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Theorem pospropd 17256
Description: Posethood is determined only by structure components and only by the value of the relation within the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pospropd.kv (𝜑𝐾𝑉)
pospropd.lv (𝜑𝐿𝑊)
pospropd.kb (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
pospropd.lb (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
pospropd.xy ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑥(le‘𝐿)𝑦))
Assertion
Ref Expression
pospropd (𝜑 → (𝐾 ∈ Poset ↔ 𝐿 ∈ Poset))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem pospropd
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pospropd.xy . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑥(le‘𝐿)𝑦))
21ralrimivva 3073 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑥(le‘𝐿)𝑦))
3 simp1 1128 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵) → 𝑎𝐵)
43, 3jca 555 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵) → (𝑎𝐵𝑎𝐵))
5 breq1 4763 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑎 → (𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑎(le‘𝐾)𝑦))
6 breq1 4763 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑎 → (𝑥(le‘𝐿)𝑦𝑎(le‘𝐿)𝑦))
75, 6bibi12d 334 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑎 → ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑥(le‘𝐿)𝑦) ↔ (𝑎(le‘𝐾)𝑦𝑎(le‘𝐿)𝑦)))
8 breq2 4764 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑎 → (𝑎(le‘𝐾)𝑦𝑎(le‘𝐾)𝑎))
9 breq2 4764 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑎 → (𝑎(le‘𝐿)𝑦𝑎(le‘𝐿)𝑎))
108, 9bibi12d 334 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑎 → ((𝑎(le‘𝐾)𝑦𝑎(le‘𝐿)𝑦) ↔ (𝑎(le‘𝐾)𝑎𝑎(le‘𝐿)𝑎)))
117, 10rspc2va 3427 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎𝐵𝑎𝐵) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑥(le‘𝐿)𝑦)) → (𝑎(le‘𝐾)𝑎𝑎(le‘𝐿)𝑎))
124, 11sylan 489 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑥(le‘𝐿)𝑦)) → (𝑎(le‘𝐾)𝑎𝑎(le‘𝐿)𝑎))
13 breq2 4764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑏 → (𝑎(le‘𝐾)𝑦𝑎(le‘𝐾)𝑏))
14 breq2 4764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑏 → (𝑎(le‘𝐿)𝑦𝑎(le‘𝐿)𝑏))
1513, 14bibi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑏 → ((𝑎(le‘𝐾)𝑦𝑎(le‘𝐿)𝑦) ↔ (𝑎(le‘𝐾)𝑏𝑎(le‘𝐿)𝑏)))
167, 15rspc2va 3427 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑥(le‘𝐿)𝑦)) → (𝑎(le‘𝐾)𝑏𝑎(le‘𝐿)𝑏))
17163adantl3 1154 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑥(le‘𝐿)𝑦)) → (𝑎(le‘𝐾)𝑏𝑎(le‘𝐿)𝑏))
18 3simpb 1142 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏𝐵𝑐𝐵𝑎𝐵) → (𝑏𝐵𝑎𝐵))
19183comr 1119 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵) → (𝑏𝐵𝑎𝐵))
20 breq1 4763 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑏 → (𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑏(le‘𝐾)𝑦))
21 breq1 4763 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑏 → (𝑥(le‘𝐿)𝑦𝑏(le‘𝐿)𝑦))
2220, 21bibi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑏 → ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑥(le‘𝐿)𝑦) ↔ (𝑏(le‘𝐾)𝑦𝑏(le‘𝐿)𝑦)))
23 breq2 4764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑎 → (𝑏(le‘𝐾)𝑦𝑏(le‘𝐾)𝑎))
24 breq2 4764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑎 → (𝑏(le‘𝐿)𝑦𝑏(le‘𝐿)𝑎))
2523, 24bibi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑎 → ((𝑏(le‘𝐾)𝑦𝑏(le‘𝐿)𝑦) ↔ (𝑏(le‘𝐾)𝑎𝑏(le‘𝐿)𝑎)))
2622, 25rspc2va 3427 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏𝐵𝑎𝐵) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑥(le‘𝐿)𝑦)) → (𝑏(le‘𝐾)𝑎𝑏(le‘𝐿)𝑎))
2719, 26sylan 489 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑥(le‘𝐿)𝑦)) → (𝑏(le‘𝐾)𝑎𝑏(le‘𝐿)𝑎))
2817, 27anbi12d 749 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑥(le‘𝐿)𝑦)) → ((𝑎(le‘𝐾)𝑏𝑏(le‘𝐾)𝑎) ↔ (𝑎(le‘𝐿)𝑏𝑏(le‘𝐿)𝑎)))
2928imbi1d 330 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑥(le‘𝐿)𝑦)) → (((𝑎(le‘𝐾)𝑏𝑏(le‘𝐾)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ↔ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏𝑏(le‘𝐿)𝑎) → 𝑎 = 𝑏)))
