MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  posdifd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem posdifd 10652
Description: Comparison of two numbers whose difference is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
posdifd (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))

Proof of Theorem posdifd
StepHypRef Expression
1 leidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltnegd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 posdif 10559 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
41, 2, 3syl2anc 694 1 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wcel 2030   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  cr 9973  0cc0 9974   < clt 10112  cmin 10304
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-ltxr 10117  df-sub 10306  df-neg 10307
This theorem is referenced by:  possumd  10690  ltmul1a  10910  cshwcsh2id  13620  sqrlem7  14033  fsumlt  14576  bpoly4  14834  sin01gt0  14964  nno  15145  pythagtriplem10  15572  evth  22805  minveclem4  23249  ismbf3d  23466  itg2seq  23554  dvferm1lem  23792  dvferm2lem  23794  mvth  23800  dvlip  23801  dvgt0  23812  dvlt0  23813  dvge0  23814  dvcvx  23828  ftc1lem4  23847  pilem2  24251  cosordlem  24322  lgamgulmlem2  24801  lgsquadlem1  25150  brbtwn2  25830  axpaschlem  25865  axcontlem8  25896  crctcshwlkn0  26769  clwlkclwwlklem2a4  26963  clwwlkext2edg  27020  minvecolem4  27864  sgnsub  30734  signslema  30767  fdvposlt  30805  tgoldbachgtde  30866  dnibndlem5  32597  unbdqndv2lem2  32626  knoppndvlem2  32629  knoppndvlem21  32648  poimirlem7  33546  itg2addnclem  33591  itg2gt0cn  33595  ftc1cnnclem  33613  areacirclem1  33630  areacirc  33635  irrapxlem3  37705  pell14qrgt0  37740  rmspecnonsq  37789  rmspecfund  37791  rmspecpos  37798  jm3.1lem1  37901  radcnvrat  38830  supxrgere  39862  supxrgelem  39866  dvbdfbdioolem1  40461  dvbdfbdioolem2  40462  ioodvbdlimc1lem1  40464  ioodvbdlimc1lem2  40465  ioodvbdlimc2lem  40467  dvnxpaek  40475  wallispilem4  40603  wallispi2lem1  40606  stirlinglem11  40619  fourierdlem4  40646  fourierdlem6  40648  fourierdlem7  40649  fourierdlem19  40661  fourierdlem26  40668  fourierdlem41  40683  fourierdlem42  40684  fourierdlem48  40689  fourierdlem49  40690  fourierdlem51  40692  fourierdlem61  40702  fourierdlem63  40704  fourierdlem64  40705  fourierdlem65  40706  fourierdlem71  40712  fourierdlem79  40720  fourierdlem89  40730  fourierdlem90  40731  fourierdlem91  40732  fouriersw  40766  etransclem15  40784  etransclem24  40793  etransclem25  40794  etransclem35  40804  ioorrnopnlem  40842  hoidmvlelem2  41131  hoiqssbllem2  41158  iunhoiioolem  41210  zm1nn  41641  nnoALTV  41931  fllog2  42687  dignn0flhalflem1  42734
  Copyright terms: Public domain W3C validator