ ℤ))
3028, 8, 29sylancr 567 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (2...(⌊‘𝐴)) = ((2[,](⌊‘𝐴)) ∩ ℤ))
31 inss1 3979 . . . . 5 ((2[,](⌊‘𝐴)) ∩ ℤ) ⊆ (2[,](⌊‘𝐴))
3212a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
33 id 22 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
34 0le2 11312 . . . . . . 7 0 ≤ 2
3534a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ 2)
36 flle 12807 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
37 iccss 12445 . . . . . 6 (((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)) → (2[,](⌊‘𝐴)) ⊆ (0[,]𝐴))
3832, 33, 35, 36, 37syl22anc 1476 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (2[,](⌊‘𝐴)) ⊆ (0[,]𝐴))
3931, 38syl5ss 3761 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((2[,](⌊‘𝐴)) ∩ ℤ) ⊆ (0[,]𝐴))
4030, 39eqsstrd 3786 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (2...(⌊‘𝐴)) ⊆ (0[,]𝐴))
4140ssrind 3986 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ⊆ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ))
4227, 41eqssd 3767 1 (𝐴 ∈ ℝ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   ∧ w3a 1070   = wceq 1630   ∈ wcel 2144   ∩ cin 3720   ⊆ wss 3721   class class class wbr 4784  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792  ℝcr 10136  0cc0 10137   ≤ cle 10276  2c2 11271  ℤcz 11578  ℤ≥cuz 11887  [,]cicc 12382  ...cfz 12532  ⌊cfl 12798  ℙcprime 15591 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-2o 7713  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-sup 8503  df-inf 8504  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-rp 12035  df-icc 12386  df-fz 12533  df-fl 12800  df-seq 13008  df-exp 13067  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-dvds 15189  df-prm 15592 This theorem is referenced by:  ppisval2  25051  ppifi  25052  ppival2  25074  chtfl  25095  chtprm  25099  chtnprm  25100  ppifl  25106  cht1  25111  chtlepsi  25151  chpval2  25163  chpub  25165  chtvalz  31041
 Copyright terms: Public domain W3C validator