30 breq2 4764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑐 → (𝑏(le‘𝐾)𝑦𝑏(le‘𝐾)𝑐))
31 breq2 4764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑐 → (𝑏(le‘𝐿)𝑦𝑏(le‘𝐿)𝑐))
3230, 31bibi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑐 → ((𝑏(le‘𝐾)𝑦𝑏(le‘𝐿)𝑦) ↔ (𝑏(le‘𝐾)𝑐𝑏(le‘𝐿)𝑐)))
3322, 32rspc2va 3427 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏𝐵𝑐𝐵) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑥(le‘𝐿)𝑦)) → (𝑏(le‘𝐾)𝑐𝑏(le‘𝐿)𝑐))
34333adantl1 1152 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑥(le‘𝐿)𝑦)) → (𝑏(le‘𝐾)𝑐𝑏(le‘𝐿)𝑐))
3517, 34anbi12d 749 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑥(le‘𝐿)𝑦)) → ((𝑎(le‘𝐾)𝑏𝑏(le‘𝐾)𝑐) ↔ (𝑎(le‘𝐿)𝑏𝑏(le‘𝐿)𝑐)))
36 3simpb 1142 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵) → (𝑎𝐵𝑐𝐵))
37 breq2 4764 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑐 → (𝑎(le‘𝐾)𝑦𝑎(le‘𝐾)𝑐))
38 breq2 4764 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑐 → (𝑎(le‘𝐿)𝑦𝑎(le‘𝐿)𝑐))
3937, 38bibi12d 334 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑐 → ((𝑎(le‘𝐾)𝑦𝑎(le‘𝐿)𝑦) ↔ (𝑎(le‘𝐾)𝑐𝑎(le‘𝐿)𝑐)))
407, 39rspc2va 3427 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎𝐵𝑐𝐵) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑥(le‘𝐿)𝑦)) → (𝑎(le‘𝐾)𝑐𝑎(le‘𝐿)𝑐))
4136, 40sylan 489 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑥(le‘𝐿)𝑦)) → (𝑎(le‘𝐾)𝑐𝑎(le‘𝐿)𝑐))
4235, 41imbi12d 333 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑥(le‘𝐿)𝑦)) → (((𝑎(le‘𝐾)𝑏𝑏(le‘𝐾)𝑐) → 𝑎(le‘𝐾)𝑐) ↔ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏𝑏(le‘𝐿)𝑐) → 𝑎(le‘𝐿)𝑐)))
4312, 29, 423anbi123d 1512 . . . . . . . . . 10 (((𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑥(le‘𝐿)𝑦)) → ((𝑎(le‘𝐾)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏𝑏(le‘𝐾)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏𝑏(le‘𝐾)𝑐) → 𝑎(le‘𝐾)𝑐)) ↔ (𝑎(le‘𝐿)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏𝑏(le‘𝐿)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏𝑏(le‘𝐿)𝑐) → 𝑎(le‘𝐿)𝑐))))
442, 43sylan2 492 . . . . . . . . 9 (((𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵) ∧ 𝜑) → ((𝑎(le‘𝐾)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏𝑏(le‘𝐾)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏𝑏(le‘𝐾)𝑐) → 𝑎(le‘𝐾)𝑐)) ↔ (𝑎(le‘𝐿)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏𝑏(le‘𝐿)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏𝑏(le‘𝐿)𝑐) → 𝑎(le‘𝐿)𝑐))))
4544ancoms 468 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → ((𝑎(le‘𝐾)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏𝑏(le‘𝐾)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏𝑏(le‘𝐾)𝑐) → 𝑎(le‘𝐾)𝑐)) ↔ (𝑎(le‘𝐿)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏𝑏(le‘𝐿)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏𝑏(le‘𝐿)𝑐) → 𝑎(le‘𝐿)𝑐))))
46453exp2 1409 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑎𝐵 → (𝑏𝐵 → (𝑐𝐵 → ((𝑎(le‘𝐾)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏𝑏(le‘𝐾)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏𝑏(le‘𝐾)𝑐) → 𝑎(le‘𝐾)𝑐)) ↔ (𝑎(le‘𝐿)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏𝑏(le‘𝐿)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏𝑏(le‘𝐿)𝑐) → 𝑎(le‘𝐿)𝑐)))))))
4746imp42 621 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑐𝐵) → ((𝑎(le‘𝐾)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏𝑏(le‘𝐾)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏𝑏(le‘𝐾)𝑐) → 𝑎(le‘𝐾)𝑐)) ↔ (𝑎(le‘𝐿)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏𝑏(le‘𝐿)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏𝑏(le‘𝐿)𝑐) → 𝑎(le‘𝐿)𝑐))))
4847ralbidva 3087 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (∀𝑐𝐵 (𝑎(le‘𝐾)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏𝑏(le‘𝐾)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏𝑏(le‘𝐾)𝑐) → 𝑎(le‘𝐾)𝑐)) ↔ ∀𝑐𝐵 (𝑎(le‘𝐿)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏𝑏(le‘𝐿)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏𝑏(le‘𝐿)𝑐) → 𝑎(le‘𝐿)𝑐))))
