Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  polval2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem polval2N 35664
Description: Alternate expression for value of the projective subspace polarity function. Equation for polarity in [Holland95] p. 223. (Contributed by NM, 22-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
polval2.u 𝑈 = (lub‘𝐾)
polval2.o = (oc‘𝐾)
polval2.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
polval2.m 𝑀 = (pmap‘𝐾)
polval2.p 𝑃 = (⊥𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
polval2N ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (𝑃𝑋) = (𝑀‘( ‘(𝑈𝑋))))

Proof of Theorem polval2N
Dummy variables 𝑥 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 polval2.o . . 3 = (oc‘𝐾)
2 polval2.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3 polval2.m . . 3 𝑀 = (pmap‘𝐾)
4 polval2.p . . 3 𝑃 = (⊥𝑃𝐾)
51, 2, 3, 4polvalN 35663 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (𝑃𝑋) = (𝐴 𝑝𝑋 (𝑀‘( 𝑝))))
6 hlop 35121 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
76ad2antrr 764 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑝𝑋) → 𝐾 ∈ OP)
8 ssel2 3727 . . . . . . 7 ((𝑋𝐴𝑝𝑋) → 𝑝𝐴)
98adantll 752 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑝𝑋) → 𝑝𝐴)
10 eqid 2748 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1110, 2atbase 35048 . . . . . 6 (𝑝𝐴𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
129, 11syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑝𝑋) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
1310, 1opoccl 34953 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝐾)) → ( 𝑝) ∈ (Base‘𝐾))
147, 12, 13syl2anc 696 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑝𝑋) → ( 𝑝) ∈ (Base‘𝐾))
1514ralrimiva 3092 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ∀𝑝𝑋 ( 𝑝) ∈ (Base‘𝐾))
16 eqid 2748 . . . 4 (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
1710, 16, 2, 3pmapglb2xN 35530 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ∀𝑝𝑋 ( 𝑝) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑀‘((glb‘𝐾)‘{𝑥 ∣ ∃𝑝𝑋 𝑥 = ( 𝑝)})) = (𝐴 𝑝𝑋 (𝑀‘( 𝑝))))
1815, 17syldan 488 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (𝑀‘((glb‘𝐾)‘{𝑥 ∣ ∃𝑝𝑋 𝑥 = ( 𝑝)})) = (𝐴 𝑝𝑋 (𝑀‘( 𝑝))))
19 polval2.u . . . . . 6 𝑈 = (lub‘𝐾)
2010, 19, 16, 1glbconxN 35136 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ ∀𝑝𝑋 ( 𝑝) ∈ (Base‘𝐾)) → ((glb‘𝐾)‘{𝑥 ∣ ∃𝑝𝑋 𝑥 = ( 𝑝)}) = ( ‘(𝑈‘{𝑥 ∣ ∃𝑝𝑋 𝑥 = ( ‘( 𝑝))})))
2115, 20syldan 488 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ((glb‘𝐾)‘{𝑥 ∣ ∃𝑝𝑋 𝑥 = ( 𝑝)}) = ( ‘(𝑈‘{𝑥 ∣ ∃𝑝𝑋 𝑥 = ( ‘( 𝑝))})))
2210, 1opococ 34954 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝐾)) → ( ‘( 𝑝)) = 𝑝)
237, 12, 22syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑝𝑋) → ( ‘( 𝑝)) = 𝑝)
2423eqeq2d 2758 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑝𝑋) → (𝑥 = ( ‘( 𝑝)) ↔ 𝑥 = 𝑝))