49482ralbidva 3090 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵 (𝑎(le‘𝐾)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏𝑏(le‘𝐾)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏𝑏(le‘𝐾)𝑐) → 𝑎(le‘𝐾)𝑐)) ↔ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵 (𝑎(le‘𝐿)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏𝑏(le‘𝐿)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏𝑏(le‘𝐿)𝑐) → 𝑎(le‘𝐿)𝑐))))
50 pospropd.kb . . . . 5 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
51 raleq 3241 . . . . . . 7 (𝐵 = (Base‘𝐾) → (∀𝑐𝐵 (𝑎(le‘𝐾)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏𝑏(le‘𝐾)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏𝑏(le‘𝐾)𝑐) → 𝑎(le‘𝐾)𝑐)) ↔ ∀𝑐 ∈ (Base‘𝐾)(𝑎(le‘𝐾)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏𝑏(le‘𝐾)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏𝑏(le‘𝐾)𝑐) → 𝑎(le‘𝐾)𝑐))))
5251raleqbi1dv 3249 . . . . . 6 (𝐵 = (Base‘𝐾) → (∀𝑏𝐵𝑐𝐵 (𝑎(le‘𝐾)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏𝑏(le‘𝐾)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏𝑏(le‘𝐾)𝑐) → 𝑎(le‘𝐾)𝑐)) ↔ ∀𝑏 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐾)(𝑎(le‘𝐾)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏𝑏(le‘𝐾)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏𝑏(le‘𝐾)𝑐) → 𝑎(le‘𝐾)𝑐))))
5352raleqbi1dv 3249 . . . . 5 (𝐵 = (Base‘𝐾) → (∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵 (𝑎(le‘𝐾)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏𝑏(le‘𝐾)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏𝑏(le‘𝐾)𝑐) → 𝑎(le‘𝐾)𝑐)) ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐾)(𝑎(le‘𝐾)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏𝑏(le‘𝐾)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏𝑏(le‘𝐾)𝑐) → 𝑎(le‘𝐾)𝑐))))
5450, 53syl 17 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵 (𝑎(le‘𝐾)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏𝑏(le‘𝐾)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏𝑏(le‘𝐾)𝑐) → 𝑎(le‘𝐾)𝑐)) ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐾)(𝑎(le‘𝐾)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏𝑏(le‘𝐾)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏𝑏(le‘𝐾)𝑐) → 𝑎(le‘𝐾)𝑐))))
55 pospropd.lb . . . . 5 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
56 raleq 3241 . . . . . . 7 (𝐵 = (Base‘𝐿) → (∀𝑐𝐵 (𝑎(le‘𝐿)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏𝑏(le‘𝐿)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏𝑏(le‘𝐿)𝑐) → 𝑎(le‘𝐿)𝑐)) ↔ ∀𝑐 ∈ (Base‘𝐿)(𝑎(le‘𝐿)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏𝑏(le‘𝐿)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏𝑏(le‘𝐿)𝑐) → 𝑎(le‘𝐿)𝑐))))
5756raleqbi1dv 3249 . . . . . 6 (𝐵 = (Base‘𝐿) → (∀𝑏𝐵𝑐𝐵 (𝑎(le‘𝐿)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏𝑏(le‘𝐿)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏𝑏(le‘𝐿)𝑐) → 𝑎(le‘𝐿)𝑐)) ↔ ∀𝑏 ∈ (Base‘𝐿)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐿)(𝑎(le‘𝐿)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏𝑏(le‘𝐿)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏𝑏(le‘𝐿)𝑐) → 𝑎(le‘𝐿)𝑐))))
5857raleqbi1dv 3249 . . . . 5 (𝐵 = (Base‘𝐿) → (∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵 (𝑎(le‘𝐿)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏𝑏(le‘𝐿)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏𝑏(le‘𝐿)𝑐) → 𝑎(le‘𝐿)𝑐)) ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐿)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐿)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐿)(𝑎(le‘𝐿)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏𝑏(le‘𝐿)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏𝑏(le‘𝐿)𝑐) → 𝑎(le‘𝐿)𝑐))))
5955, 58syl 17 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵 (𝑎(le‘𝐿)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏𝑏(le‘𝐿)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏𝑏(le‘𝐿)𝑐) → 𝑎(le‘𝐿)𝑐)) ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐿)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐿)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐿)(𝑎(le‘𝐿)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏𝑏(le‘𝐿)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏𝑏(le‘𝐿)𝑐) → 𝑎(le‘𝐿)𝑐))))
6049, 54, 593bitr3d 298 . . 3 (𝜑 → (∀𝑎 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐾)(𝑎(le‘𝐾)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏𝑏(le‘𝐾)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏𝑏(le‘𝐾)𝑐) → 𝑎(le‘𝐾)𝑐)) ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐿)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐿)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐿)(𝑎(le‘𝐿)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏𝑏(le‘𝐿)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏𝑏(le‘𝐿)𝑐) → 𝑎(le‘𝐿)𝑐))))
61 pospropd.kv . . . . 5 (𝜑𝐾𝑉)
6261elexd 3318 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ V)
6362biantrurd 530 . . 3 (𝜑 → (∀𝑎 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐾)(𝑎(le‘𝐾)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏𝑏(le‘𝐾)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏𝑏(le‘𝐾)𝑐) → 𝑎(le‘𝐾)𝑐)) ↔ (𝐾 ∈ V ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐾)(𝑎(le‘𝐾)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏𝑏(le‘𝐾)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏𝑏(le‘𝐾)𝑐) → 𝑎(le‘𝐾)𝑐)))))
64 pospropd.lv . . . . 5 (𝜑𝐿𝑊)
6564elexd 3318 . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ V)
6665biantrurd 530 . . 3 (𝜑 → (∀𝑎 ∈ (Base‘𝐿)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐿)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐿)(𝑎(le‘𝐿)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏𝑏(le‘𝐿)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏𝑏(le‘𝐿)𝑐) → 𝑎(le‘𝐿)𝑐)) ↔ (𝐿 ∈ V ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐿)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐿)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐿)(𝑎(le‘𝐿)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏𝑏(le‘𝐿)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏𝑏(le‘𝐿)𝑐) → 𝑎(le‘𝐿)𝑐)))))
6760, 63, 663bitr3d 298 . 2 (𝜑 → ((𝐾 ∈ V ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐾)(𝑎(le‘𝐾)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏𝑏(le‘𝐾)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏𝑏(le‘𝐾)𝑐) → 𝑎(le‘𝐾)𝑐))) ↔ (𝐿 ∈ V ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐿)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐿)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐿)(𝑎(le‘𝐿)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏𝑏(le‘𝐿)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏𝑏(le‘𝐿)𝑐) → 𝑎(le‘𝐿)𝑐)))))
68 eqid 2724 . . 3 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
69 eqid 2724 . . 3 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
7068, 69ispos 17069 . 2 (𝐾 ∈ Poset ↔ (𝐾 ∈ V ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐾)(𝑎(le‘𝐾)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏𝑏(le‘𝐾)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐾)𝑏𝑏(le‘𝐾)𝑐) → 𝑎(le‘𝐾)𝑐))))
71 eqid 2724 . . 3 (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
72 eqid 2724 . . 3 (le‘𝐿) = (le‘𝐿)
7371, 72ispos 17069 . 2 (𝐿 ∈ Poset ↔ (𝐿 ∈ V ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐿)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐿)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐿)(𝑎(le‘𝐿)𝑎 ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏𝑏(le‘𝐿)𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎(le‘𝐿)𝑏𝑏(le‘𝐿)𝑐) → 𝑎(le‘𝐿)𝑐))))
7467, 70, 733bitr4g 303 1 (𝜑 → (𝐾 ∈ Poset ↔ 𝐿 ∈ Poset))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1596  wcel 2103  wral 3014  Vcvv 3304   class class class wbr 4760  cfv 6001  Basecbs 15980  lecple 16071  Posetcpo 17062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-nul 4897
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ral 3019  df-rex 3020  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-nul 4024  df-if 4195  df-sn 4286  df-pr 4288  df-op 4292  df-uni 4545  df-br 4761  df-iota 5964  df-fv 6009  df-poset 17068
This theorem is referenced by:  oduposb  17258
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