2524rexbidva 3175 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (∃𝑝𝑋 𝑥 = ( ‘( 𝑝)) ↔ ∃𝑝𝑋 𝑥 = 𝑝))
2625abbidv 2867 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → {𝑥 ∣ ∃𝑝𝑋 𝑥 = ( ‘( 𝑝))} = {𝑥 ∣ ∃𝑝𝑋 𝑥 = 𝑝})
27 df-rex 3044 . . . . . . . . . 10 (∃𝑝𝑋 𝑥 = 𝑝 ↔ ∃𝑝(𝑝𝑋𝑥 = 𝑝))
28 equcom 2088 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑝𝑝 = 𝑥)
2928anbi2i 732 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝𝑋𝑥 = 𝑝) ↔ (𝑝𝑋𝑝 = 𝑥))
30 ancom 465 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝𝑋𝑝 = 𝑥) ↔ (𝑝 = 𝑥𝑝𝑋))
3129, 30bitri 264 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝𝑋𝑥 = 𝑝) ↔ (𝑝 = 𝑥𝑝𝑋))
3231exbii 1911 . . . . . . . . . 10 (∃𝑝(𝑝𝑋𝑥 = 𝑝) ↔ ∃𝑝(𝑝 = 𝑥𝑝𝑋))
33 vex 3331 . . . . . . . . . . 11 𝑥 ∈ V
34 eleq1 2815 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑥 → (𝑝𝑋𝑥𝑋))
3533, 34ceqsexv 3370 . . . . . . . . . 10 (∃𝑝(𝑝 = 𝑥𝑝𝑋) ↔ 𝑥𝑋)
3627, 32, 353bitri 286 . . . . . . . . 9 (∃𝑝𝑋 𝑥 = 𝑝𝑥𝑋)
3736abbii 2865 . . . . . . . 8 {𝑥 ∣ ∃𝑝𝑋 𝑥 = 𝑝} = {𝑥𝑥𝑋}
38 abid2 2871 . . . . . . . 8 {𝑥𝑥𝑋} = 𝑋
3937, 38eqtri 2770 . . . . . . 7 {𝑥 ∣ ∃𝑝𝑋 𝑥 = 𝑝} = 𝑋
4026, 39syl6eq 2798 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → {𝑥 ∣ ∃𝑝𝑋 𝑥 = ( ‘( 𝑝))} = 𝑋)
4140fveq2d 6344 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (𝑈‘{𝑥 ∣ ∃𝑝𝑋 𝑥 = ( ‘( 𝑝))}) = (𝑈𝑋))
4241fveq2d 6344 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( ‘(𝑈‘{𝑥 ∣ ∃𝑝𝑋 𝑥 = ( ‘( 𝑝))})) = ( ‘(𝑈𝑋)))
4321, 42eqtrd 2782 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ((glb‘𝐾)‘{𝑥 ∣ ∃𝑝𝑋 𝑥 = ( 𝑝)}) = ( ‘(𝑈𝑋)))
4443fveq2d 6344 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (𝑀‘((glb‘𝐾)‘{𝑥 ∣ ∃𝑝𝑋 𝑥 = ( 𝑝)})) = (𝑀‘( ‘(𝑈𝑋))))
455, 18, 443eqtr2d 2788 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (𝑃𝑋) = (𝑀‘( ‘(𝑈𝑋))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1620  wex 1841  wcel 2127  {cab 2734  wral 3038  wrex 3039  cin 3702  wss 3703   ciin 4661  cfv 6037  Basecbs 16030  occoc 16122  lubclub 17114  glbcglb 17115  OPcops 34931  Atomscatm 35022  HLchlt 35109  pmapcpmap 35255  𝑃cpolN 35660
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-riotaBAD 34711
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-iin 4663  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-id 5162  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-undef 7556  df-preset 17100  df-poset 17118  df-lub 17146  df-glb 17147  df-join 17148  df-meet 17149  df-p1 17212  df-lat 17218  df-clat 17280  df-oposet 34935  df-ol 34937  df-oml 34938  df-ats 35026  df-hlat 35110  df-pmap 35262  df-polarityN 35661
This theorem is referenced by:  polsubN  35665  pol1N  35668  polpmapN  35670  2polvalN  35672  3polN  35674  poldmj1N  35686  pnonsingN  35691  ispsubcl2N  35705  polsubclN  35710  poml4N  35711
  Copyright terms: Public domain W3C validator